浅谈初中数学教学
おけ本┦形鞒乔德胜门外教场口街9号院2号楼2003室 100011
オ
代 序
ソ逃是极其严肃的伟大事业，通过培养不断地将新的一代带入人类优秀文化精神之中，让他们在完整的精神中生活、工作和交往.
ァ—雅斯?贝尔斯
オナ鼙本┦Υ蠼逃学院之邀,我有幸参加北京市教委初中建设工程的数学督导工作,看到青年数学教师的迅速成长颇感欣喜!如何搞好初中数学教学，我想谈谈自己的一些看法，仅供参考.
1 明确初中数学教学目标
初中数学是义务教育的一门主要学科.其教学目标是使学生学习必要的代数、几何的基础知识和基本技能，培养运算能力、逻辑思维能力和空间观念，能够运用所学的数学知识解决简单的实际问题，逐步形成数学创新意识，培养学生良好的个性品质和辩证唯物主义的观点.
1.1 基础知识
主要包含数学概念、法则、性质、公式、公理、定理及由其内容反映出来的数学思想和方法.概念是知识的细胞，也是思维的素材(判断、推理、论证或计算的根据)，理解和掌握概念是学好数学的根基.学习概念要准确、清晰，不要以为数学概念不直接考查而不认真学习、不求甚解或一知半解，甚至于似是而非、模棱两可，这是数学学习的致命错误！不会解或将题解错的重要原因是概念模糊甚至错误.数学概念的学习重在理解，对概念的实质和术语的含义必须了解透彻，特别是关键字眼要反复斟酌推敲，要真正搞懂它的内涵与外延，才能成为自己认知结构的组成部分.教师也要善于列举相近、易混、或反面的概念，在区分、对比、剖析中主导学生深化对概念的理解,掌握和应用它们去解决有关问题.
例1 等式性质：“等式两边乘同一个实数仍然相等”
能否改为：“等式两边同乘一个实数仍然相等”
(否；因为将“乘同”颠倒为“同乘”其含义是不一样的.)
例3 实数的绝对值的概念
几何定义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离.
代数定义：|a|=a (a≥0)-a (a<0)
ア倌芊窦蛐次獆a|=±a；(否)
②能否这样定义：
“正数的绝对值是正数；零的绝对值是零；负数的绝对值也是正数.”(否)
③代数定义告知我们如何去掉绝对值符号（抓零点讨论）.
画函数y=|x|;y=|x-1|;y=|2x+1|;y=|x+2|-|x-2|的图象；
④用几何意义判断不等式的解是否存在：|x+1|+﹟x-2|<3；(不存在)
⑤与算术平方根的联系：a2=|a|,化简：x2+x+14；a2+1a2-2(a>0);
⑥逆向思维：
ト魘a|=a,则a≥0;
ト魘a|=-a,则a≤0;
ト魘a|>a,则a<0;ト魘a|>-a,则a>0;
デ蠼鈢x|+x=0;|x+1|=x+1;|x+1|>x+1.
1.2 基本技能
能够按一定程序与步骤进行运算、作图或画图，进行简单的符合逻辑的推理.
例4 解一元一次方程和一元一次不等式的步骤：
一元一次方程 一元一次不等式
去分母（分子要加括号）………………同左
去括号（括号前的符号）………………同左
移项（变号）……………………………同左
合并同类项（化为最简式）……………同左
ax=b ax>b(axba).
ネü类比，晓知解一元一次方程和一元一次不等式的步骤是相同的，但特别需要强调的是“最后一步”：不等式要分a>0或a<0这两种不同情况.
例5 二次函数式y=ax2+bx+c的配方,化为标准式y=ax+b2a2+4ac-b24a是二次函数问题的关键步骤,它直接影响着后面结论的正确与否,决不能出错.显然,将生动的变形过程作为公式要求学生死记硬背是不可取的.而且,二次式的配方也是今后高中数学经常用到的方法,要非常熟练与过硬.
例6 题目中有三角形,内切圆或外接圆的画图顺序应先画圆后画三角形;又如画菱形的内切圆应先画对称轴,再画圆,最后画菱形.从而达到”快、准、好”.
1.3 运算能力
运算能力是指对数或式的各种变形、化简与求值，能进行合理、简捷、正确的计算、验算、近似计算或估算.运算能力是中学数学培养的三大能力之一,不能错误地认为有了计算器,运算能力的培养就可以消弱,而是在初中就应当过关.实际上,到了高中仍有不少学生的运算能力并不过关.分析头头是道,动笔一算就错!主要表现为:①不能落实”先化简,后求值”的计算原则(分子分母约分,等式两边的系数约简,合并同类项等);②不依据运算律或运算法则进行运算;③只看个别或局部,不能统观全局(分子分母间的关系,前后项的联系,分组计算,整体代值等),寻找简捷的运算规律或技能;④运算小知识积累或掌握不够(速算,和差积的转换等).同学的运算错误有时是粗心大意,但更多是法则不对、概念不清所造成的.
