二次函数与四边形形状相结合的“存在性”试题解题策略
“存在性”问题属于探索性问题的一种，以二次函数为载体的四边形形状“存在性”问题是近几年中考压轴题的热点. 它以能力立意取代知识立意，立足基础，突出能力和数学思想的考查，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，有较高的区分度. 现例举近两年以二次函数为载体的四边形形状“存在性”问题评析如下.
1 与平行四边形形状相结合的存在性问题
如图1，要使四边形ABCD成为平行四边形，根据平行四边形的判定定理，需满足的条件：(1)AD∥BC 且AD=BC ； (2)AD=BC且AB=CD； (3)OA=OC且OB=OD；对于(1)这种需满足两个不同条件的判定方法，我们常常让其中一个条件先满足，再根据所需满足的第二个条件求解.
例1 (2007浙江省)如图2，抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2. (1)求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；(3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.
解 (1)令y=0，解得x1=-1或x2=3，所以A(-1，0)、B(3，0)；将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得y=-3，所以C(2，-3)，所以直线AC的函数解析式是y=-x-1.
(2)设P点的横坐标为x(-1≤x≤2)则P、E的坐标分别为：P(x，-x-1)，E(x， x2-2x-3)，因为P点在E点的上方，PE=(-x-1)-(x2-2x-3)=- x2+x+2，所以当x=12时，PE的最大值是94.
(3)若AF为边，则CG∥AF∥x轴，所以G(0，-3)，AF=CG=2，以A为圆心2为半径画弧交x轴于F1、F2，则F1(1，0)，F2(-3，0)；若AF为对角线，AF、CG交于点D，作CM⊥x轴，GN⊥x轴，垂足分别为M、N，所以△ACM≌△FGN，△CMD≌△FND，所以G点的纵坐标为3，FN=AM=3，所以G1(1+7，3)、G2(1-7，3)，因为FN=AM=3，所以F3(4+7，0)，F4(4-7，0)，存在4个这样的点F，分别是F1(1，0)，F2(-3，0)，F3(4+，0)，F4(4-7，0).
点评 第(3)小题中，因为四个点能组成平行四边形的情况有多种，需分类讨论，把四个点全部找出来有一定的困难.
2 与矩形形状相结合的存在性问题
如图3，要使平行四边形ABCD成为矩形，根据矩形的判定定理，需满足的条件是(1)有一个角(如∠BAD)等于90°. 由勾股定理的逆定理，需满足的数量关系是AB2+AD2=BD2；(2)AC=BD；解题的常见思路是：根据所需的数量关系建立方程模型求解.
例2 (2006年山西)如图4，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A(-4，0)，B(-2，0)，E(0，8). (1)求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；(2)设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，D两点(点C在点D的左侧)，顶点为N，四边形MDNA的面积为S，若点A、点D同时以每秒一个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动，与此同时，点M、点N同时以每秒两个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A点D重合为止，求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；(3)当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值；(4)在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.
解 (1)抛物线C2的解析式为y=-x2+6x-8，过程从略.
(2)易知M(-3，0)，N(3，1)，过N作NH⊥AD于H. 当运动到时刻t时，AD=2OD=8-2t，NH=1+2t. 由中心对称的性质有OA=OD，OM=ON，四边形MDNA为平行四边形，则S=2S△ AND =(8-2t)(1+2t)=-4t2+14t+8. 由题设知0≤t <4.
(3) 当t=-b2a=74(属于0≤t<4的范围)时，S有最大值，此时S的最大值为814.
(4)解法1：由(2)知四边形MDNA为平行四边形，若能形成矩形，则AD=MN，所以OD=ON，因此有OD2=ON2=OH2+NH2，即t2+4t-2=0. 解得t1=6-2，t2=-6-2(舍去).
解法2：因为四边形MDNA为平行四边形，若能形成矩形，则需∠AND=90°，由勾股定理的逆定理知，需满足的数量关系是AN2+ND2=AD2，即(AH2+NH2)+(NH2+HD2)=AD2，所以(7-t)2+(1+2t)2+(1+2t)2+(1-t)2=(8-2t)2，得t2+4t-2=0. (同上). 所以在运动过程中，四边形MDNA可以形成矩形，此时t=6-2.
