从欧氏几何发展历史角度观察义务教育阶段几何新课程
唐祥德 聂东明 周炎林 李浏兰
1 问题提出
面向21世纪的中学数学课程改革考虑到义务教育阶段的基础性、普及性和发展性,于2004年9月在全国推行《全日制义务教育数学课程标准》(2001年)[1](以下简称为《标准》) 相对《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》(2000年)[2](以下简称《大纲》)而言,在平面几何部分有较大的变革 在《大纲》时,注重教师的教学和教学方法的改进,初中平面几何内容主要运用演绎推理的方法,依据扩大的公理化体系证明一些平面图形的性质,强调逻辑论证、强调演绎推理;《标准》则将几何教学内容分成“图形的认识、图形与变换、图形与位置、图形与证明”四个部分,而且均匀地安排在九年义务教育的三个学段中,几何教学内容呈现螺旋上升的方式,每次出现都比前次出现有更高的要求,首先强调直观经验及对几何材料动手操作在几何学习中的基础性地位,接着是抽象,最后是演绎、初步感受公理化思想
《标准》推行后,一方面,得到了广大数学教育工作者的认同,同时也有不同意见[3],其中对平面几何内容改革的争论较大 但不管意见如何,都是对数学教育事业的亲切关怀,都应是无可厚非的,这种百家争鸣的学术局面,恰恰反应了我国学术制度的优越性 从另一角度看,有必要对《标准》中平面几何内容安排合理性需要从理论方面进行阐明,在实践方面进行论证 本文将着重从欧氏几何发展历史角度对《标准》中几何教学内容安排进行比较分析
2 数学史对数学教育的启示——本文的立足点
儿童数学认知过程的研究对数学教育有着基础性作用,正如心理学是教育学的基础 但从另一个层面的分析,学生的数学学习过程是通过对情境从数学角度进行感知、数学化的过程,该过程是人类祖先同样经历过的,我们祖先在认识这些知识时处于自然状态,因此,有理由推知,儿童与人类早期认知具有相似性,在数学教育过程中借鉴先辈数学认知过程将有利于保证儿童数学学习的自然
事实上,数学史可以说是劳动人民集体智慧的表现,揭示了数学产生和发展的过程,是数学知识、思想、方法的宝库,长期以来,许多数学教育家、数学史家都很重视数学史对数学教育中的启示应用[4]
[JP3]匈牙利著名数学家和数学教育家波利亚(George Polya,1887—1985)指出:“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识,我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识作出更好的判断”
法国著名数学家庞加莱(Jules enri Poincaré,1854—1912)则主张数学课程的内容应完全按照历史发展顺序展现给读者,他说:
“动物学家坚持认为,在一个短时期内,动物胚胎的发育重蹈所有地质年代其祖先们的发展历史 人的思维发展似乎也是如此 教育工作者的任务就是让孩子的思维经历其祖先之所经历,迅速通过某些阶段而不跳过任何阶段 鉴于此,科学史应该是我们的指南 ”
荷兰数学家和数学教育家弗赖登塔尔(ans Freudenthal,1905-1990)亦持类似观点,称“年轻的学习者重蹈人类的学习过程,尽管方式改变了”
数学史对数学教育的重要启示同样也得到了现代国际教育界的肯定 一些美国学者则坚信,指导个体认知发展的最佳方法是让他回溯人类的认知发展 即使知识点A在逻辑上先于知识点B,但如果B在历史上先于A出现,那么我们仍应先教B
国际数学教育大会(ICME)的“课题研究组”(topic study group,简记为G)中主题17则为:数学史在数学教育中的作用
基于儿童对数学的认知与人类对数学的认知在过程上具有相似性,因此,对儿童欧氏几何认知过程的探讨有必要以欧氏几何发展历史为借鉴
3 欧氏几何发展历史与《标准》中几何教学内容安排比较