ト(a+b)2=a2+b2;a2=a;a2-b2=a-b;a2-b2a-b=a-b;若a>b,c>d,则a-c>b-d或ac>bd;等等.
ス,不论是选择题、填空题、解答题,教师决不能只讲讲思路,一定要花点时间展现合理简捷的运算过程,并要求和训练学生做到”运算一次准确”,如此下去,日积月累、潜移默化必能培养出过硬的运算能力.
例7已知x=1+52,y=1-52,求①xy+yx;②x2+y2+3xy;③x3+y3的值.
(因为x+y=1，xy=-1将多项式用x+y及xy表示，再求值)
例8①已知a2+2a-1=0,求a3+6a2+8a-3的值.
解1 由a2+2a-1=0,求出a=-1±2,代入多项式求之,繁!
解2 降幂运算,因为a2=1-2a,所以原式=a(1-2a)+6(1-2a)+8a-3=-2a2-3a+3=-2(1-2a)-3a+3=a+1=±2.
解3 整体代值,原式=a(a2+2a-1)+4(a2+2a-1)+a+1=a+1=±2.
②已知x=2-5,求x4-8x3+16x2-x+1的值.
解1 直接代入求之,繁!
解2 转换为有理式,整体代值,因为x-2=-5,所以x2-4x-1=0,
ニ以原式=x2(x2-4x-1)-4x(x2-4x-1)+(x2-4x-1)-x+2
=2-x=5.
ヒ陨细鹘夥哪个简捷是不言而喻的.
例9 化简3-7(5-2)5+2-7.
含有根式的分式化简，一般先考虑分母有理化，其着眼点在分母.此分母含三个无理数，需两次共轭才能完成.统观全局，既看分母又看分子，研究它们之间的关系，我们发现：分母中-7乘以5-2就是分子中的第二项，而(5+2)乘(5-2)正是分子中的第一项.
原式=［3-7(5-2］?(5-2)［(5+2)-7］?(5-2)
=［3-7(5-2)］?(5-2)3-7(5-2)
=5-2.
セ蛟式=(5+2)?(5-2)-7(5-2)5+2-7
=5-2.
ソ窈螅在复数中也会遇到类似情形，如求（3+2i)(1-2i)(2+i)(2-3i)+(3-2i)(1+2i)(2-i)(2+3i)的值.
1.4 逻辑推理能力
逻辑推理能力包括观察、比较、分析、综合、归纳、演绎、类比、抽象、概括等能力.具体表现为：
明确解决问题的目标与方向（直觉思维能力、发现属性能力、发现相似性能力、发现关系的能力、识别模式的能力、形成数学通性通法及数学概念的概括能力等）；会用演绎、归纳和类比进行合乎逻辑的推理与演算（推理能力、转换能力、变式能力、迁移能力及运用思维块能力等）；能准确清晰有条理地进行表述、论证完整（如概念、术语、公式、定理、法则和符号的应用正确、恰当与规范）.
1.5 空间观念
能根据给出的条件画出正确的图形；能正确地分析图中基本元素的位置关系与数量关系；能根据需要对图形进行平移、分解、组合或变形；能“就数论形”和“以形释数”.
几何学科重在培养逻辑推理能力和空间观念.先因后果、言之有据是逻辑推理的体现，为了培养这种能力，需要循序渐进，特别是论证分析要到位，使学生懂得如何分析，如何找到突破口.知识未必能变成能力，可是能力必须有扎实的基础知识.要具备一定的逻辑推理能力和空间观念，首先要有分析工具，这就是有关图形的性质定理及判定定理，要理解、掌握和会用.比如：
①三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、正三角形（它们的元素：角、边、中位线、中线、中垂线、高、角平分线、面积等）的性质与判定定理.
②四边形、梯形、等腰梯形、直角梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定定理.
③三角形（多边形）全等或相似的性质与判定定理;三角形的等积变换.
④圆、直线与圆、圆与圆、角与圆（圆周角、圆心角、弦切角、圆内角、圆外角、扇形）、三角形与圆、四边形与圆、正多边形与圆的性质和判定定理.
⑤正确画图与计算（如圆柱、圆锥侧面积、全面积）.
例10 直角三角形的两条直角边的比为4∶9，则它们在斜边上的射影的比为.
(此题易答错2∶3;正确答案是16∶81);
ニ们的内切圆与外接圆半径之比. (注:直角三角形中,a+b=c+2r;c=2R).
例11 如图2，已知C为线段AB上一点，△ACM和△BCN均为等边三角形，AN和BM交于G，AN和CM交于D，CN和BM交于E.
①设P为AN的中点，Q为BM的中点，求证△CPQ为等边三角形.
②连结MN，求证AN>12(AM+MN+NB).
分析 ①欲证△CPQ为等边三角形,只须证CP=CQ=PQ或CP=CQ,∠PCQ=60°,
因为△ACM和△BCN均为等边三角形,内角60°所以选第二个思路.
