阴影部分面积题解法初探
侯西存 庄庆花
数学学习，离不开解题. 解题是数学学习的一个重要组成部分，也是发展学生思维的一种经常性的实践活动. 纵观近几年的全国各地中考试卷，发现在考查学生求解几何图形阴影部分面积问题时，有很多十分优秀的试题，这些题目除了着重考察基础知识外，还十分重视对数学方法的考查，对数学思想的理解及应用. 现摘录几例，谈谈对这类试题的解法. 希望能为学生求解这类试题时提供一点方法指导.
1 巧用和差，复杂图形转化求
例1 如图1，扇形OAB的圆心角为90°，半径为R，分别以OA、OB为直径在扇形内作半圆，P、Q分别表示两个阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是( ).
A.P=Q B.P>Q C.P5 巧用设元，复杂问题轻松求
例9 如图9，在Rt△ABC中，E为斜边AB上一点，AE=2，EB=1，四边形DEFC为正方形，则阴影部分的面积为( )?
分析 阴影部分为两个直角三角形，S△ADE=12AD·DE，S△BEF=12EF·BF，因为DE=EF，所以S┮跤蔼=12AD·DE+12EF·BF=12DE(AD+BF) ，在这里DE、AD、BF都未知，但它们之间有关系，只需求出正方形的边长DE即可，由于题目中告诉的是AE、BE的长度，这两条线段在△ADE，△BEF中，因为△ADE∽△EFB，如果设正方形DEFC的边长为x，所以AEEB=DEBE，即21=xBF，所以BF=x2，
又因为EF=x，BE=1，所以x2+(x2)2=1，所以x=255，所以DE=EF=255，BF=55，AD=455，所以S┮跤蔼=12×AD×DE+12×EF×BF=12×455×255+12×255×55=45+15=1.
例10 现有若干张不相等的但都大于4cm的正方形纸片，从中选一张如图10，从距离正方形的四个顶点2cm处沿45°角画线(实线)，将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积是( ).
分析 易得四个虚线三角形为等腰直角三角形，中间阴影部分为正方形，四个角也有四个等腰直角三角形，要想求阴影部分的面积，只需求出这个正方形的边长，如果设大正方形纸片的边长为x，则四个大等腰直角三角形的直角边长为(x-2)，四个虚线等腰直角三角形的斜边长为(x-4)，所以中间正方形的边长就可求了，为 2(x-2)-22(x-4)×2=22，所以S┮跤=(22)2=8.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
数学学习，离不开解题. 解题是数学学习的一个重要组成部分，也是发展学生思维的一种经常性的实践活动. 纵观近几年的全国各地中考试卷，发现在考查学生求解几何图形阴影部分面积问题时，有很多十分优秀的试题，这些题目除了着重考察基础知识外，还十分重视对数学方法的考查，对数学思想的理解及应用. 现摘录几例，谈谈对这类试题的解法. 希望能为学生求解这类试题时提供一点方法指导.
1 巧用和差，复杂图形转化求
例1 如图1，扇形OAB的圆心角为90°，半径为R，分别以OA、OB为直径在扇形内作半圆，P、Q分别表示两个阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是( ).
A.P=Q B.P>Q C.P5 巧用设元，复杂问题轻松求
例9 如图9，在Rt△ABC中，E为斜边AB上一点，AE=2，EB=1，四边形DEFC为正方形，则阴影部分的面积为( )?
分析 阴影部分为两个直角三角形，S△ADE=12AD·DE，S△BEF=12EF·BF，因为DE=EF，所以S┮跤蔼=12AD·DE+12EF·BF=12DE(AD+BF) ，在这里DE、AD、BF都未知，但它们之间有关系，只需求出正方形的边长DE即可，由于题目中告诉的是AE、BE的长度，这两条线段在△ADE，△BEF中，因为△ADE∽△EFB，如果设正方形DEFC的边长为x，所以AEEB=DEBE，即21=xBF，所以BF=x2，
又因为EF=x，BE=1，所以x2+(x2)2=1，所以x=255，所以DE=EF=255，BF=55，AD=455，所以S┮跤蔼=12×AD×DE+12×EF×BF=12×455×255+12×255×55=45+15=1.
例10 现有若干张不相等的但都大于4cm的正方形纸片，从中选一张如图10，从距离正方形的四个顶点2cm处沿45°角画线(实线)，将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积是( ).
分析 易得四个虚线三角形为等腰直角三角形，中间阴影部分为正方形，四个角也有四个等腰直角三角形，要想求阴影部分的面积，只需求出这个正方形的边长，如果设大正方形纸片的边长为x，则四个大等腰直角三角形的直角边长为(x-2)，四个虚线等腰直角三角形的斜边长为(x-4)，所以中间正方形的边长就可求了，为 2(x-2)-22(x-4)×2=22，所以S┮跤=(22)2=8.
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