对比分析法在质点力学与刚体力学中的应用研究

    许梁 刘玲

    摘 要：在高校大学物理与理论力学教学中，质点力学与刚体力学是力学的重要内容，二者分别遵循牛顿第二定律和转动定理。相较而言，质点力学易于接受和掌握，而刚体力学则存在一定的难度。通过对比分析方法，在理解质点力学的基础上，分析刚体与质点力学之间的关系，能够帮助同学们更好地理解刚体力学相关知识，从而将质点力学与刚体力学知识融会贯通。关键词：对比分析法；质点力学；刚体力学；动力学规律DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.09.185

    质点力学与刚体力学是力学现象中的基本模型，是大学物理和理论力学的主要内容之一。中学阶段主要涉及质点动力学相关内容，而高校质点动力学主要是在中学知识的基础上增加了矢量、运动多维性、瞬态性和微积分的应用[1]，因此，在学习这部分内容时相对容易一些。但在涉及刚体动力学概念、定义及定律时，由于是全新的知识，大家往往会理解起来比较困难。鉴于此种情况，本文深入研究质点力学与刚体力学模型的主要内容，并以定轴转动动力学问题为例，通过对比分析法对比分析两个力学模型的关系，以便于帮助大家理解刚体力学知识。1 对比分析法概述1.1 对比分析法涵义

    顾名思义，所谓对比分析法是指将两个具有相似或属性相同的事物进行对比分析，根据一个事物所具有的属性推导出另一事物可能存在同等属性的分析方法。这种方法是帮助人们探索未知世界的重要手段。在知识学习与研究中应用该方法，能够有效降低新知识、新理论的学习难度，从而提高学习和研究效率。物理学知识较为复杂和抽象，尤其是力学相关理论较为繁杂，在力学知识学习中应用对比分析方法，有助于大家加深对运动现象、力学定理、定律的理解。1.2 对比分析法在学习中的应用

    在力学教学过程中，教师时常会用到对比分析方法，以便于大家更好地衔接新旧知识，将已经学习、掌握的知识和新知识串联起来，将高度抽象的知识立体化、层次化，以直观、形象的形式帮助大家更好地理解其中的差异和共同点，提高大家学习效率与质量，可见，该方法具有良好的实践价值。在力学学习中，大家可以主动运用对比分析法，通过假设、推理、分析和论证的步骤，掌握学习力学的方法，从而优化力学课程学习效果，加深对力学现象和相关定律、定理的理解。2 质点力学与刚体力学模型主要研究内容2.1 质点力学概念及主要内容

    质点力学将物体简化为只有质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体[2]。。物体能否被看成质点，不是取决于物体的质量，而是根据研究问题的性质确定的。与质点力学相关的，用以表述质点力学的物理量主要有位置矢量、位移、速度、加速度、动量、动量矩、动能和势能等，相应的力学规律包括牛顿三定律、质点的动量定理、质点的动量矩定理和动能定理等。2.2 刚体力学概念及主要内容

    刚体力学是假设物体受力时，其内部任意两点之间的相对位置始终保持不变的理性化模型。同样，该物体能否被称之为刚体，取决于所研究问题的性质[3]。

    可用于表述刚体力学关系的物理量除了质量力学所描述的物理量之外，还包括转角、角速度、角加速度、动量矩等。与刚体力学相关的物理学规律主要有质心运动定理、刚体绕定轴转动微分方程、刚体的平面运动微分方程和动能定理等[4]。

    刚体力学模型主要用来研究物体复杂力学运动现象，根据刚体力学模型，可将物体运动视为物体质心运动与物体绕质心轴定轴转动的集合，其中，质心运动可以用质点力学进行表述。本文重点讨论质点力学与刚体力学在定轴转动动力学问题上的相关问题。3 质点力学与刚体力学模型对比

