编拟、选择数学题应注意的几个问题
陈 杰
作为数学教师，我们几乎每天都要把一些题目呈现给学生.尤其是进入中考复习阶段，每节课都要进行一定数量的习题训练或测试.只有高质量的习题才能更好地发挥训练、测试功能.有的老师们自己编拟试题，更多的老师是直接引用各种资料上的试题.由于某些资料上的试题质量良莠不齐，在编拟试题、选择试题时，稍不注意，就会出现这样那样的问题，影响了学生学习、测试的效果.本文谈一谈选择、编拟数学试题、习题应注意的几个问题，为老师们提个醒.
1 注意试题科学、严密
例1 东梅体育商店为推销某一品牌的运动服，先进行了市场调查，得到数据如下表所示：
(1)以x作为点的横坐标，p作为点的纵坐标，把上表中的数据在图中(图略)的直角坐标系中描出相应的点，观察连接各点所得的图形，判断p与x的函数关系，并求出p与x的函数表达式.
(2)略；(3)略.
有的习题条件多余造成自相矛盾，有的习题文字叙述歧义、题意不清，这里就不一一举例了.尽管这类题目少之又少，但还是要认真选择，以防万一.
2 要防止知识、要求超标
例3 (Ⅰ)请将下表补充完整：
(Ⅳ)试写出利用你在填上表时获得的结论解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)时的解题步骤.
说明 不要把高中知识作为学生探究的素材，这样会扩大学生学习的范围，增加了学生的负担.各种资料上这类习题也有，选用时，请注意试题所涉及的内容和难度不要超出《课标》的规定.
3 考查目标要明确
3.1 每道试题都要有明确的考查(训练)目标
例4 为了配合“八荣八耻”宣传教育，针对闯红灯现象时有发生的实际情况，八年级某班开展了一次题为“红灯与绿灯”的课题学习活动，他们将全班学生分成8个小组，其中第①～⑥组分别负责早、中、晚三个时段闯红灯违章现象的调查，第⑦小组负责查阅有关红绿灯的交通法规，第⑧小组负责收集有关的交通标志.数据汇总如下：
标志含义： 标志含义：
(3)早晨、中午、晚上三个时段每分钟车流量的极差是，这三个时段的车流总量的中位数是.
(4)观察表中的数据及条形统计图，写出你发现的一种现象并分析其产生的原因.
(5)通过以上调查、统计、分析，向交通管理部门提一条合理化建议.
说明 本题中问题(1)、(2)考查的都是非数学内容.数学教学具有德育教育的作用.学生在学习数学的过程中，其情感、态度、价值观也必定会发生一些变化.教学时，不能忽视情感、态度、价值观等目标的实现.但是否要出一道试题考查德育目标呢?笔者认为对“情感、态度、价值观”等目标的考查，最好伴随着对数学知识、能力的考查之中实现.
3.2 要重视核心内容的考查
例5 某农场中学八年级的同学就每年过生日时，你是否会向母亲道一声“谢谢”这个问题对本年级66名同学进行了调查.调查结果如下：
(1)请你整理上述数据，填写下表.(频率保留四个有效数字)
(2)选择适当的统计图描述这组数据.
(3)通过对这组数据的分析，你有何感想?(用一、两句话表示即可)
回答内容频 数频 率是有时否 说明 学生解答本题时，首先要计数——整理数据，这一过程思维量不大，耗时较多.问题(2)“选择适当的统计图描述这组数据”应是本题考查重点的内容.如果学生数据整理时马虎出错，即使学生明白其中的道理，会画统计图，其结果也会受(1)的影响.本题在学习新课时，作为练习题可以，但总复习时作为测试题，不太理想.选题时，要重视考查学生对本学科核心内容的掌握.
4 尽可能少出死记硬背的知识题
例6 要证明一个四边形是菱形，可以先证明这个四边形是形，再证明这个四边形是(只须填写一种方法).
说明 这类题目仅考查学生对某一知识的记忆水平，学生只需把记忆的文字复述出来即可，思维量极低.在平时偶尔让学生练一下，未尝不可.但用于测试，会助长死记硬背的倾向.
例7 某次歌唱比赛中，6位评委对某位选手的打分如下：
9.6，9.4，9.2，9.6，9.5，9.4.
(1)求这6个分数的平均分；
(2)如果规则规定，去掉一个最高分和最低分，余下的分数的平均分为选手的最后得分，求这位选手的最后得分.
说明 对于本题，学生只需套用平均数公式即可完成，不能考查出学生对平均数概念的深层次理解，而且2个问题在思维层次方面没有多大变化.好的习题，各个小问题的设计，应是层层深入，思维量逐层加大.