现在中小学几何的大部分内容属于欧氏几何学 欧氏几何学是欧几里得(Euclid,公元前330年—前275年)在前人所积累的几何知识的基础上,总结、发展起来的,目的是使几何知识系统化、严谨化 在《几何原本》一书中,他以119个定义、5个公理及5个公设为逻辑推理的出发点,以演绎推理的方法得到465几何命题,构成了世界上第一个公理化体系 这种方法成为以后研究数学乃至其他科学的标准方法——公理法,成为人类追求最高科学境界的典范[5]
但在《几何原本》以前,人类经历了从古埃及(公元前3100多年)到古希腊近三千年的几何知识的漫长积累 历史上,以几何中“形”的发展过程作为脉络,大致可以分成无意识几何阶段、经验几何阶段、论证几何初试阶段共三个阶段,以下将其主要内容与《标准》中三个学段的几何教学内容要求进行比较
3.1 无意识几何阶段
几何中“形”的意识来自人对客观世界的初始体念 一方面,人在初始状态(幼儿时或远古时)对物体的“形状”就有感觉,人们反复感受自然界中某些物体的较为稳定的形状(如太阳、月亮的圆形)之后,便慢慢地把这些“形”留在了他们的记忆之中,并在劳动中加以运用 比如,在中国古代有“天圆地方”的说法
另一方面,形的意识还来自于人们的实践活动 人们在无数次的奔波往来之中,为了发现最短的道路,渐渐地产生了“直线”的概念 又如“点”的概念在拉丁文Pungo中就是一个实践性概念,意为“刺”、“触”
在人们对“形”的意识逐渐稳定下来后,会产生度量的意识 人们起初很可能也是借助于人的身体的各个部位,作一些简单的测量 例如,为了测量长度,成人男子的步子被当作通行的测量单位,面且这种做法保留至今 除此之外,手指的宽度、关节的长度等都曾用作测量单位,如中国古代中医寻找穴位使用指宽定位 古希腊历史学家希罗多德(erodotus,公元前484—425年)认为几何是埃及人发现的,因为尼罗河每年遭受洪水泛滥而冲毁土地的界限 这样,人们为了重新界定土地,不得不进行反复的测量活动,从而产生了几何学,拉丁文Geometry的原意即为“测地术” 中国古代使用的词语“几何”意为“多少”,与测量活动也是密切相关的
几何中的“结构”意识,在人类活动的初期,其表现的特征是简单的模仿和比照 如太阳从地平线线上升起,也许是圆与直线位置关系的自然原形
总之,“形”的意识、“度量”意识和“结构”意识来自于人们对自然界的感受和体验,来自于适应大自然、改造大自然的实践活动 这是人类在几何领域中最原始、最基本的抽象活动,是对几何的粗浅而简单、直接而形象的认识 我们把这一阶段的几何称作无意识几何阶段
在第一学段(1—3年级)中,《标准》要求学生在幼儿时的经验基础上,进一步“认识简单几何体和平面图形,感受平移、旋转、对称现象,学习描述物体相对位置的一些方法,进行简单的测量活动,建立初步的空间观念 ”而幼儿时期正处于人的初始状态,对图形的认识还处于无意识几何时期,理性思维、抽象思维处于最弱,对图形的认识依赖实物或图形直观,依赖实践活动,因此,“在教学中,应注重所学知识与日常生活的密切联系;应注重使学生在观察、操作等活动中,获得对简单几何体和平面图形的直观经验”由此看来,《标准》在这一学段的要求与无意识几何阶段时的几何特点是相符的
3.2 经验几何阶段
当人们经历了无意识几何的漫长酝酿之后,初步形成了“形”的意识,进而尝试着做一些简单的“度量”工作,同时对几何“结构”关系的探索活动也慢慢地开始了 这样几何就从无意识几何阶段步人了经验几何阶段
所谓经验几何,就是人们通过对大量的具体几何素材进行反复的感受和体验,归纳、概括出较为一般的几何关系,在实践中对之加以验证和检验,并从中挖掘和发现更新的几何关系的一种实验型几何的历史阶段 如,中国古代曾经采黄金分别做成直径、边长均为一寸的球体和正方体,称得球体重9两,正方体重16两,通过比较得球体体积约为[X(]916[X)]d3[6],经验几何包含有重要的思想方法——“特例研究发现法”,就是对具体事例进行分析、研究和实验,采用归纳、类比、联想等思维方法,发现几何关系的本质特征,揭示事物的内在规律,寻找解决问题的办法,从而达到解决问题的目的