ね2
可证△ACN≌△MCB(SAS)→CP=CQ→△CPN≌△CQB→∠PCQ=60°.
图3
注 ①若三角形中有中点,要想到中位线,这样可平移线段(而且还有等量关系).
②在三角形内有一点P,则AB+AC>PB+PC成立(记住某些结论,有利于高起点解题或迅速找到解题的突破口).
例12 如图3，已知AD是△ABC中∠A的平分线，AE是∠A外角∠CAM的平分线，AD、AE分别与BC及其延长线交于点D、E，F是DE的中点，求证：AF2=FB?FC.
分析 欲证AF2=FB?FC,只须△FAC∽△FBA,只须∠B=∠CAF,
而∠B=∠ADC-∠BAD,∠CAF=∠DAF-∠DAC.显然∠BAD=∠DAC，可证△DAE是Rt△,而F是斜边中点，所以∠DAF=∠ADF，故∠B=∠CAF.
注 三角形中一个角的内、外角的平分线互相垂直.
还有一些题是通过计算推理得到证明的,比如:
1.已知点A1,B1,C1将△ABC的三边分为AA1A1B=BB1B1C=CC2.设梯形的两对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为p2和q2，求证该梯
数学思想是数学思维的导向.在初中主要有字母代数的思想,方程的思想,转化(化归)的思想,函数的思想,数形结合的思想，分类的思想,公理化的思想.
数学方法是在数学思想指导下,为数学思维活动提供具体的实施手段.如配方法,待定系数法,换元法,枚举法,构造法,割补法,拆项法,解析法,反证法等.
掌握和运用数学思想方法是数学学习的重要组成,因为“没有脱离数学知识的数学思想方法,也没有不包括数学思想方法的数学知识”.比如：
方程的思想:方程是已知量和未知量的统一体,是从已知探索未知的桥梁.
分类的思想:情况不明需分类,当我们遇到复杂的,多层次的,不确定的问题,可先将有关变量划为较小的取值范围(区间或区域),使“复杂的,多层次的,不确定的”转化为“简单的,单层次的,确定的”情形,由于各类情形单一便于解答.
例14 如图5，已知Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4cm,AB=8cm,D,E,F分别为AB,AC,BC上的中点,若点P为AB边上的一个动点,PQ∥BC且交AC于点Q,以PQ为一边在点A的异侧作正方形PQMN,设正方形PQMN与矩形EDBF公共面积为y,当AP=xcm时,求函数y关于x的解析式.图5
分析 由图不难看出,正方形PQMN与矩形EDBF公共面积分三种情形:
①PD
③83
经验告知我们,任何一种数学思想方法的学习与掌握,绝非一朝一夕的事,也非操之过急靠讲几节“专题课”所能奏效.它需要师生共同努力,重在平时有目的地进行培养,需要经历渗透、反复、逐级递进、螺旋上升、不断深化的过程.事实上,数学思想方法在学生头脑中一旦形成理念,其数学能力及数学素养必将得到升华.
2 怎样的数学课算好课
数学教学是数学活动的教学,是师生之间,学生之间互往互动共同发展的过程.教无定法但有法可循.一堂课的好差不取决于形式,不取决于多媒体运用的多少,更不取决于花架子.我认为一堂好课就是要看:
①能否激发学生探索的欲望和解决问题的热忱，使他们能够积极主动参与学习活动(是主动参与,还是被动参与?是实质性参与,还是形式上参与?)；学生是否通过自己的思维高效率高质量地学习数学?(一堂课他们都学到了什么?).
②能否从学生的实际出发，客观地展现知识发生发展的过程，展现数学思维的活动及深入过程？教师只讲结论和应用,不讲结论的由来与发展;只讲这样做,不讲如何想,即使讲的再多、练的再多、形式再花哨也是不可取的.
多年的教学让我认识到对数学课可从以下八个方面进行考察:
1.对教材处理的科学性、灵活性和艺术性；
2.对教学过程设计的展开性、合理性和巧妙性；
3.对课堂结构建造的整体性、紧凑性和特色性；
4.对教法选择的多样性、综合性和补偿性；
5.对学法指导的针对性、具体性和有效性；
6.对板书设计的直观性、艺术性和重点突出性；
7.对教具（包括多媒体）使用的恰当性和实效性；
8.对教学基本功（如说、读、写、绘等技能）的扎实性和熟练性.
3 如何提高数学教学质量
3.1 认真钻研教材
课堂教学活动是提高教学质量的关键,搞好课堂教学,一定要事先精心备课,因为教学是最需要充分准备的工作.教材是知识的载体,体现着教学大纲的精神和要求.所以，教师要认真解读教材，了解具体教学内容在教材体系中的地位和作用，掌握“三基”应达到的要求，认真研究例、习题，把握教材的深度和广度.如果能够理解、掌握、熟悉、驾驭教材,教学中才能够摆脱对教材的照本宣科、机械套用,而做到左右逢源、得心应手.
