一道教材习题的两种思维及六种解法
韩永华 陆永红
北师大版七年级数学教材上册第192页问题解决中的第2题是这样的：
一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米/时的速度前进．突然，1号队员以45千米/时的速度独自行进，行进10千米后掉转车头，仍以45千米/时的速度往回骑，直到与其他队员会合．1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多少时间？
这道习题安排在第五章“能追上小明吗”这一节之中，由于深入研究这道习题不仅可以培养学生的个别思维与整体思维的能力，而且还可以通过六种不同的解法培养学生解题的灵活性与思维的广阔性，所以我在教这节内容时把此题放在课堂巩固练习之中，力求用好用足这一难得的教材资源．
图１先引导学生画好线段图：如图1所示，假设1号队员在点A开始离开队伍，当1号队员行进10千米到达点D时，车队行至点B，1号队员掉转车头后与车队重新相遇于点C．然后引导学生从以下两个方面进行分析和解答．
1 设直接未知数，采取整体思维的方式进行解答
解法1 如图1所示，设1号队员从A到D再到C共用x小时，则车队从A到B再到C也共用了x小时，所以AD+CD=45x，AB+BC=35x．再根据1号队员走的路程+车队走的路程=10×2，可得如下方程：
45x+35x=20，解此方程得：x=14．
所以1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过的时间为14小时．
2 设间接未知数，采取个别思维的方式进行解答
解法2 如图2所示，设1号队员掉转车头后，再用x小时与车队重新会合，则CD=45x，BC=35x，AB=10-（45x+35x）=10-80x．因为车队走AB这段路程用的时间等于1号队员走10千米用的时间，于是可得如下的方程：
此方程可化为2-16x7=29．
解此方程得x=136．
所以1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过的时间为：1045+x=29+136=14（小时）．
图2解法3 如图2所示，设车队走BC这段路程用了x小时，则1号队员走CD这段路程也用了x小时，所以BC=35x，CD=45x，AB=10-（35x+45x）=10-80x．根据车队走AB这段路程用的时间等于1号队员走AD这段落路程用的时间，可以得到下面的方程：
10-80x35=1045，解此方程得x=136．
所以1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过的时间为：1045+x=29+136=14（小时）．
图3解法4 如图3所示，设1号队员掉转车头后，再行x千米与车队重新会合，则1号队员走CD这段路程用的时间是x45小时，车队走BC这段路程也用了x45小时，于是BC=x45×35=79x，AB=10-（79x+x）=10-169x，根据车队走AB这段路程用的时间等于1号队员走10千米用的时间，可以得到下面的方程：
10-169x35=1045，
此方程可化为10-169x35=29.
解此方程得x=54．
所以1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过的时间为：
10+x45=10+5445=14(小时)．
图4解法5 如图4所示，设BC=x千米，则车队走BC这段路程用的时间与1号队员走CD这段路程用的时间均为x35小时，所以CD=x35×45＝97x，AB=10-（x+97x）=10-167x．根据车队走AB这段路程用的时间等于1号队员走AD这段路程用的时间，可以得到下面的方程：
10-167x35=1045，
此方程可化为10-167x35=29.