一般来说，统计类的试题，指明要求平均数、中位数、众数、极差等，其思维量极低，记住公式即可.对统计中用于刻画数据“平均水平”的统计量——平均数、中位数、众数以及刻画数据波动情况的统计量——极差、标准差、方差等概念的考查，重点不应是概念的记忆与运用，而应侧重于考查学生在具体问题情况下自主选择适当的统计量解决问题，作出决策的能力.要体现“轻模仿，重理解”，注重能力立意.
5 要设计好问题情境
新课程提倡培养学生的数学应用意识和解决问题的能力.应用题是学习、考查的重点之一.问题的实际情境应来自于学生能够理解的生活现实，符合学生所具有的数学现实、学习经验.
5.1 避免“假”应用题
例8 某学校的篮球数比排球数的2倍多2个，篮球数与排球数的差是16，那么，该校的篮球数、排球数分别是多少?
说明 对于这类应用题，学生只需进行简单的文字翻译就可解决，思维量极低，故称为“假”应用题，刚刚学习应用题时，可用于引导学生列方程，但作为测试题，难度太小.
5.2 问题情境应真实、合理
例9 甲、乙、丙三人竞选班长，甲当班长的可能性为.
说明 学生竞选班长的过程中，人为的因素太多，每一个人当选班长的概率不可能是三分之一.本题脱离实际，学生无法回答.我们初中阶段所涉及的随机现象都是基于简单随机事件：所有可能发生的结果是有限的，每个结果发生的可能性都相同的.
5.3 问题情境不能离学生的生活实际太远
图1 例10 2005年10月，继杨利伟之后，航天员费俊龙、聂海胜又遨游了太空，这大大激发了王红庭同学爱好天文学的热情.他通过上网查阅资料了解到，金星和地球的运行轨道可以近似地看作是以太阳为圆心的同心圆，且这两个同心圆在同一平面上(如图1所示)，由于金星和地球的运转速度不同，所以二者的位置不断发生变化，当金星、地球距离最近时，此时叫“下合”；当金星、地球距离最远时，此时叫“上合”；在地球上观察金星的视线恰好与金星轨道相切时，此时分别叫“东大距”和“西大距”，已知地球与太阳相距约15(千万km)，金星与太阳相距约10(千万km)，分别求“下合”、“东大距”、“西大距”、“上合”时，金星、地球的距离(可用根号表示).
(注：在地球上观察金星，当金星分别在太阳的左、右两侧且视线恰好在与金星轨道相切的位置时，分别叫做西大距、东大距)
说明 本题中的专业术语较多，阅读量较大，不利于展示学生的“数学”学习水平.学生解题时真正的难度是阅读文字、理解题意，而一旦理解了题意，其数学模型又较简单.创设的问题情境最好是学生身边的、熟悉的，不能让非数学的文字、术语影响了学生对数学本质的把握.文字的阅读量也不宜过大?
6 要注意试题的呈现方式
很多教师更多关心试题考查的内容，却往往忽视了试题的呈现方式.其实，试题的呈现方式也是一个很重要的问题，会直接影响训练、测试的效果.
例11 不查表，估计2002的大小应在( )
A.42～43之间 B.43～44之间
C.44～45之间 D.45～46之间
说明 学生试着求出42，43，44，45，46等数的平方，就可看出2002的大小范围——解题时不需全部求出.若改为：不查表，与2002最为接近的整数是.学生须先估计，再探究，其训练的效果更好一些!
例12 观察下列方程：(1)2x2-1=0，(2)2x2-5xy+6y2=0，(3)7x2-6x=0，(4)(x-1)2=x2-4. 其中一元二次方程的共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
说明 本题的选择支为“正确的答案有几个”，这种设问方法有一定的缺陷.如果学生对某两个选择支都判断错误，仍有可能选到正确的答案.新课标要求适当淡化概念，不要在概念上钻牛角尖，但不等于不能考查学生对概念的掌握情况.怎么考，有些中考试题中的开放题应是不错的探索.可见，编拟试题时，选择好考查内容，还要考虑通过何种方式向学生呈现.
7 避免硬性拼凑的试题
例13 有下类说法或解法：①用换元法解方程x2+x+1=0，设y=x2+x，则原方程可以化为y+1=2y；②平分弦的半径垂直于弦，并且平分弦所队的一条弧；③平面直角坐标系内的点与实数一一对应；④“对顶角相等”的逆命题是真命题.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
说明 本题选择支的内容杂乱，把不相关的内容拼凑在一起，只为多考查几个知识点，而没有充分发挥选择题的优势.编拟选择题时，最好围绕一个问题情境，从不同角度提出具有迷惑性的选择支，考查学生思维的水平，诊断学生的学习状况.且本题的选择支设计不合理.