经验几何中所包含的主要思想方法便为“不完全归纳法”,而这一方法在发展学生的“策略创造”思维方面具有独特的效能,因为“任何一种新的数学理论,只靠严谨的逻辑演绎是‘推不出来的,必须加上生动的思维创造,一旦有了新的想法,采取了新的策略,掌握了新的技巧,数学思维就前进一步”(张奠宙)
第二学段(4～6年级)中,在上一阶段对简单图形及位置关系认识的基础上,“学生将了解一些简单几何体和平面图形的基本特征,进一步学习图形变换和确定物体位置的方法,发展空间观念” 这一阶段中,儿童的动手实践能力、逻辑推理能力及抽象思维能力有了发展,因此,“在教学中,应注重使学生探索现实世界中有关空间与图形的问题;应注重使学生通过观察、操作、推理等手段,逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及变换;应注重通过观察物体、认识方向、制作模型、设计图案等活动,发展学生的空间观念” 这一阶段《标准》的要求与“经验几何阶段”的几何特点是相符的[JP]
3.3 论证几何初试阶段
[JP3]古埃及与巴比伦人,由于长期(约三千年)的生活实践,累积了大量直观的、经验的、实验的几何知识,终于在希腊的一群爱智、求完美、讲究论证、追根究底、为真理奋斗的哲学家们手中得到增益与整理,开始发生质变,他们给经验注入论证与证明,这是数学史也是文明史上了不起的创举,最重大的转折点之一
古希腊人花了约三百年的时间(公元前600～300年),才将经验式的几何精练成演绎式的几何 首先由演绎几何之父泰勒斯(hales, 公元前约625～546年)开始,他试图将几何结果排成逻辑链条logical chain);排在前面的可以推导出排在后面的,因而有了“证明”的念头 泰勒斯开始将具体的、独立的几何原型加以抽象化与概念化,研究图形本身并且给出普遍叙述的几何命题 这是几何要成为演绎系统的必要准备工作 接着是毕达哥拉拉斯学派提出“直观性常识的几何原子论”,假设点的长度大于0,从而任何两线段皆可公度 由此尝试给几何建立基础,但终因不可公度量的发现而破产 但是随后柏拉图提供方法,亚里士多德提供演绎架构并在该架构中形成公理化思想的雏形,促使希腊几何走上演绎形式之路,柏拉图与亚里士多德虽然都不是数学家,但他们都是“数学家的制造者”(the maker of mathematicians) 最后由出身于柏拉图学园的数学家欧道克斯进行了完善工作,加上长期积累的几何知识,到此,欧氏几何已经呼之欲出了
这是一个漫长的、充满创造性的过程,因此,当代著名的科学哲学家拉卡托斯(I Lakatos, 1922～1974),指出:“我认为对于希腊几何所能做的最精彩工作,是分析欧氏之前的几何pre-Euclidean geometry) 及其在产生欧氏演绎系统的过程中所扮演的角色 大部分的欧氏几何,在欧几里得给出定理与定义之前已经存在”[7]因此,从几何教育角度看,公理并不是天经地义、自然的,因此,在第三学段(7～9年级)中要求,在第二学段中对平面图形、位置关系特征初步认识的基础上进一步“探索基本图形(直线形、圆)的基本性质及其相互关系,进一步丰富对空间图形的认识和感受,学习平移、旋转、对称的基本性质,欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用,学习运用坐标系确定物体位置的方法,发展空间观念 ”注重在应用、数学美学角度对几何的理解 虽然,这一学段学生的逻辑思维能力、数学抽象能力、数学交流能力有了进一步的发展,有了初步形式化推理的意识,但还处于论证几何的初级阶段,几何推理依赖于图形直观,因此,“推理与论证的学习从以下几个方面展开:在探索图形性质、与他人合作交流等活动过程中,加强几何直观,发展合情推理,进一步学习有条理地思考与表达;在积累了一定的活动经验与掌握了一定的图形性质的基础上,从几个基本的事实出发,证明一些有关三角形、四边形的基本性质 从而体会证明的必要性,理解证明的基本过程,掌握用综合法证明的格式,初步感受公理化思想 ”[1]因此,这一时段的《标准》要求与论证几何初试阶段的特点是相符合的
4 讨论
