“万有引力与航天”中常见问题及讨论
戴静华
3.极地卫星和近地卫星
（1）极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球白转，极地卫星可以实现全球覆盖.
（2）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速网周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.
（3）两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心.
例2 质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动.已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的（）
例4 北京航天飞行控制中心对“嫦娥二号”卫星实施多次变轨控制并获得成功，首次变轨是在卫星运行到远地点时实施的，紧随其后进行的3次变轨均在近地点实施.“嫦娥二号”卫星的首次变轨之所以选择在远地点实施，是为了抬高卫星近地点的轨道高度.同样的道理，要抬高远地点的高度就需要在近地点实施变轨.如图2为“嫦娥二号”某次在近地点A由轨道1变轨为轨道2的示意圖，下列说法中正确的是
（）
A.“嫦娥二号”在轨道l的A点处应点火加速
B.“嫦娥二号”在轨道1的A点处的速度比在轨道2的A点处的速度大
C.“嫦娥二号”在轨道1的A点处的加速度比在轨道2的A点处的加速度大
D.“嫦娥二号”在轨道1的B点处的机械能比在轨道2的C点处的机械能大
例5 2012年6月16日，“神舟九号”宇宙飞船搭载3名航天员飞天，并于6月18日14： 00与“天宫一号”成功对接.在发射时，“神舟九号”宇宙飞船首先要发射到离地面很近的圆轨道，然后经过多次变轨后，最终与在距地面高度为h的圆形轨道上绕地球飞行的“天宫一号”完成对接，之后，整体保持在距地面高度仍为h的圆形轨道上绕地球继续运行.已知地球半径为R，地面附近的重力加速度为g.求：
（1）地球的第一宇宙速度；
（2）“神舟九号”宇宙飞船在近地圆轨道运行的速度与对接后整体的运行速度之比.
五、双星系统模型问题
1.双星系统模型的特点：
（1）两星都绕它们连线上的一点做匀速网周运动，故两星的角速度、周期相等.
（2）两星之间的万有引力提供各自做匀速网周运动的向心力，所以它们的向心力大小相等；
（3）两星的轨道半径之和等于两星间的距离，即rl+ r2=L
2.双星系统模型的三大规律：
（1）双星系统的周期、角速度相同.
（2）轨道半径之比与质量成反比.
（3）双星系统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星个体的质量无关.
例6 如图3所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在（）的两侧.引力常量为G.
（1）求两星球做圆周运动的周期；
（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1，但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5. 98×1024 kg和7.35×l022 kg.求T2与T1两者平方之比.（结果保留3位小数）
解析 （1）设两个星球A和B做匀速网周运动的轨道半径分别为r和R，相互作用的万有引力大小为F，运行周期为T.根据万有引力定律有：
3.极地卫星和近地卫星
（1）极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球白转，极地卫星可以实现全球覆盖.
（2）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速网周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.
（3）两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心.
例2 质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动.已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的（）
例4 北京航天飞行控制中心对“嫦娥二号”卫星实施多次变轨控制并获得成功，首次变轨是在卫星运行到远地点时实施的，紧随其后进行的3次变轨均在近地点实施.“嫦娥二号”卫星的首次变轨之所以选择在远地点实施，是为了抬高卫星近地点的轨道高度.同样的道理，要抬高远地点的高度就需要在近地点实施变轨.如图2为“嫦娥二号”某次在近地点A由轨道1变轨为轨道2的示意圖，下列说法中正确的是
（）
A.“嫦娥二号”在轨道l的A点处应点火加速
B.“嫦娥二号”在轨道1的A点处的速度比在轨道2的A点处的速度大
C.“嫦娥二号”在轨道1的A点处的加速度比在轨道2的A点处的加速度大
D.“嫦娥二号”在轨道1的B点处的机械能比在轨道2的C点处的机械能大
例5 2012年6月16日，“神舟九号”宇宙飞船搭载3名航天员飞天，并于6月18日14： 00与“天宫一号”成功对接.在发射时，“神舟九号”宇宙飞船首先要发射到离地面很近的圆轨道，然后经过多次变轨后，最终与在距地面高度为h的圆形轨道上绕地球飞行的“天宫一号”完成对接，之后，整体保持在距地面高度仍为h的圆形轨道上绕地球继续运行.已知地球半径为R，地面附近的重力加速度为g.求：
（1）地球的第一宇宙速度；
（2）“神舟九号”宇宙飞船在近地圆轨道运行的速度与对接后整体的运行速度之比.
五、双星系统模型问题
1.双星系统模型的特点：
（1）两星都绕它们连线上的一点做匀速网周运动，故两星的角速度、周期相等.
（2）两星之间的万有引力提供各自做匀速网周运动的向心力，所以它们的向心力大小相等；
（3）两星的轨道半径之和等于两星间的距离，即rl+ r2=L
2.双星系统模型的三大规律：
（1）双星系统的周期、角速度相同.
（2）轨道半径之比与质量成反比.
（3）双星系统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星个体的质量无关.
例6 如图3所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在（）的两侧.引力常量为G.
（1）求两星球做圆周运动的周期；
（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1，但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5. 98×1024 kg和7.35×l022 kg.求T2与T1两者平方之比.（结果保留3位小数）
解析 （1）设两个星球A和B做匀速网周运动的轨道半径分别为r和R，相互作用的万有引力大小为F，运行周期为T.根据万有引力定律有：
