“反之”,“否则”何时了

许 昌
我们知道“反之”和“否则”是有严格的区别的. “反之”是反过来说与做,与此行为相反. “否则”是如果不是这样,就……. 两者的区别就是前者是指行为的反向行为,后者是指如果不执行此行为,将会产生什么样的结果. 在数学中也经常用到这两个连接词,例如:如果 a比b 大,那么这句话反之 a比b 小,否则a小于或者等于b . 因此反之不但否定了条件,还假定了一个反命题;而否则的范围更大,只是否定了条件.
然而在初中数学的概率问题上,这两个逻辑连接词有时候区分就不大了. 本文从近三年来各地数学中考试卷中撷取几例,加以分析,以供平时数学教学及命题时参考.
1 比较大小时,“反之”不等于“否则”
例1 (2005年苏州市中考试题)如图1,小明、小华用4张扑克牌(方块2、黑桃4、黑桃5、梅花5)玩游戏,他俩将扑克牌洗匀后,背面朝上放置在桌面上,小明先抽,小华后抽,抽出的牌不放回.
(1)若小明恰好抽到了黑桃4.
①请在下边框中绘制这种情况的树状图;
②求小华抽出的牌面数字比4大的概率.
(2)小明、小华约定:若小明抽到的牌面数字比小华的大,则小明胜;反之,则小明负. 你认为这个游戏是否公平?说明你的理由.
从试题命制者的意思来看,本题中“反之”两字的意义是指除了“小明抽到的牌面数字比小华的大”之外的所有其他情况,即包括“小明抽到的牌的牌面数字比小华的小”或者“小明抽到的牌的牌面数字与小华相等”这两种情况. 一般而言,这也是从生活语言的角度来理解“反之”两个字的正确含义. 对于理解能力有限的初中学生来说,此题有两个地方易引起歧义:一是将“反之”理解为相反的情况,即只包括小明抽到的牌的牌面数字比小华的小这种情况;二是在学生的生活经验来看,通常人们进行打赌游戏时,两个人抽到的牌的牌面数字相等,一般被认为是平局. 可见,由于“数学逻辑”与“生活逻辑”用语的不同,影响到了考生正确的答题.
若将此题中的“反之”改用“否则”,则基本上可以避免上述歧义.
例2 (2007年辽宁十二市中考题)四张质地相同的卡片如图2所示. 将卡片洗匀后,背面朝上放置在桌面上.
(1)求随机抽取一张卡片,恰好得到数字2的概率;
(2)小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏,游戏规则见信息图. 你认为这个游戏公平吗?请用列表法或画树状图法说明理由,若认为不公平,请你修改规则,使游戏变得公平.
分 析 命题者给出的第(2)小题参考解答如下:从表(或树状图)中可以看出所有可能结果共有16种,符合条件的有10种,
从试题命制者的意思来看,本题中“反之”两字的意义是“两位数大于32”. 同样对于理解能力有限的初中学生来说,容易将“反之”理解为相反的情况,即只是大于32的情形. 但由“反之”本身的含义我们可以知道,容易造成的歧义是“两位数不小于32”,那么这里的“32”到底算是小贝胜,还是小晶胜呢?
若将此题中的“反之”改用“否则”,则基本上可以避免出现歧义. 可见,在编制试题时,在考虑科学性的同时,还应该考虑初中学生的理解能力及人们实际生活经验.
2 判断奇偶时,“反之”等于“否则”
例3 (2006年衡阳中考试题)A、B两个口袋中均有3个分别标有数字1、2、3的相同的球,甲、乙两人进行玩球游戏. 游戏规则是:甲从A袋中随机摸一个球,乙从B袋中随机摸一个球,当两个球上所标数字之和为奇数时,则甲赢,否则乙赢. 问这个游戏公平吗?为什么?
如果本题把“当两个球上所标数字之和为奇数时,则甲赢,否则乙赢”改为“当两个球上所标数字之和为奇数时,则甲赢,反之乙赢”没有任何影响,题意依然没有改变. 因为现在结果就只有两个方面,要么是奇数,要么是偶数.
3 叙述清楚时,避免“反之”,“否则”
例4 (2007年泸州中考题)在一个不透明的盒子中装着分别标有数字1,2,3,4的四个完全相同的小球,现在甲、乙两位同学做游戏,游戏规则是:“甲先从盒子中随机摸出一个小球,记下小球上的数字后放回,乙再从盒子中随机摸出一个小球,也记下小球上的数字放回,则游戏结束. 若记下的数字甲比乙大,则甲获胜;若记下的数字甲不比乙大,则乙获胜”.
(1)用树状图分析此游戏有多少种可能出现的结果;
(2)该游戏规则对甲、乙双方公平吗?说明理由.
例5 (2007年常州市中考题)A口袋中装有2个小球,它们分别标有数字1和2;B口袋中装有3个小球,它们分别标有数字3,4和5. 每个小球除数字外都相同. 甲、乙两人玩游戏,从A,B两个口袋中随机地各取出1个小球,若两个小球上的数字之和为偶数,则甲赢;若和为奇数,则乙赢. 这个游戏对甲、乙双方公平吗?请说明理由.
分析 在这两个案例中,命题者有效的避免了“反之”和“否则”的尴尬,而直接的指出了另一个方面的情况:如例4中“若记下的数字甲不比乙大,则乙获胜”,以及例5中“若和为奇数,则乙赢”都说明了试卷命题者故意避开这两个“模糊”的词语,为理解题意扫清了障碍. 笔者建议:“反之”,“否则”是有本质区别的连接词,有时“否则”比“反之”的范围可能更大,但考虑到初中学生的理解能力及人们实际生活经验,希望试题命题者避免“反之”、“否则”的使用,而以例4及例5为参考,把相反的情况说出来,使学生不会陷入“反之”、“否则”的文字游戏中.
作者简介:许昌,1981年4月生,大学本科,中学二级教师.
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