关于旋转相似模型的解读探究
徐海霞
[摘? 要] 旋转相似模型是重要的几何模型，利用模型中的相似性质可进行条件推导，提高解题效率. 中考试题中常依托旋转相似模型构建综合性问题. 剖析图形结构、提取几何模型、利用模型构建思路是解题的关键，文章将剖析旋转相似模型，结合实例深入探究，并提出几条教学建议.
[关键词] 旋转;相似;模型;图形
旋转相似是中考考查的热点，该类问题往往以旋转、相似为背景来综合构建，相似模型是问题解析的核心知识，梳理相似模型的构建过程，探究图形相似的结论可总结该类问题的解题策略，对于高效解题有极大的帮助，下面深入探究.
问题引入
问题：如图1所示，已知在△ABC中，∠ACB=90°，点D位于AB上，且△CDE∽△CAB，试回答下列问题.
（1）求证：△CAD∽△CBE;
（2）求证：EB⊥AB.
解析：（1）可由相似三角形的性质得出两边成比例，对应夹角相等，结合已知可进一步推导相似条件，从而证明△CAD∽△CBE.
因为△CDE∽△CAB，则 = ，∠ACB=∠DCE，所以∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，则∠ACD=∠BCE，所以△CAD∽△CBE.
（2）由三角形相似可倒推对应角相等，进一步推导所涉角为90°.
因为△CAD∽△CBE，则∠CAD=∠CBE. 又知∠ACB=90°，∠CAD+∠CBA=90°，所以∠CBE+∠CBA=90°，即EB⊥AB，证毕.
原理探究
上述问题涉及了旋转相似模型，即可将△CAD视为是△CBE围绕点C顺时针旋转∠BCA后再进一步缩放所得. 解析过程往往由三角形相似性质出发，结合已知推导旋转相似三角形的条件. 模型证明过程涉及三角形相似性质及相似的判定定理，具体如下.
如图2所示，已知△ABC∽△ADE，则△BAD∽△CAE，证明过程如下：由△ABC∽△ADE可得 = ，∠BAC=∠DAE，则∠BAD=∠CAE，可证△BAD∽△CAE.
模型实质：通过两边成比例、夹角相等来判断三角形相似，同时两个相似三角形的第三边的夹角与顶角相等.
上述所探究的是一般的旋转相似模型，其特点为围绕公共顶点，已知一组相似三角形，探寻衍生相似三角形. 实际命题中常涉及角度、线段比值等问题，但问题本质不变.
典例剖析
中考常从知识综合的角度来考查旋转相似模型，所涉考点较多、图形复杂、问题形式多样. 解析过程依然可从把握其中的旋转相似关系入手，利用相似性质推导结论. 下面以一道综合题为例探究解题策略.
例题1? 如图3所示，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB=90°，点D和E分别位于AC，BC上，连接DE，且有 = = ，tanB= .
（1）如图4所示，现将△CDE围绕点C进行旋转，连接AD、BE，两线交点设为H，试求证AD⊥BE;
（2）如图5，△CDE围绕点C旋转过程中，当CH= 时，试求 AH-BH的值;
（3）如果CD=1，当△CDE围绕点C旋转过程中，请直接写出AH的最大值.
解析：（1）根据旋转过程中性质可证△ACD∽△BCE，由相似性质并结合条件进行等角代换，可证相关角为90°.
设BE与AC的交点为O，如图6所示. 因为∠ACB=∠DCE=90°，所以∠ACD=∠ECB. 由 = 可得 = ，所以△ACD∽△BCE，由相似性质可得∠DAC=∠EBC，又知∠AOH=∠BOC，所以∠AHO=∠BCO=90°，则AD⊥BE.
（2）探究几何旋转中的线段问题，需合理添加辅助线构建模型，可在HB的延长线上取一点T，使得HT= AH，则问题就转化为求HT-BH，即BT的长. 后续结合旋转相似模型，证明△AHC∽△ATB，由相似性质即可推导.
如图7所示，在HB的延长线上取一点T，使得HT= AH，连接AT，在Rt△AHT中，有tan∠ATH= = ，由于tan∠ABC= ，所以∠ATH=∠ABC. 进一步分析可证∠HAT=∠CAB，所以△AHT∽△ACB，由相似性質可得 = ，则 = ，可证△CAH∽△BAT，由三角形相似可得 = . 因为HT= AH，设AH=a，则HT= a，AT= a，所以 = ，解得BT= ，即 AH-BH的值为 .
（3）设定CD=1，在旋转过程中有AH=AB·sin∠ABH，则当∠ABH最大时，AH的值也最大，后续分析此时的位置关系，求解线段长即可.
在Rt△AHB中，有AH=AB·sin∠ABH. 分析可知，当∠ABH最大时，AH的值也最大，此时CE⊥BE，四边形CDHE为矩形，如图8所示. 由矩形性质可得DH=EC，∠ADC=∠CDH=90°. 已知CD=1，EC= ，AC= ，所以DH=CE= . 在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD= = ，所以AH=AD+DH=2 ，则AH的最大值为2 .