我们知道,备课不备课、备课充分不充分,其教学效果是大相径庭的.公开课、示范课、观摩课比平时备课要充分得多,可是讲后仍有这样那样不尽人意的地方,“教学是遗憾的艺术”,我们力求遗憾少效率高.
教师要立足于研究问题,学会对自己的教学行为进行反思,一堂课下来,哪些值得肯定、哪些不足、学生反映如何?有什么闪光点(如学生提出的有价值的问题、巧妙的解题方法等)?做好教学补记,随时修正或调整自己的教学方案.日积月累必见成效,这也是个人的宝贵的教学财富.
3.2 积极参加集体教研
ジ鋈说娜鲜妒怯邢薜,集体的智慧是无穷的.“听君一席话，胜读十年书”，只有多学习、多交流,才能更好地启迪自己、丰富自己.事实上,教师对教材的理解与把握、对教法的感悟与实践、对学生的了解与定位、对工作的态度与追求都是有差异的.教学的进步需要学术的争鸣,没有争鸣教学就会成为一潭死水没了生气.如果能够真正开展知无不言、各抒己见的教研活动,相争相融、和谐发展,那么一定能使教学精益求精、达到炉火纯青.当然,教研活动能否深入开展,与组内教师之间的相互尊重、相互理解、相互包容是分不开的；与组长的领导艺术与学术水平分不开的；特别地，与校领导的奖励政策也是分不开的.
3.3 读一些专业书籍或数学期刊
读一些教育教学理论以及数学学科的教育教学理论,用教学理论及教育新理念指导教学实践.这样,既可以与时俱进防止观念老化,又可以使自己的教学经验上升为理论使之更具有科学性;
读一些数学专业期刊发表的有较高学术水平的教学论文，从中汲取营养,启迪思维,弥补自己教学上的不足;
读一些有针对性的课外书籍,开阔视野、不断丰富知识,使自己的教学居高临下、深入浅出、灵活自如、更上一层楼.
3.4 经常解题
解题实践是数学能力形成的重要途径,也是数学能力高低的重要标志.通过解题,可以发现困难与障碍所在,提炼归纳解题规律和方法;通过解题,可以更好地领悟数学思想方法的精髓,体会数学的本质;通过解题,可以见多识广、发现该题是否精典,是否具有代表性,能否作为新课或复习课的例题、练习题、作业题以及试题;通过解题,把那些融双基于一体、呈现数学思想及通性通法的好题筛选出来，达到举一反三、触类旁通、避免题海战术和提高教学效率的目的.
3.5 研究教法与学法
教与学是艺术,艺术的生命在于灵活与创新.一成不变的教与学会使教学窒息；一味追求形式新颖、华而不实也会造成教学飘浮.只有同具体教学内容联系起来,当其适应于教学内容的逻辑要求时,才能称得上科学有效的教法和学法.当然，无论教和学都要扎扎实实、在理解和消化上下功夫；都必须重视知识或思维的发生发展过程,因为过程性学习,结论生动充实便于理解和掌握;理解性学习,容易建立良好的认知结构,便于知识和能力的运用与正迁移.
3.6 撰写教学论文
借口工作忙而不愿写教学论文是对自己的迁就,撰写教学论文是教师应该具备的素质.当然,撰写教学论文不是教学的目的,要求并鼓励教师撰写和发表教科研论文,可以提高教师对知识理解的深入及对教学本性的认识,使之更好地按照科学规律从事教学,真正达到提高教学质量的目的.因为教科研无止尽,教师就不会孤陋寡闻、固步自封,更不会孤芳自赏、盛气凌人,而是增强教科研意识,谦虚谨慎、不懈努力、深入钻研、勇攀高峰,正像教育家苏霍姆林斯基所言：“才会感到教学的乐趣,而不使天天上课变成一种单调乏味的义务.”
4 结束语
中科院工程院院士徐匡迪说得好:“教育是事业,事业的意义在于献身;教育是科学,科学的价值在于求真;教育是艺术,艺术的生命在于创新.”我想,如果我们每位数学教师都能够把数学教育作为事业去不断追求、作为科学去不断探索、作为艺术去反复锤炼,“学为人师、行为世范”,那么我们的数学教育必能去掉浮躁、摒弃功利、健康发展,成为知识应用、传播和创新的主阵地,在培养人才和提高全民素质方面发挥着重要的不可替代的作用.
げ慰嘉南祝
おぃ1］ 蒋世信. 高中数学教学与解题艺术［M］.中国林业出版社,2006.1.オプ髡呒蚪椋航世信,1946年4月生，北京市人，1969年毕业于北京师范大学数学系(5年制).中学高级教师，曾任北师大燕化附中教学副校长.长期从事高中数学教学与研究，倡导建立完整的课堂教学结构，用系统论、信息论、控制论指导教学过程.从1982年起，先后在中学数学期刊上发表文章50余篇.
