曲线运动典型问题赏析
成勇
典型问题一 运动的合成与分解的应用
1.合运动与分运动的关系
（1）等时性：各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等。
（2）等效性：各分运动叠加起来与合运动有相同的效果。
（3）独立性：一个物体同时参与几个运动，其中的任何一个运动都会保持其运动性质不变，并不会受其他分运动的干扰。
2.运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则。
例1在一光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从t=0时刻起，由坐标原点0（0，0）开始运动，其沿x轴和y轴方向运动的速度—时间图象如图1甲、乙所示，下列说法中正确的是（ ）
A.前2s内物体沿x轴做匀加速直线运动
B.后2s内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y轴方向
C.4s末物体坐标为（4m，4m）
D.4s末物体坐标为（6m，2m）
解析 前2s内物体在y轴方向速度为0，由题图甲知，只沿x轴方向做匀加速直线运动，A正确；后2s内物体在x轴方向做匀速运动，在y轴方向做初速度为0的匀加速运动，加速度沿y轴方向，合运动是曲线运动，B错误；4s内物体在x轴方向上的位移是x=6m，在y轴方向上的位移为y=2m，所以4s末物体坐标为（6m，2m），D正确，C错误。选AD。
典型问题二 小船渡河问题
1.小船过河问题的分析思路：把小船的实际运动ν分解成船相对于静水的划行运动的ν1和船随水漂流运动的ν2。
2.三种过河情景分析
例2河宽l=300m，水速1m/s，船在静水中的速度ν=3m/s，欲分别按下列要求过河时，船头应与河岸成多大角度？过河时间是多少？
（1）以最短时间过河；
（2）以最小位移过河；
（3）若水速为ν=4m/s，此小船还能不能沿垂直于河岸方向过河？
解析 （1）以最短时间渡河时，船头应垂直于河岸航行。t=l/ν=300/3s=100s。
（2）以最小位移过河，船的实际航向应垂直河岸，即船头应指向上游河岸。设船头与
上游河岸夹角为θ，有
（3）若要小船垂直于河岸渡河，那么在速度合成的三角形中船的速度即斜边，即要求船的速度大于水的速度，而此时船的速度小于河水的速度，故不可能垂直河岸方向过河，典型问题三关联速度问题1.模型特点：沿绳（或杆）方向的速度分量大小相等。 2.思路与方法
合速度：物体的实际运动速度ν
分速度：其一：沿绳（或杆）的分速度ν1
其二：与绳（或杆）垂直的分速度ν2
3.解题的原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）的两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图3所示。
例3 如图4所示，将质量为2m的重物懸挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时（图中B处），下列说法正确的是（重力加速度为g）（ ）
A.小环刚释放时轻绳中的张力一定大于2mg
B.小环到达B处时，重物上升的高度为（√2-1）d
C.小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于√2/2
D.小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于√2
典型问题四 多体平拋问题
1.多体平拋运动问题是指多个物体在同一竖直平面内平拋时所涉及的问题。
2.三类常见的多体平拋运动
（1）若两物体同时从同一高度（或同一点）抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。
（2）若两物体同时从不同高度拋出，则两物体高度差始终与拋出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定。
（3）若两物体从同一点先后拋出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。
例4如图6，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中a和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则（ ）
A.a的飞行时间比b的长
B.b和c的飞行时间相同
C.a的水平速度比b的小
D.b的初速度比c的大
典型问题五b类平抛运动问题分析
1.受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
2.运动特点：在初速度ν0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a=F合/m。
3.求解技巧
（1）常规分解法：将类平拋运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向（即沿合力方向）的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。 （2）特殊分解法：对于有些问题，可以过拋出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度ν0化分解为νx、νy，然后分别在x、y方向列方程求解。
例5
风洞实验室能产生大小和方向均可改变的风力。如图7所示，在风洞实验室中有足够大的光滑水平面，在水平面上建立xOy直角坐标系。质量m=0.5kg的小球以初速度ν0=0.40m/s从0点沿x轴正方向运动，在0?2.0s内受到一个沿y轴正方向、大小F1=0.20N的风力作用；小球运动2.0s后风力方向变为；x轴负方向、大小变为F2=0.10N（图中未画出）。试求：
（1）2.0s末小球在y方向的速度大小和2.0s内运动的位移大小；
（2）风力F2作用多长时间，小球的速度变为与初速度相同。
解析 小球在力F1作用下，在0?2.0s内做类平拋运动。换为F2作用后，当小球沿y轴方向的速度为零时，小球的速度则与初速度相同。