反观以前《大纲》对几何内容,严格按着欧氏几何的公理化体系:一条线(两点确定一条直线) ——两条线(研究同一平面内两条直线的位置关系,引入平行公理) ——三条线(三角形的概念、特殊三角性的性质, 全等三角形的性质, 解直角三角形等) ——四条线(四边形的概念、特殊四边形的性质) ——相似形(主要研究相似三角形) ——多条线(多边形) ——圆(多边形的极限),但由欧氏几何发展历史可以看出,人们是先掌握大量的定理,而后为了弄清这些定理的依据,才想到了建立公理体系 我们有理由推知,这种内容安排与儿童在各个年龄段对“形”的认识的心理特征相悖,这也是造成学生形成“几何难学,学好几何,想烂脑壳”观念的一个原因,既使能通过形式推理证明一些几何题,但可能因缺乏必要的几何建构过程,由此会造成创新能力及应用意识欠缺
《标准》则不过分强调公理化体系,而以“图形的认识、图形与变换、图形与位置、图形与证明”四条线索展开,加强空间观念与几何直观,各个学段教学内容的安排与几何史发展历史相吻 正如张景中院士指出:“我们先带引他们欣赏五光十色的几何园地的美景,最后再向他们说明,这个园地的基石在何处 这样,既符合认识规律,也适应年龄特征 ”[5]我们还认为这样安排有利于学生的科学发现和创新能力的培养,有利于形成合理的知识体系
げ慰嘉南
[1]中华人民共和国教育部 全日制义务教育数学课程标准(实验稿) 北京:北京师范大学出版社,2001,7
[2]中华人民共和国国家教育委员 九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用) 北京:人民教育出版社,1992
[3]《光明日报》记者 姜伯驹:新课标让数学课失去了什么[N],光明日报,2005316
[4]林永伟 数学史与数学教育[M] 江西:浙江大学出版社,20044
[5]张奠宙,沈文选主编 中学几何研究[M] 北京:高等教育出版社,20061
[6]李文林 数学史概论[M] 北京:高等教育出版社,2002
[7]Lakatos, I:Mathematics, cience and Epistemology, Cambridge Univ Press, 1978
1 问题提出
面向21世纪的中学数学课程改革考虑到义务教育阶段的基础性、普及性和发展性,于2004年9月在全国推行《全日制义务教育数学课程标准》(2001年)[1](以下简称为《标准》) 相对《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》(2000年)[2](以下简称《大纲》)而言,在平面几何部分有较大的变革 在《大纲》时,注重教师的教学和教学方法的改进,初中平面几何内容主要运用演绎推理的方法,依据扩大的公理化体系证明一些平面图形的性质,强调逻辑论证、强调演绎推理;《标准》则将几何教学内容分成“图形的认识、图形与变换、图形与位置、图形与证明”四个部分,而且均匀地安排在九年义务教育的三个学段中,几何教学内容呈现螺旋上升的方式,每次出现都比前次出现有更高的要求,首先强调直观经验及对几何材料动手操作在几何学习中的基础性地位,接着是抽象,最后是演绎、初步感受公理化思想
《标准》推行后,一方面,得到了广大数学教育工作者的认同,同时也有不同意见[3],其中对平面几何内容改革的争论较大 但不管意见如何,都是对数学教育事业的亲切关怀,都应是无可厚非的,这种百家争鸣的学术局面,恰恰反应了我国学术制度的优越性 从另一角度看,有必要对《标准》中平面几何内容安排合理性需要从理论方面进行阐明,在实践方面进行论证 本文将着重从欧氏几何发展历史角度对《标准》中几何教学内容安排进行比较分析
2 数学史对数学教育的启示——本文的立足点
儿童数学认知过程的研究对数学教育有着基础性作用,正如心理学是教育学的基础 但从另一个层面的分析,学生的数学学习过程是通过对情境从数学角度进行感知、数学化的过程,该过程是人类祖先同样经历过的,我们祖先在认识这些知识时处于自然状态,因此,有理由推知,儿童与人类早期认知具有相似性,在数学教育过程中借鉴先辈数学认知过程将有利于保证儿童数学学习的自然
