关联物体问题的求解方法
孙建生
一、关联物体的速度关系
学生常对该如何分解速度搞不清楚或很难理解，其主要原因是无法弄清楚哪一个是合速度、哪一个是分速度。这里有一个简单的方法：物体的实际运动速度就是合速度，然后分析这个合速度所产生的实际效果，以确定两个分速度及分速度的方向。
例1
A、B两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体A以ν1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图1所示。物体B的运动速度νB为（绳始终有拉力）（ ）
解析 A、B两物体通过绳相连接，且两物体都b是运动的，物体的实际运动速度是合速度，物体的速度都产生了沿绳方向和垂直于绳方向两个作用效果。设物体B的运动速度为νB，此速度为物体B合运动的速度，根据它的实际运动效果，两分运动分别为：沿绳收缩方向的分运动，设其速度为ν绳B；垂直绳方向的圆周运动。速度分解如图2所示，则有：ν绳B= νBcosβ
物体A的合运动速度为ν1，它也产生两个运动效果，分别是：沿绳方向的分运动，设其速度为ν绳A；垂直绳方向的圆周运动，它的速度分解如图3所示，则有ν绳A= ν1cosα，由于对于同一根绳，其长度不变，故有
选项A、B、C错误，
选项D正确。
例2 如图4所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦，当杆滑到如图5位置时，B球水平速度为νB，杆与竖直方向的夹角为α，求此时A球速度大小。
解析 A、B两球速度分解如图5所示，A球沿杆方向的分速度与B球沿杆方向的分速度大小相等，即：
例3 如图6所示，一根长为L的轻杆0A，0端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个高为的物块上。若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度^向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，物块与轻杆的接触点为B，下列说法正确的是（ ）
A.A、B的线速度相同
B. A、B的角速度相同
C.轻杆转动的角速度为
D.小球A的线速度大小为
解析 如图7所示，根据运动的合成与分解可知，接触点B的实际运动为合运动，可将B点运动的速度化
二、与能量相关的关联同题
例4 如图8所示，竖直放置的大圆环圆心为0，半径为R，质量为m的小球A套在大圆环上，有一足够长的细轻绳拴在A上，另一端跨过固定在大圆环最高点C处的一个小滑轮后吊着一个小球B，不计滑轮半径和质量、不计绳子的质量，不计一切摩擦，绳子不可伸长。平衡时弦CA所对的圆心角θ=30°。求：
（1）小球B质量mB；
（2）若mB=m，将小球A从圆心0的等高点D静止释放后小球A、B轨道稍微错开互不影响，求小球A的最大速度。（可含根式）
解析 （1）小球B处于平衡状态，绳子对小球B的拉力等于小球B的重力，绳子的拉力为
小球A处于平衡状态，受到三个力的作用，由平衡条件可得，绳子的拉力为：
，联立解得：
（2）4到达最低点时为速度最大设为
例5如图9所示，在距水平地面高为0.4m处，水平固定一根长直光滑杆，杆上P处固定一定滑轮（大小不计），滑轮可绕水平轴无摩檫转动，在P点的右边，杆上套一质量zn=3kg的滑块A.半径R=0.3m的光滑半圆形轨道竖直地固定在地面上，其圆心0在P点的正下方，在轨道上套有一质量m=3kg的小球B.用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将两小球连接起来。杆和半圆形轨道在同一竖直面内，滑块和小球均可看作质点，且不计滑轮大小的影响。现给滑块A施加一个水平向右、大小为60N的恒力F，求：
（1）把小球B从地面拉到半圆形轨道顶点C的过程中力F做的功；
（2）小球B运动到C处时所受的向心力的大小；
（3）小球B被拉到离地多高时滑塊A与小球B的速度大小相等？
解析 （1）由几何关系可得：
代入数据联立解得：W=24J
（2）由于B球到达C处时，已无沿绳的分速度，所以此时滑块4的速度为零，两球及绳子组成的系统的能量变化过程中，由能量守恒定律可得：
，代人数据联立
解得：
例6 如图10所示，两根长直轨道与一半径为R的半圆形圆弧轨道相接于A、C两点，B点为轨道最低点，0为圆心，轨道各处光滑且固定在竖直平面内。质量均为m的两小环P、Q用长为及√2R的轻杆连接在一起，套在轨道上。将MN两环从距离地面2R处由静止释放，整个过程中轻杆和轨道始终不接触，重力加速度为g，求：
（1）当P环运动到B点时，系统减少的重力势能△EP；
（2）当P环运动到B点时的速度ν；
（3）在运动过程中，环能达到的最大速度νm；
（4）若将杆换成长2√2R，P环仍从原处由静止释放，经过半圆形底部再次上升后，P环能达到的最大高度H。
解析 （1）P环从开始运动到运动到B点过程中，系统减少的重力势能为
在解决关联物体的问题时，首先要清楚物体间是通过绳、杆关联还是直接接触的，找到两物体在运动过程中速度存在的关系，分析物体实际运动的方向，然后分析这个合运动所产生的实际效果，在绳和杆不伸长的情况下，两物体沿绳或杆方向的分速度大小相同。
