化解“运动的合成与分解”学习难点
冯小秋
我们学过“力的合成与分解”，以此为基础，运动的合成与分解仍然是用平行四边形定则来解决的，但是我们涉及的物理量要多些，比如加速度、速度和位移都是矢量，我们涉及的运动过程也要复杂些，比如有直线运动、曲线运动，有匀加速运动还有变加速运动等等.如何化解“运动的合成与分解”学习难点呢？建议注意以下几个方面的问题.
一、合运动和分运动有什么关系？
研究复杂运动的一种基本方法是进行运动的合成和分解，即将一个较为复杂的运动视为物体同时参与两个（或多个）简单运动的结果，这几个同时进行的简单运动称为分运动，物体的复杂运动称为合运动.
合运动和分运动究竟有什么关系呢？
1.等时性：分运动和合运动同时开始，同时进行，同时结束.
2.独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动是各自独立的，互不干扰，任何一个方向的运动都不会因为其他方向运动的存在而受到影响.
3.等效性：分运动和合运动是一种等效替代关系，即各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果.
例1 竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中匀速上浮.如图1所示，当红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，第一次使玻璃管水平向右匀速运动，测得红蜡块运动到顶端所需时间为t1；第二次使玻璃管水平向右加速运动，测得红蜡块从下端运动到顶端所需时间为t2，则
（）
A.tl= t2
B.tl>t2
C.tl< t2
D.无法比较
加速度、位移的公式与此相仿，记住这两个公式对我们解题大有帮助.
解析 如图2甲所示，当车速为4ms时，由运动速度的合成规律可知：
v风对人十v人对地= v风对地
图甲中标出了风对地的速度的大致方向，但仅由此条件还无法确定其具体的数值.
当车速为7m/s时，由于风速不变，故在原图的基础上将人对地的速度改为7 m/s，此时风对人的速度方向为东南方向（东偏南45°），据此作出图乙，图中BC表示原来的速度4 m/s，则现在的速度7 m/s，可用BD来表示，由此可见CD表示3 m/s，由风对人的速度方向为东偏南45。可知，AC也表示3m/s，解△ABC可知，AB表示5m/s，即风对地的速度的大小为5 m/s，方向向东偏北37。.故正确的选项为C.
注意：物理上回答风的方向与日常生活中的习惯不同，在日常生活中本题中的风向表述为“西南风”.
3.运动的合成是唯一的，而运动的分解可以有不同分法.一般应依据运动的效果来分解，比如将一个物体斜向上抛出去，一是可以将这一斜抛运动分解为沿水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动；二是任何抛体运动均可分解为沿初速度方向的匀速直线运动和自由落体运动.另外，与力的分解一样，有时也会碰到将位移、速度、加速度正交分解的情况.
例3 如图3甲所示，在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水，水中放置一个蜡块，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧.然后将这个玻璃管倒置，在蜡块沿玻璃管上升的同时，将玻璃管水平向右移动.假设从某时刻开始计时，蜡块在玻璃管内每1 s上升的距离都是10 cm，玻璃管向右匀加速平移，每Is通过的水平位移依次是2.5 cm、7.5 crri、12.5 cm、17.5 cm.图乙中，y表示蜡块竖直方向的位移，x表示蜡块随玻璃管运动的水平位移，t=0时蜡块位于坐标原点.
（1）请在图乙中画出蜡块4s内的运动轨迹：
（2）求出玻璃管向右平移的加速度大小：
（3）求t=2 s时蜡块的速度v.
解析 （1）蜡块在竖直方向做匀速
直线运动，在水平方向向右做匀加速直线运动，根据题中的数据，用描点法画出蜡块4s内的运动轨迹如图4所示.
三、如何确定物体的运动轨迹？
1.如图5所示，由于物体的速度方向是沿着切线方向，因而已知初速度v、加速度a时，物体将：
（1）大致沿着初速度方向，向加速度方向转弯；
（2）合外力方向（即加速度方向）指向曲线的凹侧.