事实上,数学史可以说是劳动人民集体智慧的表现,揭示了数学产生和发展的过程,是数学知识、思想、方法的宝库,长期以来,许多数学教育家、数学史家都很重视数学史对数学教育中的启示应用[4]
[JP3]匈牙利著名数学家和数学教育家波利亚(George Polya,1887—1985)指出:“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识,我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识作出更好的判断”
法国著名数学家庞加莱(Jules enri Poincaré,1854—1912)则主张数学课程的内容应完全按照历史发展顺序展现给读者,他说:
“动物学家坚持认为,在一个短时期内,动物胚胎的发育重蹈所有地质年代其祖先们的发展历史 人的思维发展似乎也是如此 教育工作者的任务就是让孩子的思维经历其祖先之所经历,迅速通过某些阶段而不跳过任何阶段 鉴于此,科学史应该是我们的指南 ”
荷兰数学家和数学教育家弗赖登塔尔(ans Freudenthal,1905-1990)亦持类似观点,称“年轻的学习者重蹈人类的学习过程,尽管方式改变了”
数学史对数学教育的重要启示同样也得到了现代国际教育界的肯定 一些美国学者则坚信,指导个体认知发展的最佳方法是让他回溯人类的认知发展 即使知识点A在逻辑上先于知识点B,但如果B在历史上先于A出现,那么我们仍应先教B
国际数学教育大会(ICME)的“课题研究组”(topic study group,简记为G)中主题17则为:数学史在数学教育中的作用
基于儿童对数学的认知与人类对数学的认知在过程上具有相似性,因此,对儿童欧氏几何认知过程的探讨有必要以欧氏几何发展历史为借鉴
3 欧氏几何发展历史与《标准》中几何教学内容安排比较
现在中小学几何的大部分内容属于欧氏几何学 欧氏几何学是欧几里得(Euclid,公元前330年—前275年)在前人所积累的几何知识的基础上,总结、发展起来的,目的是使几何知识系统化、严谨化 在《几何原本》一书中,他以119个定义、5个公理及5个公设为逻辑推理的出发点,以演绎推理的方法得到465几何命题,构成了世界上第一个公理化体系 这种方法成为以后研究数学乃至其他科学的标准方法——公理法,成为人类追求最高科学境界的典范[5]
但在《几何原本》以前,人类经历了从古埃及(公元前3100多年)到古希腊近三千年的几何知识的漫长积累 历史上,以几何中“形”的发展过程作为脉络,大致可以分成无意识几何阶段、经验几何阶段、论证几何初试阶段共三个阶段,以下将其主要内容与《标准》中三个学段的几何教学内容要求进行比较
3.1 无意识几何阶段
几何中“形”的意识来自人对客观世界的初始体念 一方面,人在初始状态(幼儿时或远古时)对物体的“形状”就有感觉,人们反复感受自然界中某些物体的较为稳定的形状(如太阳、月亮的圆形)之后,便慢慢地把这些“形”留在了他们的记忆之中,并在劳动中加以运用 比如,在中国古代有“天圆地方”的说法
另一方面,形的意识还来自于人们的实践活动 人们在无数次的奔波往来之中,为了发现最短的道路,渐渐地产生了“直线”的概念 又如“点”的概念在拉丁文Pungo中就是一个实践性概念,意为“刺”、“触”
在人们对“形”的意识逐渐稳定下来后,会产生度量的意识 人们起初很可能也是借助于人的身体的各个部位,作一些简单的测量 例如,为了测量长度,成人男子的步子被当作通行的测量单位,面且这种做法保留至今 除此之外,手指的宽度、关节的长度等都曾用作测量单位,如中国古代中医寻找穴位使用指宽定位 古希腊历史学家希罗多德(erodotus,公元前484—425年)认为几何是埃及人发现的,因为尼罗河每年遭受洪水泛滥而冲毁土地的界限 这样,人们为了重新界定土地,不得不进行反复的测量活动,从而产生了几何学,拉丁文Geometry的原意即为“测地术” 中国古代使用的词语“几何”意为“多少”,与测量活动也是密切相关的
几何中的“结构”意识,在人类活动的初期,其表现的特征是简单的模仿和比照 如太阳从地平线线上升起,也许是圆与直线位置关系的自然原形