（1）设在0?2.0s内小球运动的加速度为a1，则F1=ma1
2.0s末小球在y方向的速度ν1=a1t1
代入数据解得ν1=0.8m/s
沿x轴方向运动的位移x1=ν0t1
沿y轴方向运动的位移y1=1/2a1t12
2.0s内运动的位移
代入数据解得t2=4.Os。
典型问题六 水平面内的匀速圆周运动
1.运动实例：圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周运动等。
2.特点：运动轨迹是水平面内的圆。合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零。
3.确定向心力的来源：沿半径方向的合力
例6如图8所示，半径为的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO重合。转台以一定角速度ω勾速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO之间的夹角沒为60°。重力加速度大小为g。
（1）若ω=ω0，小物块受到的摩檫力恰好为零，求⑴。；
（2）若ω=（1±k）ω0；且0
1.模型概述：在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类。一是无支撑（如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等），称为“轻绳模型”；二是有支撑（如球与杆连接，小球在弯管内运动等），称为“轻杆模型。
2.两类模型对比
例7 一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端0为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图9所示，则下列说法正确的是（ ）
A.小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B.小球过最高点的最小速度是√gR
C.小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D.小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
典型问题八 用极限法分析圆周运动的临界同题
除了竖直平面内圆周运动的两类模型，有些题目中也会出现“恰好”、“最大”、“至少”等字眼，说明题述过程存在临界点，还有些题目中出现“取值范围”、“函数关系”等词语，说明题述过程存在起止点，而这些点往往就是解决问题的突破口。 例8如图10所示，半径为l/4、质量为m的小球用两根不可伸长的轻绳a、b连接，两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A、B两点上，A、B两点相距为l，當两轻绳伸直后，A、B两点到球心的距离均为l。当竖直杆以自己为轴转动并达到稳定时（轻绳a、b与杆在同一竖直平面内）。求：
（1）竖直杆角速度ω为多大时，小球恰好离开竖直杆。
（2）轻绳a的张力Fa两点与竖直杆转动的角速度ω之间的关系。
典型问题一 运动的合成与分解的应用
1.合运动与分运动的关系
（1）等时性：各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等。
（2）等效性：各分运动叠加起来与合运动有相同的效果。
（3）独立性：一个物体同时参与几个运动，其中的任何一个运动都会保持其运动性质不变，并不会受其他分运动的干扰。
2.运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则。
例1在一光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从t=0时刻起，由坐标原点0（0，0）开始运动，其沿x轴和y轴方向运动的速度—时间图象如图1甲、乙所示，下列说法中正确的是（ ）
A.前2s内物体沿x轴做匀加速直线运动
B.后2s内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y轴方向
C.4s末物体坐标为（4m，4m）
D.4s末物体坐标为（6m，2m）
解析 前2s内物体在y轴方向速度为0，由题图甲知，只沿x轴方向做匀加速直线运动，A正确；后2s内物体在x轴方向做匀速运动，在y轴方向做初速度为0的匀加速运动，加速度沿y轴方向，合运动是曲线运动，B错误；4s内物体在x轴方向上的位移是x=6m，在y轴方向上的位移为y=2m，所以4s末物体坐标为（6m，2m），D正确，C错误。选AD。
典型问题二 小船渡河问题
1.小船过河问题的分析思路：把小船的实际运动ν分解成船相对于静水的划行运动的ν1和船随水漂流运动的ν2。
2.三种过河情景分析
例2河宽l=300m，水速1m/s，船在静水中的速度ν=3m/s，欲分别按下列要求过河时，船头应与河岸成多大角度？过河时间是多少？
（1）以最短时间过河；
（2）以最小位移过河；
（3）若水速为ν=4m/s，此小船还能不能沿垂直于河岸方向过河？
解析 （1）以最短时间渡河时，船头应垂直于河岸航行。t=l/ν=300/3s=100s。
（2）以最小位移过河，船的实际航向应垂直河岸，即船头应指向上游河岸。设船头与
上游河岸夹角为θ，有
（3）若要小船垂直于河岸渡河，那么在速度合成的三角形中船的速度即斜边，即要求船的速度大于水的速度，而此时船的速度小于河水的速度，故不可能垂直河岸方向过河，典型问题三关联速度问题1.模型特点：沿绳（或杆）方向的速度分量大小相等。 2.思路与方法
合速度：物体的实际运动速度ν
分速度：其一：沿绳（或杆）的分速度ν1
其二：与绳（或杆）垂直的分速度ν2
3.解题的原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）的两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图3所示。
例3 如图4所示，将质量为2m的重物懸挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时（图中B处），下列说法正确的是（重力加速度为g）（ ）