解此方程得x=3536．
所以1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过的时间为：1045+x35=29+353635=29+136=14（小时）．
图5解法6 如图5所示，因为1号队员走AD这段路程用的时间为1045小时，所以车队走AB这段路程用的时间也为1045小时，于是AB=35×1045=709，BD=10-AB=10-709=209．
设1号队员走CD这段路程用的时间为x小时，则车队走BC这段路程用的时间也为x小时，所以BC=35x，CD=45x，根据BC+CD=BD，可得下面的方程：
35x+45x=209，解此方程得：x=136．
所以1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过的时间为：
1045+x=29+136=14（小时）．
《数学新课程标准》总体目标中要求学生在解决问题时要“形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．”像上面这样引导学生一题多思，一题目多解，是落实这一目标具体而有效的举措.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
北师大版七年级数学教材上册第192页问题解决中的第2题是这样的：
一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米/时的速度前进．突然，1号队员以45千米/时的速度独自行进，行进10千米后掉转车头，仍以45千米/时的速度往回骑，直到与其他队员会合．1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多少时间？
这道习题安排在第五章“能追上小明吗”这一节之中，由于深入研究这道习题不仅可以培养学生的个别思维与整体思维的能力，而且还可以通过六种不同的解法培养学生解题的灵活性与思维的广阔性，所以我在教这节内容时把此题放在课堂巩固练习之中，力求用好用足这一难得的教材资源．
图１先引导学生画好线段图：如图1所示，假设1号队员在点A开始离开队伍，当1号队员行进10千米到达点D时，车队行至点B，1号队员掉转车头后与车队重新相遇于点C．然后引导学生从以下两个方面进行分析和解答．
1 设直接未知数，采取整体思维的方式进行解答
解法1 如图1所示，设1号队员从A到D再到C共用x小时，则车队从A到B再到C也共用了x小时，所以AD+CD=45x，AB+BC=35x．再根据1号队员走的路程+车队走的路程=10×2，可得如下方程：
45x+35x=20，解此方程得：x=14．
所以1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过的时间为14小时．
2 设间接未知数，采取个别思维的方式进行解答
解法2 如图2所示，设1号队员掉转车头后，再用x小时与车队重新会合，则CD=45x，BC=35x，AB=10-（45x+35x）=10-80x．因为车队走AB这段路程用的时间等于1号队员走10千米用的时间，于是可得如下的方程：
此方程可化为2-16x7=29．
解此方程得x=136．
所以1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过的时间为：1045+x=29+136=14（小时）．
图2解法3 如图2所示，设车队走BC这段路程用了x小时，则1号队员走CD这段路程也用了x小时，所以BC=35x，CD=45x，AB=10-（35x+45x）=10-80x．根据车队走AB这段路程用的时间等于1号队员走AD这段落路程用的时间，可以得到下面的方程：
10-80x35=1045，解此方程得x=136．
所以1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过的时间为：1045+x=29+136=14（小时）．
图3解法4 如图3所示，设1号队员掉转车头后，再行x千米与车队重新会合，则1号队员走CD这段路程用的时间是x45小时，车队走BC这段路程也用了x45小时，于是BC=x45×35=79x，AB=10-（79x+x）=10-169x，根据车队走AB这段路程用的时间等于1号队员走10千米用的时间，可以得到下面的方程：
10-169x35=1045，
此方程可化为10-169x35=29.
解此方程得x=54．
所以1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过的时间为：
10+x45=10+5445=14(小时)．
图4解法5 如图4所示，设BC=x千米，则车队走BC这段路程用的时间与1号队员走CD这段路程用的时间均为x35小时，所以CD=x35×45＝97x，AB=10-（x+97x）=10-167x．根据车队走AB这段路程用的时间等于1号队员走AD这段路程用的时间，可以得到下面的方程：
10-167x35=1045，
此方程可化为10-167x35=29.
解此方程得x=3536．
所以1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过的时间为：1045+x35=29+353635=29+136=14（小时）．
图5解法6 如图5所示，因为1号队员走AD这段路程用的时间为1045小时，所以车队走AB这段路程用的时间也为1045小时，于是AB=35×1045=709，BD=10-AB=10-709=209．
设1号队员走CD这段路程用的时间为x小时，则车队走BC这段路程用的时间也为x小时，所以BC=35x，CD=45x，根据BC+CD=BD，可得下面的方程：
35x+45x=209，解此方程得：x=136．
所以1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过的时间为：
1045+x=29+136=14（小时）．
《数学新课程标准》总体目标中要求学生在解决问题时要“形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．”像上面这样引导学生一题多思，一题目多解，是落实这一目标具体而有效的举措.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