总之,“形”的意识、“度量”意识和“结构”意识来自于人们对自然界的感受和体验,来自于适应大自然、改造大自然的实践活动 这是人类在几何领域中最原始、最基本的抽象活动,是对几何的粗浅而简单、直接而形象的认识 我们把这一阶段的几何称作无意识几何阶段
在第一学段(1—3年级)中,《标准》要求学生在幼儿时的经验基础上,进一步“认识简单几何体和平面图形,感受平移、旋转、对称现象,学习描述物体相对位置的一些方法,进行简单的测量活动,建立初步的空间观念 ”而幼儿时期正处于人的初始状态,对图形的认识还处于无意识几何时期,理性思维、抽象思维处于最弱,对图形的认识依赖实物或图形直观,依赖实践活动,因此,“在教学中,应注重所学知识与日常生活的密切联系;应注重使学生在观察、操作等活动中,获得对简单几何体和平面图形的直观经验”由此看来,《标准》在这一学段的要求与无意识几何阶段时的几何特点是相符的
3.2 经验几何阶段
当人们经历了无意识几何的漫长酝酿之后,初步形成了“形”的意识,进而尝试着做一些简单的“度量”工作,同时对几何“结构”关系的探索活动也慢慢地开始了 这样几何就从无意识几何阶段步人了经验几何阶段
所谓经验几何,就是人们通过对大量的具体几何素材进行反复的感受和体验,归纳、概括出较为一般的几何关系,在实践中对之加以验证和检验,并从中挖掘和发现更新的几何关系的一种实验型几何的历史阶段 如,中国古代曾经采黄金分别做成直径、边长均为一寸的球体和正方体,称得球体重9两,正方体重16两,通过比较得球体体积约为[X(]916[X)]d3[6],经验几何包含有重要的思想方法——“特例研究发现法”,就是对具体事例进行分析、研究和实验,采用归纳、类比、联想等思维方法,发现几何关系的本质特征,揭示事物的内在规律,寻找解决问题的办法,从而达到解决问题的目的
经验几何中所包含的主要思想方法便为“不完全归纳法”,而这一方法在发展学生的“策略创造”思维方面具有独特的效能,因为“任何一种新的数学理论,只靠严谨的逻辑演绎是‘推不出来的,必须加上生动的思维创造,一旦有了新的想法,采取了新的策略,掌握了新的技巧,数学思维就前进一步”(张奠宙)
第二学段(4～6年级)中,在上一阶段对简单图形及位置关系认识的基础上,“学生将了解一些简单几何体和平面图形的基本特征,进一步学习图形变换和确定物体位置的方法,发展空间观念” 这一阶段中,儿童的动手实践能力、逻辑推理能力及抽象思维能力有了发展,因此,“在教学中,应注重使学生探索现实世界中有关空间与图形的问题;应注重使学生通过观察、操作、推理等手段,逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及变换;应注重通过观察物体、认识方向、制作模型、设计图案等活动,发展学生的空间观念” 这一阶段《标准》的要求与“经验几何阶段”的几何特点是相符的[JP]
3.3 论证几何初试阶段
[JP3]古埃及与巴比伦人,由于长期(约三千年)的生活实践,累积了大量直观的、经验的、实验的几何知识,终于在希腊的一群爱智、求完美、讲究论证、追根究底、为真理奋斗的哲学家们手中得到增益与整理,开始发生质变,他们给经验注入论证与证明,这是数学史也是文明史上了不起的创举,最重大的转折点之一
古希腊人花了约三百年的时间(公元前600～300年),才将经验式的几何精练成演绎式的几何 首先由演绎几何之父泰勒斯(hales, 公元前约625～546年)开始,他试图将几何结果排成逻辑链条logical chain);排在前面的可以推导出排在后面的,因而有了“证明”的念头 泰勒斯开始将具体的、独立的几何原型加以抽象化与概念化,研究图形本身并且给出普遍叙述的几何命题 这是几何要成为演绎系统的必要准备工作 接着是毕达哥拉拉斯学派提出“直观性常识的几何原子论”,假设点的长度大于0,从而任何两线段皆可公度 由此尝试给几何建立基础,但终因不可公度量的发现而破产 但是随后柏拉图提供方法,亚里士多德提供演绎架构并在该架构中形成公理化思想的雏形,促使希腊几何走上演绎形式之路,柏拉图与亚里士多德虽然都不是数学家,但他们都是“数学家的制造者”(the maker of mathematicians) 最后由出身于柏拉图学园的数学家欧道克斯进行了完善工作,加上长期积累的几何知识,到此,欧氏几何已经呼之欲出了