评析? 上述考题以旋转为背景探究相关问题，在几何旋转中存在相似模型，可视为是绕固定点旋转的相似三角形，这是问题突破的关键. 后续充分利用旋转相似模型的对应边及角度的相关结论即可逐步求解. 旋转问题属于动态几何问题，结合条件准确提取模型，化“动”为“静”是解析重点.
模型拓展
旋转相似模型是依托几何旋转构建的模型，上述所探究的是常见的一般图形形式. 实际上，旋转相似模型还有特殊的对角互补旋转相似，该模型中存在一组对角之和为180°. 如图9所示，模型中∠BAD+∠C=180°，过点A分别作BC和CD的垂线，设垂足为点H和G，可将△ADG视为是△ABH旋转对应角度后的缩放三角形，即△ABH∽△ADG，则后续连接HG、BD，可证△AHG∽△ABD.
具体探究时，要把握图形中的对角互补关系，从旋转视角把握图中的相似三角形，然后利用相似性质进行推理，提取衍生相似三角形，解析时可按照如下思路：提取互补对角→寻找相似三角形→推理相似性质→探究衍生相似图形，下面结合实例進一步探究.
例题2? 如图10所示，点P位于矩形ABCD对角线AC上，点M在矩形边AD上，且PM⊥PB，回答下列问题.
（1）求证： = ;
（2）如果MA=MP，AB=3，BC=4，试求AP的长.
分析：从几何旋转视角探究图形，合理利用旋转相似模型，提取其中的相似三角形，利用相似三角形的相关性质进行推理.
解：（1）连接BM，如图10所示. 已知ABCD为矩形，则∠BAD=∠D=90°. 又知PM⊥PB，则∠BPM=90°，所以∠BAM+∠BPM=180°，则点A、B、P、M四点共圆，有∠MBP=∠DAC. 因为∠D=∠BPM=90°，可证△ADC∽△BPM，由相似性质可得 = ，所以 = .
（2）可过点B作AC的垂线，垂足为点N，如图11. 分析可证△BMA≌△BMP，由全等性质可得AB=PB=3. 在Rt△ABC中，已知AB=3，BC=4，由勾股定理可得AC= =5，由等面积法可得 AB·AC= AC·BN，可解得BN= . 而在Rt△PBN中，由勾股定理可得PN= = ，因为BA=BP，BN⊥AP，所以AN=NP，可得AP=2PN= .
评析? 上述以矩形为背景求证线段比例，求解线段长. 问题解析要关注其中的垂直关系，以此为基础提取旋转相似模型. 往往对角互补相似模型中存在较多的直角，解析时要充分利用直角特性求解线段长，可直接利用勾股定理，也可借助直角求解三角函数值进行线段转换.
教学反思
上述深入探究了旋转相似模型，并结合实例探讨解题策略，实际上模型中的“旋转”是特殊的几何观察视角所获，是用动态眼光看待图形的一种方式，而模型中的相似关系是根本. 在解题探究中要理解模型本质，把握相似特性，总结模型结论，积累解题经验，下面结合教学进行深入反思.
1. 关注教材模型，理解模型本质
近几年中考试题中出现了众多的几何模型题，问题往往构思巧妙，形式新颖，给学生的解题突破造成了很大的困扰. 事实上，这些几何模型题是对教材习题的拓展变式，是基于定理定义、图形规律的拓展构建. 如上述的几何旋转相似模型，是基于教材中的旋转、三角形相似而形成的特殊模型. 实际教学中，要注重挖掘教材模型，提取基本图形，剖析模型原理，引导学生理解模型本质. 同时开展创新拓展探究，让学生改编教材习题，充分挖掘习题的教学价值.
2. 加强建模教学，提升建模能力
初中几何领域含有众多的图形，对图形进行提炼可生成几何模型，模型所具有的性质特征、解析思路具有一定的研究价值，可用于解析复杂图形. 几何模型教学的重点有三个：一是模型本质，二是模型性质特征，三是构建方法. 后两点对于培养学生的模型意识，提升建模能力十分关键. 具体教学中，建议在情景问题中开展模型研究，引导学生从复合图形中提取基本模型，探究模型结构，总结模型结论，并利用模型解决对应问题，帮助学生积累解题经验.
3. 强化模型思想，发展核心素养
中考几何综合题的考查方向有两个：一是几何知识及方法，二是解题中的思想方法. 几何模型考题中的数形结合、构造思想、化归转化思想是考查的重点. 教学中要注重思想方法，合理渗透数学思想，引导学生总结问题解析时所用到的方法，适度延伸，升华思想. 数学思想较为抽象，教学中应将重点集中在技巧讲解上，如几何构造中添加辅助线的方法，数形结合解析的具体过程，化归转化的具体思路、侧重方向等. 通过思想方法教学强化学生思维，发展学生的核心素养.