点评 在第(2)小题中涉及动点问题，关键是弄清动点运动的路程是哪一段. 第(4)小题要判断矩形，既可以根据对角线相等的平行四边形是矩形来判断，也可以根据有一个角是90°的平行四边形是矩形来判断.
3 与菱形(正方形)形状相结合的存在性问题
如图5：要使平行四边形ABCD成为菱形，根据菱形的定义及判定定理，需满足的条件是(1)邻边相等，如AB=BC；(2)对角线互相垂直，如AC⊥BD；要使平行四边形ABCD成为正方形，根据菱形及矩形的判定定理，需满足的条件是：对角线相等且互相垂直.
例3 (2007河南)如图6，对称轴x=72的抛物线经过点A(6，0)和B(0，4).
(1) 求抛物线解析式及顶点坐标；
(2) 设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
① 当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形?
② 是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
4 与等腰梯形形状相结合的存在性问题
图7 图8 如图7：四边形ABCD是梯形，AE⊥BC，DF⊥BC，要使梯形ABCD成为等腰梯形，根据等腰梯形的概念，需满足的条件是(1)AB=CD ；(2)BE=CF； (3)∠B=∠C；在表示AB、CD的长度时，常常需构造Rt△ABE、Rt△CDF，这样首先得表示出BE、CF的长，所以(1)、(2)两种判定方法，我们常常以(2)这种判定方法作为判定等腰梯形的首选方法.
例4 (2007重庆)如图8：已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图8所示的平面直角坐标洗，点B在第一象限内. 将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处.
(1) 求点C的坐标；
(2) 若抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
(3) 若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作y的平行线，交抛物线于点M. 问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形?若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.
点评 本题综合考查了求点的坐标、求抛物线的解析式、解直角三角形等知识，既是代数与几何的有机结合，又有运动与静止的辩证统一. 第(3)小题解法1，由一边上两个角相等的梯形是等腰梯形，得出等腰梯形CDPM的顶点M即为直线CB与抛物线的交点，需要学生有较强的观察能力及分析问题的能力，有一定的难度.
作者简介：郑耀文，1972年11生， 大学本科，中学一级教师. 主要从事于“如何开展课外合作学习”的研究，所参与的该课题获市二等奖，多次获"希望杯"优秀辅导员称号.
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1 与平行四边形形状相结合的存在性问题
如图1，要使四边形ABCD成为平行四边形，根据平行四边形的判定定理，需满足的条件：(1)AD∥BC 且AD=BC ； (2)AD=BC且AB=CD； (3)OA=OC且OB=OD；对于(1)这种需满足两个不同条件的判定方法，我们常常让其中一个条件先满足，再根据所需满足的第二个条件求解.
例1 (2007浙江省)如图2，抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2. (1)求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；(3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.
解 (1)令y=0，解得x1=-1或x2=3，所以A(-1，0)、B(3，0)；将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得y=-3，所以C(2，-3)，所以直线AC的函数解析式是y=-x-1.
(2)设P点的横坐标为x(-1≤x≤2)则P、E的坐标分别为：P(x，-x-1)，E(x， x2-2x-3)，因为P点在E点的上方，PE=(-x-1)-(x2-2x-3)=- x2+x+2，所以当x=12时，PE的最大值是94.
(3)若AF为边，则CG∥AF∥x轴，所以G(0，-3)，AF=CG=2，以A为圆心2为半径画弧交x轴于F1、F2，则F1(1，0)，F2(-3，0)；若AF为对角线，AF、CG交于点D，作CM⊥x轴，GN⊥x轴，垂足分别为M、N，所以△ACM≌△FGN，△CMD≌△FND，所以G点的纵坐标为3，FN=AM=3，所以G1(1+7，3)、G2(1-7，3)，因为FN=AM=3，所以F3(4+7，0)，F4(4-7，0)，存在4个这样的点F，分别是F1(1，0)，F2(-3，0)，F3(4+，0)，F4(4-7，0).
点评 第(3)小题中，因为四个点能组成平行四边形的情况有多种，需分类讨论，把四个点全部找出来有一定的困难.