オ
代 序
ソ逃是极其严肃的伟大事业，通过培养不断地将新的一代带入人类优秀文化精神之中，让他们在完整的精神中生活、工作和交往.
ァ—雅斯?贝尔斯
オナ鼙本┦Υ蠼逃学院之邀,我有幸参加北京市教委初中建设工程的数学督导工作,看到青年数学教师的迅速成长颇感欣喜!如何搞好初中数学教学，我想谈谈自己的一些看法，仅供参考.
1 明确初中数学教学目标
初中数学是义务教育的一门主要学科.其教学目标是使学生学习必要的代数、几何的基础知识和基本技能，培养运算能力、逻辑思维能力和空间观念，能够运用所学的数学知识解决简单的实际问题，逐步形成数学创新意识，培养学生良好的个性品质和辩证唯物主义的观点.
1.1 基础知识
主要包含数学概念、法则、性质、公式、公理、定理及由其内容反映出来的数学思想和方法.概念是知识的细胞，也是思维的素材(判断、推理、论证或计算的根据)，理解和掌握概念是学好数学的根基.学习概念要准确、清晰，不要以为数学概念不直接考查而不认真学习、不求甚解或一知半解，甚至于似是而非、模棱两可，这是数学学习的致命错误！不会解或将题解错的重要原因是概念模糊甚至错误.数学概念的学习重在理解，对概念的实质和术语的含义必须了解透彻，特别是关键字眼要反复斟酌推敲，要真正搞懂它的内涵与外延，才能成为自己认知结构的组成部分.教师也要善于列举相近、易混、或反面的概念，在区分、对比、剖析中主导学生深化对概念的理解,掌握和应用它们去解决有关问题.
例1 等式性质：“等式两边乘同一个实数仍然相等”
能否改为：“等式两边同乘一个实数仍然相等”
(否；因为将“乘同”颠倒为“同乘”其含义是不一样的.)
例3 实数的绝对值的概念
几何定义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离.
代数定义：|a|=a (a≥0)-a (a<0)
ア倌芊窦蛐次獆a|=±a；(否)
②能否这样定义：
“正数的绝对值是正数；零的绝对值是零；负数的绝对值也是正数.”(否)
③代数定义告知我们如何去掉绝对值符号（抓零点讨论）.
画函数y=|x|;y=|x-1|;y=|2x+1|;y=|x+2|-|x-2|的图象；
④用几何意义判断不等式的解是否存在：|x+1|+﹟x-2|<3；(不存在)
⑤与算术平方根的联系：a2=|a|,化简：x2+x+14；a2+1a2-2(a>0);
⑥逆向思维：
ト魘a|=a,则a≥0;
ト魘a|=-a,则a≤0;
ト魘a|>a,则a<0;ト魘a|>-a,则a>0;
デ蠼鈢x|+x=0;|x+1|=x+1;|x+1|>x+1.
1.2 基本技能
能够按一定程序与步骤进行运算、作图或画图，进行简单的符合逻辑的推理.
例4 解一元一次方程和一元一次不等式的步骤：
一元一次方程 一元一次不等式
去分母（分子要加括号）………………同左
去括号（括号前的符号）………………同左
移项（变号）……………………………同左
合并同类项（化为最简式）……………同左
ax=b ax>b(ax
ネü类比，晓知解一元一次方程和一元一次不等式的步骤是相同的，但特别需要强调的是“最后一步”：不等式要分a>0或a<0这两种不同情况.
例5 二次函数式y=ax2+bx+c的配方,化为标准式y=ax+b2a2+4ac-b24a是二次函数问题的关键步骤,它直接影响着后面结论的正确与否,决不能出错.显然,将生动的变形过程作为公式要求学生死记硬背是不可取的.而且,二次式的配方也是今后高中数学经常用到的方法,要非常熟练与过硬.
例6 题目中有三角形,内切圆或外接圆的画图顺序应先画圆后画三角形;又如画菱形的内切圆应先画对称轴,再画圆,最后画菱形.从而达到”快、准、好”.
1.3 运算能力
运算能力是指对数或式的各种变形、化简与求值，能进行合理、简捷、正确的计算、验算、近似计算或估算.运算能力是中学数学培养的三大能力之一,不能错误地认为有了计算器,运算能力的培养就可以消弱,而是在初中就应当过关.实际上,到了高中仍有不少学生的运算能力并不过关.分析头头是道,动笔一算就错!主要表现为:①不能落实”先化简,后求值”的计算原则(分子分母约分,等式两边的系数约简,合并同类项等);②不依据运算律或运算法则进行运算;③只看个别或局部,不能统观全局(分子分母间的关系,前后项的联系,分组计算,整体代值等),寻找简捷的运算规律或技能;④运算小知识积累或掌握不够(速算,和差积的转换等).同学的运算错误有时是粗心大意,但更多是法则不对、概念不清所造成的.
