竖直平面内圆周运动实例分析
杨春贵
竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置一一最高点、最低点和水平位置.竖直平面内的圆周运动一般可以划分为这两类，竖直（光滑）圆弧内侧的圆周运动，水流星的运动，过山车运动等，可化为竖直平面内轻绳类圆周运动；汽车过凸形拱桥，小球在竖直平面内的（光滑）圆环内运动，小球套在竖直圆环上的运动等，可化为竖直平面内轻杆类圆周运动.
例1 飞机俯冲拉起时，飞行员处于超重状态，此时座位对飞行员的支持力大于所受的重力，这种现象叫过荷.过荷过重会造成飞行员大脑贫血，四肢沉重，暂时失明，甚至昏厥，受过专门训练的空军飞行员最多可承受9倍重力的支持力影响.取g= 10m/s2，则当飞机在竖直平面上沿圆弧轨道俯冲速度为100 m/s时，圆弧轨道的最小半径为 （）
A.100 m
B.111 m
C.125 m
D.250 m
解析 飞机俯冲到最低点时支持力最大，根据牛顿第二定律有
例2 如图1所示，在质量为M的物体内有光滑的圆形轨道，有一质量为m的小球在竖直平面内沿圆轨道做圆周运动，A、C两点分别为轨道的最高点和最低点，B、D两点与圆心O在同一水平面上.在小球运动过程中，物体M静止于地面，关于物体M对地面的压力Ⅳ和地面对物体M的摩擦力方向，下列说法中正确的是
（）
A.小球运动到4点时，N> Mg，摩擦力方向向左
B.小球运动到B点时，N> Mg，摩擦力方向向右
C.小球运动到C点时，N>（M+m）g，地面对M无摩擦
D.小球运动到D点时，N=（M+m）g，摩擦力方向向右
解析 小球在A点时，球对M的作用力在竖直方向上，系统在水平方向不受力的作用，所以没有摩擦力的作用，选项A错误；小球在B点时，需要的向心力向右，所以M对球有向右的弹力，对M受力分析可知，地面要对物体有向右的摩擦力的作用，在竖直方向上，由于没有加速度，物体受力平衡，所以物体M对地面的压力N= Mg，选项B错误，同理可知选项D错误；小滑块在C点时，滑块的向心力向上，所以C对物体M的压力要大于C的重力，故M受到的球的压力大于mg，那么M对地面的压力就要大于（M+m）g，选项C正确.
例3 如图2甲所示，轻杆一端固定在（）点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动.小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F -v2图象如图乙所示.则 （）
例4 如图3所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均為m的小球A、B，以不同的速度进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点时，对管壁下部的压力为0. 75mg，则A、B两球落地点的距离为多大？
例8 如图9所示，质量为m的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径.某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计，问：
（1）要使盒子在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则该盒子做匀速圆周运动的周期为多少？
（2）若盒子以第（1）问中周期的1/2做匀速圆周运动，则当盒子运动到与图示球心O点位于同一水平面位置时，小球对盒子的哪些面有作用力，作用力为多大？
竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置一一最高点、最低点和水平位置.竖直平面内的圆周运动一般可以划分为这两类，竖直（光滑）圆弧内侧的圆周运动，水流星的运动，过山车运动等，可化为竖直平面内轻绳类圆周运动；汽车过凸形拱桥，小球在竖直平面内的（光滑）圆环内运动，小球套在竖直圆环上的运动等，可化为竖直平面内轻杆类圆周运动.
例1 飞机俯冲拉起时，飞行员处于超重状态，此时座位对飞行员的支持力大于所受的重力，这种现象叫过荷.过荷过重会造成飞行员大脑贫血，四肢沉重，暂时失明，甚至昏厥，受过专门训练的空军飞行员最多可承受9倍重力的支持力影响.取g= 10m/s2，则当飞机在竖直平面上沿圆弧轨道俯冲速度为100 m/s时，圆弧轨道的最小半径为 （）
A.100 m
B.111 m
C.125 m
D.250 m
解析 飞机俯冲到最低点时支持力最大，根据牛顿第二定律有
例2 如图1所示，在质量为M的物体内有光滑的圆形轨道，有一质量为m的小球在竖直平面内沿圆轨道做圆周运动，A、C两点分别为轨道的最高点和最低点，B、D两点与圆心O在同一水平面上.在小球运动过程中，物体M静止于地面，关于物体M对地面的压力Ⅳ和地面对物体M的摩擦力方向，下列说法中正确的是
（）
A.小球运动到4点时，N> Mg，摩擦力方向向左
B.小球运动到B点时，N> Mg，摩擦力方向向右
C.小球运动到C点时，N>（M+m）g，地面对M无摩擦
D.小球运动到D点时，N=（M+m）g，摩擦力方向向右
解析 小球在A点时，球对M的作用力在竖直方向上，系统在水平方向不受力的作用，所以没有摩擦力的作用，选项A错误；小球在B点时，需要的向心力向右，所以M对球有向右的弹力，对M受力分析可知，地面要对物体有向右的摩擦力的作用，在竖直方向上，由于没有加速度，物体受力平衡，所以物体M对地面的压力N= Mg，选项B错误，同理可知选项D错误；小滑块在C点时，滑块的向心力向上，所以C对物体M的压力要大于C的重力，故M受到的球的压力大于mg，那么M对地面的压力就要大于（M+m）g，选项C正确.
例3 如图2甲所示，轻杆一端固定在（）点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动.小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F -v2图象如图乙所示.则 （）
例4 如图3所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均為m的小球A、B，以不同的速度进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点时，对管壁下部的压力为0. 75mg，则A、B两球落地点的距离为多大？
例8 如图9所示，质量为m的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径.某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计，问：
（1）要使盒子在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则该盒子做匀速圆周运动的周期为多少？
（2）若盒子以第（1）问中周期的1/2做匀速圆周运动，则当盒子运动到与图示球心O点位于同一水平面位置时，小球对盒子的哪些面有作用力，作用力为多大？