2 与矩形形状相结合的存在性问题
如图3，要使平行四边形ABCD成为矩形，根据矩形的判定定理，需满足的条件是(1)有一个角(如∠BAD)等于90°. 由勾股定理的逆定理，需满足的数量关系是AB2+AD2=BD2；(2)AC=BD；解题的常见思路是：根据所需的数量关系建立方程模型求解.
例2 (2006年山西)如图4，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A(-4，0)，B(-2，0)，E(0，8). (1)求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；(2)设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，D两点(点C在点D的左侧)，顶点为N，四边形MDNA的面积为S，若点A、点D同时以每秒一个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动，与此同时，点M、点N同时以每秒两个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A点D重合为止，求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；(3)当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值；(4)在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.
解 (1)抛物线C2的解析式为y=-x2+6x-8，过程从略.
(2)易知M(-3，0)，N(3，1)，过N作NH⊥AD于H. 当运动到时刻t时，AD=2OD=8-2t，NH=1+2t. 由中心对称的性质有OA=OD，OM=ON，四边形MDNA为平行四边形，则S=2S△ AND =(8-2t)(1+2t)=-4t2+14t+8. 由题设知0≤t <4.
(3) 当t=-b2a=74(属于0≤t<4的范围)时，S有最大值，此时S的最大值为814.
(4)解法1：由(2)知四边形MDNA为平行四边形，若能形成矩形，则AD=MN，所以OD=ON，因此有OD2=ON2=OH2+NH2，即t2+4t-2=0. 解得t1=6-2，t2=-6-2(舍去).
解法2：因为四边形MDNA为平行四边形，若能形成矩形，则需∠AND=90°，由勾股定理的逆定理知，需满足的数量关系是AN2+ND2=AD2，即(AH2+NH2)+(NH2+HD2)=AD2，所以(7-t)2+(1+2t)2+(1+2t)2+(1-t)2=(8-2t)2，得t2+4t-2=0. (同上). 所以在运动过程中，四边形MDNA可以形成矩形，此时t=6-2.
点评 在第(2)小题中涉及动点问题，关键是弄清动点运动的路程是哪一段. 第(4)小题要判断矩形，既可以根据对角线相等的平行四边形是矩形来判断，也可以根据有一个角是90°的平行四边形是矩形来判断.
3 与菱形(正方形)形状相结合的存在性问题
如图5：要使平行四边形ABCD成为菱形，根据菱形的定义及判定定理，需满足的条件是(1)邻边相等，如AB=BC；(2)对角线互相垂直，如AC⊥BD；要使平行四边形ABCD成为正方形，根据菱形及矩形的判定定理，需满足的条件是：对角线相等且互相垂直.
例3 (2007河南)如图6，对称轴x=72的抛物线经过点A(6，0)和B(0，4).
(1) 求抛物线解析式及顶点坐标；
(2) 设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
① 当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形?
② 是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
4 与等腰梯形形状相结合的存在性问题
图7 图8 如图7：四边形ABCD是梯形，AE⊥BC，DF⊥BC，要使梯形ABCD成为等腰梯形，根据等腰梯形的概念，需满足的条件是(1)AB=CD ；(2)BE=CF； (3)∠B=∠C；在表示AB、CD的长度时，常常需构造Rt△ABE、Rt△CDF，这样首先得表示出BE、CF的长，所以(1)、(2)两种判定方法，我们常常以(2)这种判定方法作为判定等腰梯形的首选方法.
例4 (2007重庆)如图8：已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图8所示的平面直角坐标洗，点B在第一象限内. 将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处.
(1) 求点C的坐标；
(2) 若抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
(3) 若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作y的平行线，交抛物线于点M. 问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形?若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.
点评 本题综合考查了求点的坐标、求抛物线的解析式、解直角三角形等知识，既是代数与几何的有机结合，又有运动与静止的辩证统一. 第(3)小题解法1，由一边上两个角相等的梯形是等腰梯形，得出等腰梯形CDPM的顶点M即为直线CB与抛物线的交点，需要学生有较强的观察能力及分析问题的能力，有一定的难度.
作者简介：郑耀文，1972年11生， 大学本科，中学一级教师. 主要从事于“如何开展课外合作学习”的研究，所参与的该课题获市二等奖，多次获"希望杯"优秀辅导员称号.
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