A.小环刚释放时轻绳中的张力一定大于2mg
B.小环到达B处时，重物上升的高度为（√2-1）d
C.小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于√2/2
D.小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于√2
典型问题四 多体平拋问题
1.多体平拋运动问题是指多个物体在同一竖直平面内平拋时所涉及的问题。
2.三类常见的多体平拋运动
（1）若两物体同时从同一高度（或同一点）抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。
（2）若两物体同时从不同高度拋出，则两物体高度差始终与拋出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定。
（3）若两物体从同一点先后拋出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。
例4如图6，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中a和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则（ ）
A.a的飞行时间比b的长
B.b和c的飞行时间相同
C.a的水平速度比b的小
D.b的初速度比c的大
典型问题五b类平抛运动问题分析
1.受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
2.运动特点：在初速度ν0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a=F合/m。
3.求解技巧
（1）常规分解法：将类平拋运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向（即沿合力方向）的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。 （2）特殊分解法：对于有些问题，可以过拋出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度ν0化分解为νx、νy，然后分别在x、y方向列方程求解。
例5
风洞实验室能产生大小和方向均可改变的风力。如图7所示，在风洞实验室中有足够大的光滑水平面，在水平面上建立xOy直角坐标系。质量m=0.5kg的小球以初速度ν0=0.40m/s从0点沿x轴正方向运动，在0?2.0s内受到一个沿y轴正方向、大小F1=0.20N的风力作用；小球运动2.0s后风力方向变为；x轴负方向、大小变为F2=0.10N（图中未画出）。试求：
（1）2.0s末小球在y方向的速度大小和2.0s内运动的位移大小；
（2）风力F2作用多长时间，小球的速度变为与初速度相同。
解析 小球在力F1作用下，在0?2.0s内做类平拋运动。换为F2作用后，当小球沿y轴方向的速度为零时，小球的速度则与初速度相同。
（1）设在0?2.0s内小球运动的加速度为a1，则F1=ma1
2.0s末小球在y方向的速度ν1=a1t1
代入数据解得ν1=0.8m/s
沿x轴方向运动的位移x1=ν0t1
沿y轴方向运动的位移y1=1/2a1t12
2.0s内运动的位移
代入数据解得t2=4.Os。
典型问题六 水平面内的匀速圆周运动
1.运动实例：圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周运动等。
2.特点：运动轨迹是水平面内的圆。合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零。
3.确定向心力的来源：沿半径方向的合力
例6如图8所示，半径为的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO重合。转台以一定角速度ω勾速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO之间的夹角沒为60°。重力加速度大小为g。
（1）若ω=ω0，小物块受到的摩檫力恰好为零，求⑴。；
（2）若ω=（1±k）ω0；且0
1.模型概述：在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类。一是无支撑（如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等），称为“轻绳模型”；二是有支撑（如球与杆连接，小球在弯管内运动等），称为“轻杆模型。
2.两类模型对比
例7 一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端0为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图9所示，则下列说法正确的是（ ）
A.小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B.小球过最高点的最小速度是√gR
C.小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D.小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
典型问题八 用极限法分析圆周运动的临界同题
除了竖直平面内圆周运动的两类模型，有些题目中也会出现“恰好”、“最大”、“至少”等字眼，说明题述过程存在临界点，还有些题目中出现“取值范围”、“函数关系”等词语，说明题述过程存在起止点，而这些点往往就是解决问题的突破口。 例8如图10所示，半径为l/4、质量为m的小球用两根不可伸长的轻绳a、b连接，两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A、B两点上，A、B两点相距为l，當两轻绳伸直后，A、B两点到球心的距离均为l。当竖直杆以自己为轴转动并达到稳定时（轻绳a、b与杆在同一竖直平面内）。求：
（1）竖直杆角速度ω为多大时，小球恰好离开竖直杆。
（2）轻绳a的张力Fa两点与竖直杆转动的角速度ω之间的关系。
