关于一个伪命题的思考

韩松德
选修课上老师给我们出了这么一个伪命题“一切三角形都是等腰三角形”并给以证明,让我们从中找出原题证明过程中的破绽. 笔者与同学讨论很久,思索考虑的越深,越觉得这道题有意思. 于是便整理下来与广大读者一起分享.
原题的证明过程如下:
证明:如图1,设△ABC中BC边的垂直平分线与顶角A的角平分线相交于点E,过E点作EH、EL分别垂直于AC、AB两边.
因为AE为∠A的角平分线,EL⊥AB且EH⊥AC,
所以EL=EH,又因为AE=AE,
所以Rt△ALE≌Rt△AHE(HL),
所以AL=AH,(1)
又因为E点在BC的垂直平分线上,所以EB=EC.因为EL=EH,所以Rt△BLE≌Rt△EHC(HL)
所以BL=HC,(2)
(1)+(2)得
AL+BL=AH+HC,即AB=AC.
故命题得证.
看到这里读者不觉感到可笑,这么一个荒谬的结论居然能够证明出来. 难道一切三角形都是等腰三角形这个荒谬的结论是正确的?很明显,是错误的!可是事实摆在眼前,“铁证如山”,不得不信.
仔细分析一下原题的证明过程,读者会发现除了第一句话“设△ABC中BC边的垂直平分线与顶角A的角平分线相交于点E(点E在△ABC的内部)”有待商榷外,其他部分完全符合数学原理. 细心读者不免会问:“难道点E一定在三角形的内部?该题的例证三角形为锐角三角形,那么在直角三角形和钝角三角形中点E也会在其内部吗?”
如将上图中的角B换为直角,读者会发现一个很荒谬的结论:直角三角形的一条直角边AB居然等于它的一条斜边AC.
很明显这是错误的!可是如果点E在三角形的内部,那么由上述证明知该三角形一定是等腰三角形,反过来如果一个三角形是等腰三角形,那么由等腰三角形“三线合一”的性质知,点E一定在三角形的内部(实际为∠A的角平分线与BC边的垂直平分线重合). 因此,我们可以做一个大胆的假设:上述情况只在等腰三角形中成立,在其他三角形中不成立.
下面我们来证明这个假设.
图2证明 首先证明三角形为直角三角形的情况. 如图2,以直角边OA为x轴,O点为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy.
设A点的坐标为(a,0),B点的坐标为(0,b)所求点E的坐标(OA边垂直平分线与顶角B的角平分线的交点,下面证明过程中点E代表的意义与此相同)坐标为(x,y).
因为点E在OA的垂直平分线上,
所以E点坐标可设为(a2,y),
又因为点E在∠B的角平分线上,
所以点B到y轴的距离与到直线AB的距离相等.
因为AB的直线方程xa+yb=1,
即bx+ay-ab=0,
所以|12ab+ay-ab|a2+b2=a2,
解得y=b±a2+b22,
因为y
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