ト(a+b)2=a2+b2;a2=a;a2-b2=a-b;a2-b2a-b=a-b;若a>b,c>d,则a-c>b-d或ac>bd;等等.
ス,不论是选择题、填空题、解答题,教师决不能只讲讲思路,一定要花点时间展现合理简捷的运算过程,并要求和训练学生做到”运算一次准确”,如此下去,日积月累、潜移默化必能培养出过硬的运算能力.
例7已知x=1+52,y=1-52,求①xy+yx;②x2+y2+3xy;③x3+y3的值.
(因为x+y=1，xy=-1将多项式用x+y及xy表示，再求值)
例8①已知a2+2a-1=0,求a3+6a2+8a-3的值.
解1 由a2+2a-1=0,求出a=-1±2,代入多项式求之,繁!
解2 降幂运算,因为a2=1-2a,所以原式=a(1-2a)+6(1-2a)+8a-3=-2a2-3a+3=-2(1-2a)-3a+3=a+1=±2.
解3 整体代值,原式=a(a2+2a-1)+4(a2+2a-1)+a+1=a+1=±2.
②已知x=2-5,求x4-8x3+16x2-x+1的值.
解1 直接代入求之,繁!
解2 转换为有理式,整体代值,因为x-2=-5,所以x2-4x-1=0,
ニ以原式=x2(x2-4x-1)-4x(x2-4x-1)+(x2-4x-1)-x+2
=2-x=5.
ヒ陨细鹘夥哪个简捷是不言而喻的.
例9 化简3-7(5-2)5+2-7.
含有根式的分式化简，一般先考虑分母有理化，其着眼点在分母.此分母含三个无理数，需两次共轭才能完成.统观全局，既看分母又看分子，研究它们之间的关系，我们发现：分母中-7乘以5-2就是分子中的第二项，而(5+2)乘(5-2)正是分子中的第一项.
原式=［3-7(5-2］?(5-2)［(5+2)-7］?(5-2)
=［3-7(5-2)］?(5-2)3-7(5-2)
=5-2.
セ蛟式=(5+2)?(5-2)-7(5-2)5+2-7
=5-2.
ソ窈螅在复数中也会遇到类似情形，如求（3+2i)(1-2i)(2+i)(2-3i)+(3-2i)(1+2i)(2-i)(2+3i)的值.
1.4 逻辑推理能力
逻辑推理能力包括观察、比较、分析、综合、归纳、演绎、类比、抽象、概括等能力.具体表现为：
明确解决问题的目标与方向（直觉思维能力、发现属性能力、发现相似性能力、发现关系的能力、识别模式的能力、形成数学通性通法及数学概念的概括能力等）；会用演绎、归纳和类比进行合乎逻辑的推理与演算（推理能力、转换能力、变式能力、迁移能力及运用思维块能力等）；能准确清晰有条理地进行表述、论证完整（如概念、术语、公式、定理、法则和符号的应用正确、恰当与规范）.
1.5 空间观念
能根据给出的条件画出正确的图形；能正确地分析图中基本元素的位置关系与数量关系；能根据需要对图形进行平移、分解、组合或变形；能“就数论形”和“以形释数”.
几何学科重在培养逻辑推理能力和空间观念.先因后果、言之有据是逻辑推理的体现，为了培养这种能力，需要循序渐进，特别是论证分析要到位，使学生懂得如何分析，如何找到突破口.知识未必能变成能力，可是能力必须有扎实的基础知识.要具备一定的逻辑推理能力和空间观念，首先要有分析工具，这就是有关图形的性质定理及判定定理，要理解、掌握和会用.比如：
①三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、正三角形（它们的元素：角、边、中位线、中线、中垂线、高、角平分线、面积等）的性质与判定定理.
②四边形、梯形、等腰梯形、直角梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定定理.
③三角形（多边形）全等或相似的性质与判定定理;三角形的等积变换.
④圆、直线与圆、圆与圆、角与圆（圆周角、圆心角、弦切角、圆内角、圆外角、扇形）、三角形与圆、四边形与圆、正多边形与圆的性质和判定定理.
⑤正确画图与计算（如圆柱、圆锥侧面积、全面积）.
例10 直角三角形的两条直角边的比为4∶9，则它们在斜边上的射影的比为.
(此题易答错2∶3;正确答案是16∶81);
ニ们的内切圆与外接圆半径之比. (注:直角三角形中,a+b=c+2r;c=2R).
例11 如图2，已知C为线段AB上一点，△ACM和△BCN均为等边三角形，AN和BM交于G，AN和CM交于D，CN和BM交于E.
①设P为AN的中点，Q为BM的中点，求证△CPQ为等边三角形.
②连结MN，求证AN>12(AM+MN+NB).
分析 ①欲证△CPQ为等边三角形,只须证CP=CQ=PQ或CP=CQ,∠PCQ=60°,
因为△ACM和△BCN均为等边三角形,内角60°所以选第二个思路.