一、关联物体的速度关系
学生常对该如何分解速度搞不清楚或很难理解，其主要原因是无法弄清楚哪一个是合速度、哪一个是分速度。这里有一个简单的方法：物体的实际运动速度就是合速度，然后分析这个合速度所产生的实际效果，以确定两个分速度及分速度的方向。
例1
A、B两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体A以ν1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图1所示。物体B的运动速度νB为（绳始终有拉力）（ ）
解析 A、B两物体通过绳相连接，且两物体都b是运动的，物体的实际运动速度是合速度，物体的速度都产生了沿绳方向和垂直于绳方向两个作用效果。设物体B的运动速度为νB，此速度为物体B合运动的速度，根据它的实际运动效果，两分运动分别为：沿绳收缩方向的分运动，设其速度为ν绳B；垂直绳方向的圆周运动。速度分解如图2所示，则有：ν绳B= νBcosβ
物体A的合运动速度为ν1，它也产生两个运动效果，分别是：沿绳方向的分运动，设其速度为ν绳A；垂直绳方向的圆周运动，它的速度分解如图3所示，则有ν绳A= ν1cosα，由于对于同一根绳，其长度不变，故有
选项A、B、C错误，
选项D正确。
例2 如图4所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦，当杆滑到如图5位置时，B球水平速度为νB，杆与竖直方向的夹角为α，求此时A球速度大小。
解析 A、B两球速度分解如图5所示，A球沿杆方向的分速度与B球沿杆方向的分速度大小相等，即：
例3 如图6所示，一根长为L的轻杆0A，0端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个高为的物块上。若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度^向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，物块与轻杆的接触点为B，下列说法正确的是（ ）
A.A、B的线速度相同
B. A、B的角速度相同
C.轻杆转动的角速度为
D.小球A的线速度大小为
解析 如图7所示，根据运动的合成与分解可知，接触点B的实际运动为合运动，可将B点运动的速度化
二、与能量相关的关联同题
例4 如图8所示，竖直放置的大圆环圆心为0，半径为R，质量为m的小球A套在大圆环上，有一足够长的细轻绳拴在A上，另一端跨过固定在大圆环最高点C处的一个小滑轮后吊着一个小球B，不计滑轮半径和质量、不计绳子的质量，不计一切摩擦，绳子不可伸长。平衡时弦CA所对的圆心角θ=30°。求：
（1）小球B质量mB；
（2）若mB=m，将小球A从圆心0的等高点D静止释放后小球A、B轨道稍微错开互不影响，求小球A的最大速度。（可含根式）
解析 （1）小球B处于平衡状态，绳子对小球B的拉力等于小球B的重力，绳子的拉力为
小球A处于平衡状态，受到三个力的作用，由平衡条件可得，绳子的拉力为：
，联立解得：
（2）4到达最低点时为速度最大设为
例5如图9所示，在距水平地面高为0.4m处，水平固定一根长直光滑杆，杆上P处固定一定滑轮（大小不计），滑轮可绕水平轴无摩檫转动，在P点的右边，杆上套一质量zn=3kg的滑块A.半径R=0.3m的光滑半圆形轨道竖直地固定在地面上，其圆心0在P点的正下方，在轨道上套有一质量m=3kg的小球B.用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将两小球连接起来。杆和半圆形轨道在同一竖直面内，滑块和小球均可看作质点，且不计滑轮大小的影响。现给滑块A施加一个水平向右、大小为60N的恒力F，求：
（1）把小球B从地面拉到半圆形轨道顶点C的过程中力F做的功；
（2）小球B运动到C处时所受的向心力的大小；
（3）小球B被拉到离地多高时滑塊A与小球B的速度大小相等？
解析 （1）由几何关系可得：
代入数据联立解得：W=24J
（2）由于B球到达C处时，已无沿绳的分速度，所以此时滑块4的速度为零，两球及绳子组成的系统的能量变化过程中，由能量守恒定律可得：
，代人数据联立
解得：
例6 如图10所示，两根长直轨道与一半径为R的半圆形圆弧轨道相接于A、C两点，B点为轨道最低点，0为圆心，轨道各处光滑且固定在竖直平面内。质量均为m的两小环P、Q用长为及√2R的轻杆连接在一起，套在轨道上。将MN两环从距离地面2R处由静止释放，整个过程中轻杆和轨道始终不接触，重力加速度为g，求：
（1）当P环运动到B点时，系统减少的重力势能△EP；
（2）当P环运动到B点时的速度ν；
（3）在运动过程中，环能达到的最大速度νm；
（4）若将杆换成长2√2R，P环仍从原处由静止释放，经过半圆形底部再次上升后，P环能达到的最大高度H。
解析 （1）P环从开始运动到运动到B点过程中，系统减少的重力势能为
在解决关联物体的问题时，首先要清楚物体间是通过绳、杆关联还是直接接触的，找到两物体在运动过程中速度存在的关系，分析物体实际运动的方向，然后分析这个合运动所产生的实际效果，在绳和杆不伸长的情况下，两物体沿绳或杆方向的分速度大小相同。