图2 例14 如图2，在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，将该矩形沿着BD折叠，点C落在C′处，BC′交AD于点E.sin∠ABE=35，关于x的方程x2-8(b-1)x+4a2-48=0的两个实根之差的平方小于128.
证明 若a，b都为整数，则反比例函数y=a+bx的解析式为xy=3.
说明 本题中矩形的长a、宽b与关于x的一元二次方程没有什么内在的联系，只是用了同样的字母.通常，我们利用知识之间的内在联系编拟试题，可以较好地考查学生对知识理解的深度和灵活运用知识解决问题的能力.但如此把不相关的内容拼凑在一起，其综合性和思维的深度降低，感觉也不自然.所以，在编拟习题时，应注意知识之间内在、合理的联系，避免硬性拼凑.
8 避免试题的知识点过于集中、难度过大、缺乏梯度
图3例15 如图3，点A、B、D都在x轴上，以AB为直径的⊙O1与以DO1为直径的⊙O2交于点C、C1，点C在y轴的正半轴上，1OA-1OB=14，抛物线y=ax2-2ax+c过A，B，C三点，顶点为点P，直线 l过C，D两点.
(1)求抛物线的解析式及点 P 的坐标；
(2)判断点 P 与直线 l 的位置关系，并说明理由；
(3)求过点 P 并与⊙O1相切的直线的解析式.
说明 本题集中了代数、几何较多的知识点，难度较大，梯度较大.试题的最佳“境界”是起步低，层次多.方法活，重本质.入手易，满分难.
我们在编选试题时，除了要努力避免出现上述各类问题外，应重点关注考查学生对核心观点、重要的数学思想方法、基本概念、常用方法的掌握情况，还要关注数学知识的生成过程与教育价值.学生的认知风格、数学思维特征、数学表示的偏好存在差异.好的试题，对不同的学生来说可以有不同的解法，达到不同的层次.
作者简介：陈杰，1966年10月生，威海市教育教学研究中心，初中数学教研，中学高级教师. 主要研究中考数学命题和课堂教学. 先后在《中小学数学》、《中学数学教育》、《中国电化教育》、《中学数学杂志》、《山东教育》等国家级、省级杂志上发表论文十余篇.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
作为数学教师，我们几乎每天都要把一些题目呈现给学生.尤其是进入中考复习阶段，每节课都要进行一定数量的习题训练或测试.只有高质量的习题才能更好地发挥训练、测试功能.有的老师们自己编拟试题，更多的老师是直接引用各种资料上的试题.由于某些资料上的试题质量良莠不齐，在编拟试题、选择试题时，稍不注意，就会出现这样那样的问题，影响了学生学习、测试的效果.本文谈一谈选择、编拟数学试题、习题应注意的几个问题，为老师们提个醒.
1 注意试题科学、严密
例1 东梅体育商店为推销某一品牌的运动服，先进行了市场调查，得到数据如下表所示：
(1)以x作为点的横坐标，p作为点的纵坐标，把上表中的数据在图中(图略)的直角坐标系中描出相应的点，观察连接各点所得的图形，判断p与x的函数关系，并求出p与x的函数表达式.
(2)略；(3)略.
有的习题条件多余造成自相矛盾，有的习题文字叙述歧义、题意不清，这里就不一一举例了.尽管这类题目少之又少，但还是要认真选择，以防万一.
2 要防止知识、要求超标
例3 (Ⅰ)请将下表补充完整：
(Ⅳ)试写出利用你在填上表时获得的结论解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)时的解题步骤.
说明 不要把高中知识作为学生探究的素材，这样会扩大学生学习的范围，增加了学生的负担.各种资料上这类习题也有，选用时，请注意试题所涉及的内容和难度不要超出《课标》的规定.
3 考查目标要明确
3.1 每道试题都要有明确的考查(训练)目标
例4 为了配合“八荣八耻”宣传教育，针对闯红灯现象时有发生的实际情况，八年级某班开展了一次题为“红灯与绿灯”的课题学习活动，他们将全班学生分成8个小组，其中第①～⑥组分别负责早、中、晚三个时段闯红灯违章现象的调查，第⑦小组负责查阅有关红绿灯的交通法规，第⑧小组负责收集有关的交通标志.数据汇总如下：
标志含义： 标志含义：
(3)早晨、中午、晚上三个时段每分钟车流量的极差是，这三个时段的车流总量的中位数是.
(4)观察表中的数据及条形统计图，写出你发现的一种现象并分析其产生的原因.