例4 如图6所示，光滑水平桌面上，一小球以速度v向右匀速运动，当它经过靠近桌边的竖直木板的ad边正前方时，木板开始做自由落体运动.若木板开始运动时，cd边与桌面相齐，则小球在木板上的正投影轨迹是
（）
解析 注意本題中问的是小球相对木板的运动，在水平方向小球相对木板做匀速直线运动，竖直方向小球相对木板向上做匀加速运动，即相对加速度的方向是向上的，所以正投影轨迹应大致沿着初速度方向（向右），向加速度方向（向上）转弯；其轨迹为曲线，选项B是正确的.
（3）物体的运动轨迹曲线应夹在速度矢量与加速度矢量之间.
（4）速率变化情况的判断方法：若合外力方向与速度方向夹角为a，则当a为锐角时，物体做曲线运动的速率将变大；当a为钝角时，物体做曲线运动的速率将变小；当a始终为直角时，则该力只改变速度的方向而不改变速度的大小.
例5 如图7所示，一物体在水平恒力作用下沿光滑的水平面做曲线运动，当物体以M点运动到Ⅳ点时，其速度方向恰好改变了90。，则物体在M点到N点的运动过程中，物体的速率将
（）
A.不断增大
B.不断减小
C.先增大后减小
D.先减小后增大
解析 根据前面第（3）点，物体的加速度不会沿两条虚线的方向，所以大致判断为右下方.一开始速度与加速度方向为钝角，接近N点时为锐角，可知物体的速率先减小后增大.选项D是正确的.
2.合运动的性质与轨迹的判断
（1）两个匀速直线运动的合运动仍为匀速直线运动.
（2） -个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动是匀变速运动，二者共线时，为匀变速直线运动；二者不共线时，为匀变速曲线运动.
（3）两个匀变速直线运动的合运动为匀变速运动，当合运动的初速度与合运动的加速度共线时为匀变速直线运动，当合运动的初速度与合运动的加速度不共线时为匀变速曲线运动.
综上所述，合运动的轨迹取决于合初速度与合加速度是否共线，共线则为直线运动，不共线为曲线运动，例如例4和例5.而合运动的性质则取决于是否为恒力作用，如果是恒力，则为匀加速运动，如果是变力为变加速运动，如果不受力，为匀速直线运动.
我们学过“力的合成与分解”，以此为基础，运动的合成与分解仍然是用平行四边形定则来解决的，但是我们涉及的物理量要多些，比如加速度、速度和位移都是矢量，我们涉及的运动过程也要复杂些，比如有直线运动、曲线运动，有匀加速运动还有变加速运动等等.如何化解“运动的合成与分解”学习难点呢？建议注意以下几个方面的问题.
一、合运动和分运动有什么关系？
研究复杂运动的一种基本方法是进行运动的合成和分解，即将一个较为复杂的运动视为物体同时参与两个（或多个）简单运动的结果，这几个同时进行的简单运动称为分运动，物体的复杂运动称为合运动.
合运动和分运动究竟有什么关系呢？
1.等时性：分运动和合运动同时开始，同时进行，同时结束.
2.独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动是各自独立的，互不干扰，任何一个方向的运动都不会因为其他方向运动的存在而受到影响.
3.等效性：分运动和合运动是一种等效替代关系，即各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果.
例1 竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中匀速上浮.如图1所示，当红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，第一次使玻璃管水平向右匀速运动，测得红蜡块运动到顶端所需时间为t1；第二次使玻璃管水平向右加速运动，测得红蜡块从下端运动到顶端所需时间为t2，则
（）
A.tl= t2
B.tl>t2
C.tl< t2
D.无法比较
加速度、位移的公式与此相仿，记住这两个公式对我们解题大有帮助.
解析 如图2甲所示，当车速为4ms时，由运动速度的合成规律可知：
v风对人十v人对地= v风对地
图甲中标出了风对地的速度的大致方向，但仅由此条件还无法确定其具体的数值.
当车速为7m/s时，由于风速不变，故在原图的基础上将人对地的速度改为7 m/s，此时风对人的速度方向为东南方向（东偏南45°），据此作出图乙，图中BC表示原来的速度4 m/s，则现在的速度7 m/s，可用BD来表示，由此可见CD表示3 m/s，由风对人的速度方向为东偏南45。可知，AC也表示3m/s，解△ABC可知，AB表示5m/s，即风对地的速度的大小为5 m/s，方向向东偏北37。.故正确的选项为C.