    通过对质点与刚体绕定轴转动方程研究，在动因为F（力矩为M）、质量为m的情况下，质点一维直线运动、三维运动与刚体绕定轴转动的物理量可表示为：

    质点一维直线运动：；

    质点三维运动：；

    刚体绕定轴转动：。

    位移现象可表示为：

    质点一维直线运动：；

    质点三维运动：；

    刚体绕定轴转动：。

    速度和加速度可表示为：

    质点一维直线运动速度大小：

    加速度大小：；

    质点三维运动速度：

    加速度：；

    刚体绕定轴转动角速度大小：

    角加速度大小：

    结合动量定量、动量矩定量和动能定理，不难发现，虽然两个力学模型遵循不同的动力学规律，且相互独立，但实际存在内在联系。首先，刚体模型将刚体视为若干微小部分，并将每个微小部分视为一个质点，以此将刚体物体模型视为由无数质点组成的质点系[5]，在此基础上，刚体运动中任意两个质点的相对位置保持不变，因此，可将质点力学作为研究刚体力学模型的基础，并将其视为局部与整体的关系，可将刚体视为特殊的质点系。其次，在对力学规律进行分析时发现，虽然质点力学与刚体力学描述的力学现象不同，但二者数学方程形式大致相同。以牛顿第二定律表示质点动力学关系如下：

    式中：为动量；

    为动量发生变化的原因，即外力作用；

    m为物体质量；

    为物体运动加速度。

    根据上式可知，质量相同的物体所受到的外力作用越大，其動量变化率和加速度也就越大。当受力相同时，物体质量越大，其动量变化率和加速度越小，也就解释了质量越大的物体运动状态越难以发生变化[6]。

    又如，刚体定轴转动的动力学关系以刚体绕定轴转动微分方程进行表述，即：

    式中：是刚体对转轴的动量矩；

    M是转动状态发生原因，即力矩作用；

    为角加速度；

    为对转轴转动惯量。

    根据上式可知，转动惯量相同的物体，其所受到的力矩越大，其动量矩变化和角加速度越大；当受力矩相同的物体，转动惯量越大时，动量矩变化率和角加速度越小，也就是说，当物体转动惯量越大时，其转动状态越难以发生变化。

    因此，质点和刚体力学状态会发生变化，都是在外力的作用下发生的，当物体质量或转动惯量相同时，外力因素越大，其运动状态变化越大；当物体质量或转动惯量越大时，运动状态越难以发生变化[7]。

    综上所述，质点力学与刚体力学的模型存在内在联系，除物理学符号表示意义不同外，二者方程式表述形式基本一致，质点的质量与刚体的转动惯量相对应，质点质量是质点惯性的量度，质点质量越大，其惯性也就越大；同理，刚体转动惯量是刚体转动惯性的量度，其转动惯量越大，转动惯性自然也就越大；质点与刚体所受合外力因素，即质点所受外力与刚体所受外力矩存在对应关系[8]。在质点动力学中，最重要的依据是牛顿第二定律，而刚体力学中的转动力学依据的是绕定轴的动量矩定理，两个公式之间的关系是合外力对应力矩，质量对应转动惯量，加速度对应角加速度，以此可推导出适用于质点与刚体力学的动力学方程为：

    式中，为惯性量，代表质量或转动惯量；

    为速度量，代表速度或角速度；

    A为加速度量，代表加速度或角加速度；

    R為外因量，代表合外力或力矩。4 结语

    通过分析质点与刚体力学模型的关系，使用对比分析法研究两个力学模型的计算方程，从而发现两个力学模型的内在联系，进而建立起适用于质点力学和刚体力学模型的统一表述，有助于深入了解刚体力学模型相关概念，以期为大家进行刚体力学知识学习和研究提供参考。参考文献：[1]于洪杰.刚体角动量和转动定律的教学讨论[J].赤峰学院学报（自然科学版），2018，34（01）：152-153.[2] 哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学（第8版）[M].高等教育出版社，2016：247.[3]王成会，陈时，莫润阳，边小兵.刚体与质点碰撞实例分析[J].大学物理，2015，34（10）：35-38.[4]王小兰，李春密，尹建武.巧用类比教学法实现刚体力学的有效教学[J].大学物理实验，2014，27（01）：101-104.[5]吴彦斌.类比方法在刚体动力学教学中的应用[J].河南科技，2014（01）：271-272.[6]陈柯.质点直线运动与刚体定轴转动的对比学习[J].高师理科学刊，2013，33（04）：80-83.[7]何广平.从一道习题看刚体定轴转动概念的运用[J].物理通报，2013（01）：12-16.[8]鲁玉明.应用转动定律分析质点和刚体组合的运动[J].物理通报，2011（04）：9-10.