(5)通过以上调查、统计、分析，向交通管理部门提一条合理化建议.
说明 本题中问题(1)、(2)考查的都是非数学内容.数学教学具有德育教育的作用.学生在学习数学的过程中，其情感、态度、价值观也必定会发生一些变化.教学时，不能忽视情感、态度、价值观等目标的实现.但是否要出一道试题考查德育目标呢?笔者认为对“情感、态度、价值观”等目标的考查，最好伴随着对数学知识、能力的考查之中实现.
3.2 要重视核心内容的考查
例5 某农场中学八年级的同学就每年过生日时，你是否会向母亲道一声“谢谢”这个问题对本年级66名同学进行了调查.调查结果如下：
(1)请你整理上述数据，填写下表.(频率保留四个有效数字)
(2)选择适当的统计图描述这组数据.
(3)通过对这组数据的分析，你有何感想?(用一、两句话表示即可)
回答内容频 数频 率是有时否 说明 学生解答本题时，首先要计数——整理数据，这一过程思维量不大，耗时较多.问题(2)“选择适当的统计图描述这组数据”应是本题考查重点的内容.如果学生数据整理时马虎出错，即使学生明白其中的道理，会画统计图，其结果也会受(1)的影响.本题在学习新课时，作为练习题可以，但总复习时作为测试题，不太理想.选题时，要重视考查学生对本学科核心内容的掌握.
4 尽可能少出死记硬背的知识题
例6 要证明一个四边形是菱形，可以先证明这个四边形是形，再证明这个四边形是(只须填写一种方法).
说明 这类题目仅考查学生对某一知识的记忆水平，学生只需把记忆的文字复述出来即可，思维量极低.在平时偶尔让学生练一下，未尝不可.但用于测试，会助长死记硬背的倾向.
例7 某次歌唱比赛中，6位评委对某位选手的打分如下：
9.6，9.4，9.2，9.6，9.5，9.4.
(1)求这6个分数的平均分；
(2)如果规则规定，去掉一个最高分和最低分，余下的分数的平均分为选手的最后得分，求这位选手的最后得分.
说明 对于本题，学生只需套用平均数公式即可完成，不能考查出学生对平均数概念的深层次理解，而且2个问题在思维层次方面没有多大变化.好的习题，各个小问题的设计，应是层层深入，思维量逐层加大.
一般来说，统计类的试题，指明要求平均数、中位数、众数、极差等，其思维量极低，记住公式即可.对统计中用于刻画数据“平均水平”的统计量——平均数、中位数、众数以及刻画数据波动情况的统计量——极差、标准差、方差等概念的考查，重点不应是概念的记忆与运用，而应侧重于考查学生在具体问题情况下自主选择适当的统计量解决问题，作出决策的能力.要体现“轻模仿，重理解”，注重能力立意.
5 要设计好问题情境
新课程提倡培养学生的数学应用意识和解决问题的能力.应用题是学习、考查的重点之一.问题的实际情境应来自于学生能够理解的生活现实，符合学生所具有的数学现实、学习经验.
5.1 避免“假”应用题
例8 某学校的篮球数比排球数的2倍多2个，篮球数与排球数的差是16，那么，该校的篮球数、排球数分别是多少?
说明 对于这类应用题，学生只需进行简单的文字翻译就可解决，思维量极低，故称为“假”应用题，刚刚学习应用题时，可用于引导学生列方程，但作为测试题，难度太小.
5.2 问题情境应真实、合理
例9 甲、乙、丙三人竞选班长，甲当班长的可能性为.
说明 学生竞选班长的过程中，人为的因素太多，每一个人当选班长的概率不可能是三分之一.本题脱离实际，学生无法回答.我们初中阶段所涉及的随机现象都是基于简单随机事件：所有可能发生的结果是有限的，每个结果发生的可能性都相同的.
5.3 问题情境不能离学生的生活实际太远
图1 例10 2005年10月，继杨利伟之后，航天员费俊龙、聂海胜又遨游了太空，这大大激发了王红庭同学爱好天文学的热情.他通过上网查阅资料了解到，金星和地球的运行轨道可以近似地看作是以太阳为圆心的同心圆，且这两个同心圆在同一平面上(如图1所示)，由于金星和地球的运转速度不同，所以二者的位置不断发生变化，当金星、地球距离最近时，此时叫“下合”；当金星、地球距离最远时，此时叫“上合”；在地球上观察金星的视线恰好与金星轨道相切时，此时分别叫“东大距”和“西大距”，已知地球与太阳相距约15(千万km)，金星与太阳相距约10(千万km)，分别求“下合”、“东大距”、“西大距”、“上合”时，金星、地球的距离(可用根号表示).