ね2
可证△ACN≌△MCB(SAS)→CP=CQ→△CPN≌△CQB→∠PCQ=60°.
图3
注 ①若三角形中有中点,要想到中位线,这样可平移线段(而且还有等量关系).
②在三角形内有一点P,则AB+AC>PB+PC成立(记住某些结论,有利于高起点解题或迅速找到解题的突破口).
例12 如图3，已知AD是△ABC中∠A的平分线，AE是∠A外角∠CAM的平分线，AD、AE分别与BC及其延长线交于点D、E，F是DE的中点，求证：AF2=FB?FC.
分析 欲证AF2=FB?FC,只须△FAC∽△FBA,只须∠B=∠CAF,
而∠B=∠ADC-∠BAD,∠CAF=∠DAF-∠DAC.显然∠BAD=∠DAC，可证△DAE是Rt△,而F是斜边中点，所以∠DAF=∠ADF，故∠B=∠CAF.
注 三角形中一个角的内、外角的平分线互相垂直.
还有一些题是通过计算推理得到证明的,比如:
1.已知点A1,B1,C1将△ABC的三边分为AA1A1B=BB1B1C=CC2.设梯形的两对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为p2和q2，求证该梯
数学思想是数学思维的导向.在初中主要有字母代数的思想,方程的思想,转化(化归)的思想,函数的思想,数形结合的思想，分类的思想,公理化的思想.
数学方法是在数学思想指导下,为数学思维活动提供具体的实施手段.如配方法,待定系数法,换元法,枚举法,构造法,割补法,拆项法,解析法,反证法等.
掌握和运用数学思想方法是数学学习的重要组成,因为“没有脱离数学知识的数学思想方法,也没有不包括数学思想方法的数学知识”.比如：
方程的思想:方程是已知量和未知量的统一体,是从已知探索未知的桥梁.
分类的思想:情况不明需分类,当我们遇到复杂的,多层次的,不确定的问题,可先将有关变量划为较小的取值范围(区间或区域),使“复杂的,多层次的,不确定的”转化为“简单的,单层次的,确定的”情形,由于各类情形单一便于解答.
例14 如图5，已知Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4cm,AB=8cm,D,E,F分别为AB,AC,BC上的中点,若点P为AB边上的一个动点,PQ∥BC且交AC于点Q,以PQ为一边在点A的异侧作正方形PQMN,设正方形PQMN与矩形EDBF公共面积为y,当AP=xcm时,求函数y关于x的解析式.图5
分析 由图不难看出,正方形PQMN与矩形EDBF公共面积分三种情形:
①PD
③83
经验告知我们,任何一种数学思想方法的学习与掌握,绝非一朝一夕的事,也非操之过急靠讲几节“专题课”所能奏效.它需要师生共同努力,重在平时有目的地进行培养,需要经历渗透、反复、逐级递进、螺旋上升、不断深化的过程.事实上,数学思想方法在学生头脑中一旦形成理念,其数学能力及数学素养必将得到升华.
2 怎样的数学课算好课
数学教学是数学活动的教学,是师生之间,学生之间互往互动共同发展的过程.教无定法但有法可循.一堂课的好差不取决于形式,不取决于多媒体运用的多少,更不取决于花架子.我认为一堂好课就是要看:
①能否激发学生探索的欲望和解决问题的热忱，使他们能够积极主动参与学习活动(是主动参与,还是被动参与?是实质性参与,还是形式上参与?)；学生是否通过自己的思维高效率高质量地学习数学?(一堂课他们都学到了什么?).
②能否从学生的实际出发，客观地展现知识发生发展的过程，展现数学思维的活动及深入过程？教师只讲结论和应用,不讲结论的由来与发展;只讲这样做,不讲如何想,即使讲的再多、练的再多、形式再花哨也是不可取的.
多年的教学让我认识到对数学课可从以下八个方面进行考察:
1.对教材处理的科学性、灵活性和艺术性；
2.对教学过程设计的展开性、合理性和巧妙性；
3.对课堂结构建造的整体性、紧凑性和特色性；
4.对教法选择的多样性、综合性和补偿性；
5.对学法指导的针对性、具体性和有效性；
6.对板书设计的直观性、艺术性和重点突出性；
7.对教具（包括多媒体）使用的恰当性和实效性；
8.对教学基本功（如说、读、写、绘等技能）的扎实性和熟练性.
3 如何提高数学教学质量
3.1 认真钻研教材
课堂教学活动是提高教学质量的关键,搞好课堂教学,一定要事先精心备课,因为教学是最需要充分准备的工作.教材是知识的载体,体现着教学大纲的精神和要求.所以，教师要认真解读教材，了解具体教学内容在教材体系中的地位和作用，掌握“三基”应达到的要求，认真研究例、习题，把握教材的深度和广度.如果能够理解、掌握、熟悉、驾驭教材,教学中才能够摆脱对教材的照本宣科、机械套用,而做到左右逢源、得心应手.
