例谈求解概率的五种常用方法
万树林 王洪龙
数学课程标准把“概率”作为新增加的学习内容后，课改区的中考试题中就出现了大量与概率有关的题目，这类问题紧密联系生活实际，生动有趣，但题型千变万化，解题思维灵活. 同学们在解答它们时，首先要认真审题，弄清楚其结构；其次要抓住问题的本质特征，采用合理的、恰当的方法来处理. 列表法和树状图法是解答概率问题最基本、最常的方法. 下面我们通过列举例题(所选例题均为2007年各地的中考题)来说明概率的常用计算方法.
1 利用总概率为1计算
例1 (贵阳市)在一次抽奖活动中，中奖概率是0.12，则不中奖的概率是.
分析 因为中奖与不中奖的总概率为1，知道了中奖的概率，不中奖的概率可直接用减法求出.
解 因为中奖的概率是0.12，所以不中奖的概率为1-0.12=0.88.
2 利用概率的计算公式计算
例2 (青岛市)随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后至少有一次正面朝上的概率是( ).
分析 为分析方便，我们记正面朝上为1，反面朝上为0，则随机掷一枚均匀的硬币两次，可能出现的情况有四种：(1，0)、(0，1)、(1，1)、(0，0). 在这四种情况中，至少有一次正面朝上出现三次，所以根据概率的计算公式可求出.
解 从上面的分析可看出，则随机掷一枚均匀的硬币两次，可能出现的情况共有四种，在这四种情况中，至少有一次正面朝上出现三次，根据概率的定义可知，落地后至少有一次正面朝上的概率P=正面朝上的次数所有情况=34. 故应选A.
3 用频率估计概率
例3 (河北省)在一个暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中红球只有3个.每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱. 通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是( ).
A.12 B.9 C.4 D.3
分析 根据摸到红球的频率稳定在25%，可以估计摸到红球的概率. 根据概率的计算公式可求出暗箱中红球的个数.
解 因为摸到红球的频率稳定在25%，所以可知摸到红球的概率为25%，从而得到3a=25%，解得a=12. 故选A.
4 列表法
例4 (江西省)在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：
①AB=CD；②∠ABE=∠DCE；③AE=DE；④∠A=∠D
小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张. 请结合图形解答下列两个问题：
(1)当抽得①和②时，用①，②作为条件能判定△BEC是等腰三角形吗?说说你的理由；
(2)请你用树状图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果(用序号表示)，并求以已经抽取的两张纸片的等式为条件，使△BEC不能构成等腰三角形的概率.
分析 (1)根据等腰三角形的判定条件可以判定当抽得①和②时，用①，②作为条件能判定△BEC是等腰三角形. 要证明△BEC是等腰三角形，只要证明BE=CE即可.(2)用列表法列出抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果，根据等腰三角形的判定条件可求出不能够成等腰三角形的结果数，这样根据概率的计算公式可得.
解 (1)能.
理由：由AB=DC，∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC，得△ABE怠鱀CE.
所以BE=CE，所以△BEC是等腰三角形.
(2)抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果如下表：
说明 本题的第二问也可以用树状图法表示出抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果，进而得到答案.
5 树状图法
例5 (金华市)水果种植大户小方，为了吸引更多的顾客，组织了观光采摘游活动. 每一位来采摘水果的顾客都有一次抽奖机会：在一只不透明的盒子里有A、B、C、D四张外形完全相同的卡片，抽奖时选随机抽出一张卡片，再从盒子中剩下的3张中随机抽取第二张.
(1)请利用树状图(或列表)的方法，表示前后两次抽得的卡片所有可能的情况；
(2)如果抽得的两张卡片是同一种水果图片就可获得奖励，那么得到奖励的概率是多少?
分析 (1)直接画出树状图；(2)根据树状图可知抽得卡片的情况总数，在这些情况中先判断出获得奖励的情况数，然后根据概率的计算公式可解.
(2)从上面的树状图可以看出，抽得卡片的情况共有12种，在这12种情况中，只有4种情况可以获得奖励，故获奖励的概率：P=获奖的情况数总的情况数=412=13.
另外，此题也可以用列表的方法求得.
从上面所举的例题可以看出，有关概率的题目立意新颖，都有着一定的生活背景，这些背景取材于学生的生活实际，符合学生的认知和心理特点，对于这样的问题，学生是非常感兴趣的.在解答的过程中学生学会了用数学知识进行说理的方法，如，例4的第(1)问实际上是证明一个三角形是等腰三角形. 本题改变了传统的命题方式，并没有让学生直接证明在AB=DC和∠ABE=∠DCE的条件下△BEC是不是等腰三角形，然后再给出证明. 这种方式比以前的命题方式要好得多. 学生在解答的同时经历了观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展了他们的合情推理能力和初步的演绎推理能力，这种“以理服人”的好习惯、好品质对于培养学生的逻辑能力及学生的创新意识都是有益的.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
数学课程标准把“概率”作为新增加的学习内容后，课改区的中考试题中就出现了大量与概率有关的题目，这类问题紧密联系生活实际，生动有趣，但题型千变万化，解题思维灵活. 同学们在解答它们时，首先要认真审题，弄清楚其结构；其次要抓住问题的本质特征，采用合理的、恰当的方法来处理. 列表法和树状图法是解答概率问题最基本、最常的方法. 下面我们通过列举例题(所选例题均为2007年各地的中考题)来说明概率的常用计算方法.