(注：在地球上观察金星，当金星分别在太阳的左、右两侧且视线恰好在与金星轨道相切的位置时，分别叫做西大距、东大距)
说明 本题中的专业术语较多，阅读量较大，不利于展示学生的“数学”学习水平.学生解题时真正的难度是阅读文字、理解题意，而一旦理解了题意，其数学模型又较简单.创设的问题情境最好是学生身边的、熟悉的，不能让非数学的文字、术语影响了学生对数学本质的把握.文字的阅读量也不宜过大?
6 要注意试题的呈现方式
很多教师更多关心试题考查的内容，却往往忽视了试题的呈现方式.其实，试题的呈现方式也是一个很重要的问题，会直接影响训练、测试的效果.
例11 不查表，估计2002的大小应在( )
A.42～43之间 B.43～44之间
C.44～45之间 D.45～46之间
说明 学生试着求出42，43，44，45，46等数的平方，就可看出2002的大小范围——解题时不需全部求出.若改为：不查表，与2002最为接近的整数是.学生须先估计，再探究，其训练的效果更好一些!
例12 观察下列方程：(1)2x2-1=0，(2)2x2-5xy+6y2=0，(3)7x2-6x=0，(4)(x-1)2=x2-4. 其中一元二次方程的共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
说明 本题的选择支为“正确的答案有几个”，这种设问方法有一定的缺陷.如果学生对某两个选择支都判断错误，仍有可能选到正确的答案.新课标要求适当淡化概念，不要在概念上钻牛角尖，但不等于不能考查学生对概念的掌握情况.怎么考，有些中考试题中的开放题应是不错的探索.可见，编拟试题时，选择好考查内容，还要考虑通过何种方式向学生呈现.
7 避免硬性拼凑的试题
例13 有下类说法或解法：①用换元法解方程x2+x+1=0，设y=x2+x，则原方程可以化为y+1=2y；②平分弦的半径垂直于弦，并且平分弦所队的一条弧；③平面直角坐标系内的点与实数一一对应；④“对顶角相等”的逆命题是真命题.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
说明 本题选择支的内容杂乱，把不相关的内容拼凑在一起，只为多考查几个知识点，而没有充分发挥选择题的优势.编拟选择题时，最好围绕一个问题情境，从不同角度提出具有迷惑性的选择支，考查学生思维的水平，诊断学生的学习状况.且本题的选择支设计不合理.
图2 例14 如图2，在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，将该矩形沿着BD折叠，点C落在C′处，BC′交AD于点E.sin∠ABE=35，关于x的方程x2-8(b-1)x+4a2-48=0的两个实根之差的平方小于128.
证明 若a，b都为整数，则反比例函数y=a+bx的解析式为xy=3.
说明 本题中矩形的长a、宽b与关于x的一元二次方程没有什么内在的联系，只是用了同样的字母.通常，我们利用知识之间的内在联系编拟试题，可以较好地考查学生对知识理解的深度和灵活运用知识解决问题的能力.但如此把不相关的内容拼凑在一起，其综合性和思维的深度降低，感觉也不自然.所以，在编拟习题时，应注意知识之间内在、合理的联系，避免硬性拼凑.
8 避免试题的知识点过于集中、难度过大、缺乏梯度
图3例15 如图3，点A、B、D都在x轴上，以AB为直径的⊙O1与以DO1为直径的⊙O2交于点C、C1，点C在y轴的正半轴上，1OA-1OB=14，抛物线y=ax2-2ax+c过A，B，C三点，顶点为点P，直线 l过C，D两点.
(1)求抛物线的解析式及点 P 的坐标；
(2)判断点 P 与直线 l 的位置关系，并说明理由；
(3)求过点 P 并与⊙O1相切的直线的解析式.
说明 本题集中了代数、几何较多的知识点，难度较大，梯度较大.试题的最佳“境界”是起步低，层次多.方法活，重本质.入手易，满分难.
我们在编选试题时，除了要努力避免出现上述各类问题外，应重点关注考查学生对核心观点、重要的数学思想方法、基本概念、常用方法的掌握情况，还要关注数学知识的生成过程与教育价值.学生的认知风格、数学思维特征、数学表示的偏好存在差异.好的试题，对不同的学生来说可以有不同的解法，达到不同的层次.
作者简介：陈杰，1966年10月生，威海市教育教学研究中心，初中数学教研，中学高级教师. 主要研究中考数学命题和课堂教学. 先后在《中小学数学》、《中学数学教育》、《中国电化教育》、《中学数学杂志》、《山东教育》等国家级、省级杂志上发表论文十余篇.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