我们知道,备课不备课、备课充分不充分,其教学效果是大相径庭的.公开课、示范课、观摩课比平时备课要充分得多,可是讲后仍有这样那样不尽人意的地方,“教学是遗憾的艺术”,我们力求遗憾少效率高.
教师要立足于研究问题,学会对自己的教学行为进行反思,一堂课下来,哪些值得肯定、哪些不足、学生反映如何?有什么闪光点(如学生提出的有价值的问题、巧妙的解题方法等)?做好教学补记,随时修正或调整自己的教学方案.日积月累必见成效,这也是个人的宝贵的教学财富.
3.2 积极参加集体教研
ジ鋈说娜鲜妒怯邢薜,集体的智慧是无穷的.“听君一席话，胜读十年书”，只有多学习、多交流,才能更好地启迪自己、丰富自己.事实上,教师对教材的理解与把握、对教法的感悟与实践、对学生的了解与定位、对工作的态度与追求都是有差异的.教学的进步需要学术的争鸣,没有争鸣教学就会成为一潭死水没了生气.如果能够真正开展知无不言、各抒己见的教研活动,相争相融、和谐发展,那么一定能使教学精益求精、达到炉火纯青.当然,教研活动能否深入开展,与组内教师之间的相互尊重、相互理解、相互包容是分不开的；与组长的领导艺术与学术水平分不开的；特别地，与校领导的奖励政策也是分不开的.
3.3 读一些专业书籍或数学期刊
读一些教育教学理论以及数学学科的教育教学理论,用教学理论及教育新理念指导教学实践.这样,既可以与时俱进防止观念老化,又可以使自己的教学经验上升为理论使之更具有科学性;
读一些数学专业期刊发表的有较高学术水平的教学论文，从中汲取营养,启迪思维,弥补自己教学上的不足;
读一些有针对性的课外书籍,开阔视野、不断丰富知识,使自己的教学居高临下、深入浅出、灵活自如、更上一层楼.
3.4 经常解题
解题实践是数学能力形成的重要途径,也是数学能力高低的重要标志.通过解题,可以发现困难与障碍所在,提炼归纳解题规律和方法;通过解题,可以更好地领悟数学思想方法的精髓,体会数学的本质;通过解题,可以见多识广、发现该题是否精典,是否具有代表性,能否作为新课或复习课的例题、练习题、作业题以及试题;通过解题,把那些融双基于一体、呈现数学思想及通性通法的好题筛选出来，达到举一反三、触类旁通、避免题海战术和提高教学效率的目的.
3.5 研究教法与学法
教与学是艺术,艺术的生命在于灵活与创新.一成不变的教与学会使教学窒息；一味追求形式新颖、华而不实也会造成教学飘浮.只有同具体教学内容联系起来,当其适应于教学内容的逻辑要求时,才能称得上科学有效的教法和学法.当然，无论教和学都要扎扎实实、在理解和消化上下功夫；都必须重视知识或思维的发生发展过程,因为过程性学习,结论生动充实便于理解和掌握;理解性学习,容易建立良好的认知结构,便于知识和能力的运用与正迁移.
3.6 撰写教学论文
借口工作忙而不愿写教学论文是对自己的迁就,撰写教学论文是教师应该具备的素质.当然,撰写教学论文不是教学的目的,要求并鼓励教师撰写和发表教科研论文,可以提高教师对知识理解的深入及对教学本性的认识,使之更好地按照科学规律从事教学,真正达到提高教学质量的目的.因为教科研无止尽,教师就不会孤陋寡闻、固步自封,更不会孤芳自赏、盛气凌人,而是增强教科研意识,谦虚谨慎、不懈努力、深入钻研、勇攀高峰,正像教育家苏霍姆林斯基所言：“才会感到教学的乐趣,而不使天天上课变成一种单调乏味的义务.”
4 结束语
中科院工程院院士徐匡迪说得好:“教育是事业,事业的意义在于献身;教育是科学,科学的价值在于求真;教育是艺术,艺术的生命在于创新.”我想,如果我们每位数学教师都能够把数学教育作为事业去不断追求、作为科学去不断探索、作为艺术去反复锤炼,“学为人师、行为世范”,那么我们的数学教育必能去掉浮躁、摒弃功利、健康发展,成为知识应用、传播和创新的主阵地,在培养人才和提高全民素质方面发挥着重要的不可替代的作用.
げ慰嘉南祝
おぃ1］ 蒋世信. 高中数学教学与解题艺术［M］.中国林业出版社,2006.1.オプ髡呒蚪椋航世信,1946年4月生，北京市人，1969年毕业于北京师范大学数学系(5年制).中学高级教师，曾任北师大燕化附中教学副校长.长期从事高中数学教学与研究，倡导建立完整的课堂教学结构，用系统论、信息论、控制论指导教学过程.从1982年起，先后在中学数学期刊上发表文章50余篇.