注意：物理上回答风的方向与日常生活中的习惯不同，在日常生活中本题中的风向表述为“西南风”.
3.运动的合成是唯一的，而运动的分解可以有不同分法.一般应依据运动的效果来分解，比如将一个物体斜向上抛出去，一是可以将这一斜抛运动分解为沿水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动；二是任何抛体运动均可分解为沿初速度方向的匀速直线运动和自由落体运动.另外，与力的分解一样，有时也会碰到将位移、速度、加速度正交分解的情况.
例3 如图3甲所示，在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水，水中放置一个蜡块，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧.然后将这个玻璃管倒置，在蜡块沿玻璃管上升的同时，将玻璃管水平向右移动.假设从某时刻开始计时，蜡块在玻璃管内每1 s上升的距离都是10 cm，玻璃管向右匀加速平移，每Is通过的水平位移依次是2.5 cm、7.5 crri、12.5 cm、17.5 cm.图乙中，y表示蜡块竖直方向的位移，x表示蜡块随玻璃管运动的水平位移，t=0时蜡块位于坐标原点.
（1）请在图乙中画出蜡块4s内的运动轨迹：
（2）求出玻璃管向右平移的加速度大小：
（3）求t=2 s时蜡块的速度v.
解析 （1）蜡块在竖直方向做匀速
直线运动，在水平方向向右做匀加速直线运动，根据题中的数据，用描点法画出蜡块4s内的运动轨迹如图4所示.
三、如何确定物体的运动轨迹？
1.如图5所示，由于物体的速度方向是沿着切线方向，因而已知初速度v、加速度a时，物体将：
（1）大致沿着初速度方向，向加速度方向转弯；
（2）合外力方向（即加速度方向）指向曲线的凹侧.
例4 如图6所示，光滑水平桌面上，一小球以速度v向右匀速运动，当它经过靠近桌边的竖直木板的ad边正前方时，木板开始做自由落体运动.若木板开始运动时，cd边与桌面相齐，则小球在木板上的正投影轨迹是
（）
解析 注意本題中问的是小球相对木板的运动，在水平方向小球相对木板做匀速直线运动，竖直方向小球相对木板向上做匀加速运动，即相对加速度的方向是向上的，所以正投影轨迹应大致沿着初速度方向（向右），向加速度方向（向上）转弯；其轨迹为曲线，选项B是正确的.
（3）物体的运动轨迹曲线应夹在速度矢量与加速度矢量之间.
（4）速率变化情况的判断方法：若合外力方向与速度方向夹角为a，则当a为锐角时，物体做曲线运动的速率将变大；当a为钝角时，物体做曲线运动的速率将变小；当a始终为直角时，则该力只改变速度的方向而不改变速度的大小.
例5 如图7所示，一物体在水平恒力作用下沿光滑的水平面做曲线运动，当物体以M点运动到Ⅳ点时，其速度方向恰好改变了90。，则物体在M点到N点的运动过程中，物体的速率将
（）
A.不断增大
B.不断减小
C.先增大后减小
D.先减小后增大
解析 根据前面第（3）点，物体的加速度不会沿两条虚线的方向，所以大致判断为右下方.一开始速度与加速度方向为钝角，接近N点时为锐角，可知物体的速率先减小后增大.选项D是正确的.
2.合运动的性质与轨迹的判断
（1）两个匀速直线运动的合运动仍为匀速直线运动.
（2） -个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动是匀变速运动，二者共线时，为匀变速直线运动；二者不共线时，为匀变速曲线运动.
（3）两个匀变速直线运动的合运动为匀变速运动，当合运动的初速度与合运动的加速度共线时为匀变速直线运动，当合运动的初速度与合运动的加速度不共线时为匀变速曲线运动.
综上所述，合运动的轨迹取决于合初速度与合加速度是否共线，共线则为直线运动，不共线为曲线运动，例如例4和例5.而合运动的性质则取决于是否为恒力作用，如果是恒力，则为匀加速运动，如果是变力为变加速运动，如果不受力，为匀速直线运动.