1 利用总概率为1计算
例1 (贵阳市)在一次抽奖活动中，中奖概率是0.12，则不中奖的概率是.
分析 因为中奖与不中奖的总概率为1，知道了中奖的概率，不中奖的概率可直接用减法求出.
解 因为中奖的概率是0.12，所以不中奖的概率为1-0.12=0.88.
2 利用概率的计算公式计算
例2 (青岛市)随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后至少有一次正面朝上的概率是( ).
分析 为分析方便，我们记正面朝上为1，反面朝上为0，则随机掷一枚均匀的硬币两次，可能出现的情况有四种：(1，0)、(0，1)、(1，1)、(0，0). 在这四种情况中，至少有一次正面朝上出现三次，所以根据概率的计算公式可求出.
解 从上面的分析可看出，则随机掷一枚均匀的硬币两次，可能出现的情况共有四种，在这四种情况中，至少有一次正面朝上出现三次，根据概率的定义可知，落地后至少有一次正面朝上的概率P=正面朝上的次数所有情况=34. 故应选A.
3 用频率估计概率
例3 (河北省)在一个暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中红球只有3个.每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱. 通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是( ).
A.12 B.9 C.4 D.3
分析 根据摸到红球的频率稳定在25%，可以估计摸到红球的概率. 根据概率的计算公式可求出暗箱中红球的个数.
解 因为摸到红球的频率稳定在25%，所以可知摸到红球的概率为25%，从而得到3a=25%，解得a=12. 故选A.
4 列表法
例4 (江西省)在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：
①AB=CD；②∠ABE=∠DCE；③AE=DE；④∠A=∠D
小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张. 请结合图形解答下列两个问题：
(1)当抽得①和②时，用①，②作为条件能判定△BEC是等腰三角形吗?说说你的理由；
(2)请你用树状图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果(用序号表示)，并求以已经抽取的两张纸片的等式为条件，使△BEC不能构成等腰三角形的概率.
分析 (1)根据等腰三角形的判定条件可以判定当抽得①和②时，用①，②作为条件能判定△BEC是等腰三角形. 要证明△BEC是等腰三角形，只要证明BE=CE即可.(2)用列表法列出抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果，根据等腰三角形的判定条件可求出不能够成等腰三角形的结果数，这样根据概率的计算公式可得.
解 (1)能.
理由：由AB=DC，∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC，得△ABE怠鱀CE.
所以BE=CE，所以△BEC是等腰三角形.
(2)抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果如下表：
说明 本题的第二问也可以用树状图法表示出抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果，进而得到答案.
5 树状图法
例5 (金华市)水果种植大户小方，为了吸引更多的顾客，组织了观光采摘游活动. 每一位来采摘水果的顾客都有一次抽奖机会：在一只不透明的盒子里有A、B、C、D四张外形完全相同的卡片，抽奖时选随机抽出一张卡片，再从盒子中剩下的3张中随机抽取第二张.
(1)请利用树状图(或列表)的方法，表示前后两次抽得的卡片所有可能的情况；
(2)如果抽得的两张卡片是同一种水果图片就可获得奖励，那么得到奖励的概率是多少?
分析 (1)直接画出树状图；(2)根据树状图可知抽得卡片的情况总数，在这些情况中先判断出获得奖励的情况数，然后根据概率的计算公式可解.
(2)从上面的树状图可以看出，抽得卡片的情况共有12种，在这12种情况中，只有4种情况可以获得奖励，故获奖励的概率：P=获奖的情况数总的情况数=412=13.
另外，此题也可以用列表的方法求得.
从上面所举的例题可以看出，有关概率的题目立意新颖，都有着一定的生活背景，这些背景取材于学生的生活实际，符合学生的认知和心理特点，对于这样的问题，学生是非常感兴趣的.在解答的过程中学生学会了用数学知识进行说理的方法，如，例4的第(1)问实际上是证明一个三角形是等腰三角形. 本题改变了传统的命题方式，并没有让学生直接证明在AB=DC和∠ABE=∠DCE的条件下△BEC是不是等腰三角形，然后再给出证明. 这种方式比以前的命题方式要好得多. 学生在解答的同时经历了观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展了他们的合情推理能力和初步的演绎推理能力，这种“以理服人”的好习惯、好品质对于培养学生的逻辑能力及学生的创新意识都是有益的.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