这是一个漫长的、充满创造性的过程,因此,当代著名的科学哲学家拉卡托斯(I Lakatos, 1922～1974),指出:“我认为对于希腊几何所能做的最精彩工作,是分析欧氏之前的几何pre-Euclidean geometry) 及其在产生欧氏演绎系统的过程中所扮演的角色 大部分的欧氏几何,在欧几里得给出定理与定义之前已经存在”[7]因此,从几何教育角度看,公理并不是天经地义、自然的,因此,在第三学段(7～9年级)中要求,在第二学段中对平面图形、位置关系特征初步认识的基础上进一步“探索基本图形(直线形、圆)的基本性质及其相互关系,进一步丰富对空间图形的认识和感受,学习平移、旋转、对称的基本性质,欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用,学习运用坐标系确定物体位置的方法,发展空间观念 ”注重在应用、数学美学角度对几何的理解 虽然,这一学段学生的逻辑思维能力、数学抽象能力、数学交流能力有了进一步的发展,有了初步形式化推理的意识,但还处于论证几何的初级阶段,几何推理依赖于图形直观,因此,“推理与论证的学习从以下几个方面展开:在探索图形性质、与他人合作交流等活动过程中,加强几何直观,发展合情推理,进一步学习有条理地思考与表达;在积累了一定的活动经验与掌握了一定的图形性质的基础上,从几个基本的事实出发,证明一些有关三角形、四边形的基本性质 从而体会证明的必要性,理解证明的基本过程,掌握用综合法证明的格式,初步感受公理化思想 ”[1]因此,这一时段的《标准》要求与论证几何初试阶段的特点是相符合的
4 讨论
反观以前《大纲》对几何内容,严格按着欧氏几何的公理化体系:一条线(两点确定一条直线) ——两条线(研究同一平面内两条直线的位置关系,引入平行公理) ——三条线(三角形的概念、特殊三角性的性质, 全等三角形的性质, 解直角三角形等) ——四条线(四边形的概念、特殊四边形的性质) ——相似形(主要研究相似三角形) ——多条线(多边形) ——圆(多边形的极限),但由欧氏几何发展历史可以看出,人们是先掌握大量的定理,而后为了弄清这些定理的依据,才想到了建立公理体系 我们有理由推知,这种内容安排与儿童在各个年龄段对“形”的认识的心理特征相悖,这也是造成学生形成“几何难学,学好几何,想烂脑壳”观念的一个原因,既使能通过形式推理证明一些几何题,但可能因缺乏必要的几何建构过程,由此会造成创新能力及应用意识欠缺
《标准》则不过分强调公理化体系,而以“图形的认识、图形与变换、图形与位置、图形与证明”四条线索展开,加强空间观念与几何直观,各个学段教学内容的安排与几何史发展历史相吻 正如张景中院士指出:“我们先带引他们欣赏五光十色的几何园地的美景,最后再向他们说明,这个园地的基石在何处 这样,既符合认识规律,也适应年龄特征 ”[5]我们还认为这样安排有利于学生的科学发现和创新能力的培养,有利于形成合理的知识体系
げ慰嘉南
[1]中华人民共和国教育部 全日制义务教育数学课程标准(实验稿) 北京:北京师范大学出版社,2001,7
[2]中华人民共和国国家教育委员 九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用) 北京:人民教育出版社,1992
[3]《光明日报》记者 姜伯驹:新课标让数学课失去了什么[N],光明日报,2005316
[4]林永伟 数学史与数学教育[M] 江西:浙江大学出版社,20044
[5]张奠宙,沈文选主编 中学几何研究[M] 北京:高等教育出版社,20061
[6]李文林 数学史概论[M] 北京:高等教育出版社,2002
[7]Lakatos, I:Mathematics, cience and Epistemology, Cambridge Univ Press, 1978
