关注网格价值,知识融合解题

    费雅莉

    [摘? 要] 几何网格是特殊图形的对称排布,其中隐含了几何特性,以网格为背景开展知识探究,更具直观性、可操作性. 借助网格构建的几何问题在中考中十分常见,其解析思路较为特殊,文章将深入剖析问题,结合实例探究解题方法,并提出相应的教学建议.

    [关键词] 网格;几何;坐标系;三角函数;面积;作图

    问题剖析

    利用网格中的格点特点进行几何知识考查,具有极强的创新性,又能全面考查学生的知识水平和数学思维,这与新课程中考理念相吻合. 2020年的中考试题中出现了众多优秀的网格类考题,涉及三角形特性、求三角函数、作图操作、解析图形面积等. 网格具有特殊图形的特性,如正方形网格的边长相等、直角性质等. 利用网格开展知识探究,具有较好的操作性,可实现数学的基础知识与空间观念、思想方法的融合,探究过程要关注问题的考查重点,立足网格特性,合理构建模型.

    典例探究

    中考以正方形网格最为常见,利用网格及其顶点可以形成常见矩形、平行四边形、三角形等特殊图形. 由于网格之间的全等关系,探究过程中可充分利用网格特点进行问题转化,下面以网格常见的四类问题为例,探究解题策略.

    问题1:网格建系求坐标

    利用网格可以较为简洁地构建直角坐标系,结合网格特性可快速确定点坐标,而考查的难点集中在特殊点的位置确定上,往往需要结合几何性质推导线段长,或构建直线函数联立方程求解.

    例1:(2020年江苏泰州市中考卷第15题)如图1所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成,点A,B,C在直角坐标系中的坐标分别为(3,6),(-3,3),(7,-2),则△ABC内心的坐标为______.

    分析:本题目求△ABC的内心坐标,给出了A、B、C三点坐标,问题解析需要分三步进行. 第一步,根据点坐标进行建系,确定原点O;第二步,理解三角形内心的作法,确定内心的大致位置;第三步,结合几何特性进行线段长推导,确定内心的坐标.

    解:根据A、B、C三点坐标可确定原点位置,构建坐标系,如图2所示,三角形内心是到三边距离相等的点,可作两个角平分线来确定,点M就为三角形内心的大致位置,即(2,3). 而在解析时则可以利用几何知识求线段推得结果,具体如下.

    根据A,B,C三点的坐标可确定∠BAC=90°,利用点B和C的坐标可求得直线BC的解析式为y=- x+ ,设直线BC与x轴的交点为G,可确定G(3,0). 设点M为△ABC的内心,内切圆的半径为r,可在BD上找一点M,过点M作ME⊥AB,过点M作MF⊥AC,且ME=MF=r,则四边形MEAF为正方形. 由等面积法可得S = AB×AC= AB×r+ AC×r+ BC×r,可解得r= ,即AE=EM= ,所以BE=2 ,BM= =5,可确定点M(2,3).

    解题点拨:利用网格可直接建立直角坐标系,求其中的特殊点可从以下视角切入,一是直接利用网格特点进行作图,确定点坐标;二是从函数视角,联立直线方程,通过求交点来确定. 前者的直观性强,后者方法的解析论证更为严谨,具体解题时可配合使用.

    问题2:网格转化求三角函数

    三角函数是初中数学的特殊模块,初中階段需要借助直角三角形来求三角函数值. 以网格为背景的三角函数问题,可借助网格特性直接构建直角三角形,实现问题的几何转化.

    例2:(2020年江苏扬州市中考卷第7题)如图3,由边长为1的小正方形构成的网格中,点A,B,C都在格点上,以AB为直径的圆经过点C,D,则sin∠ADC的值为(?摇?摇? ? ).

    A.? ? ?B.

    C.? ? ? D.

    分析:本题目以网格为背景,并结合了圆,求sin∠ADC的值可充分利用圆的特性. 首先由圆周角定理可知∠ABC=∠ADC,然后在Rt△ABC中根据锐角三角函数的定义求∠ABC的正弦值.

    解:由于∠ABC和∠ADC所对的弧长均为 ,根据圆周角定理可得∠ABC=∠ADC. 在Rt△ABC中,已知AC=2,BC=3,由勾股定理可得AB= = ,所以sin∠ABC= = ,即sin∠ADC的值为 ,答案为A.

    解题点拨:上述利用圆周角定理进行等角转化是解题的关键,通常在网格中求三角函数值有两点需要关注:一是利用网格特性进行等角转化,将其转化为特殊角的三角函数,二是利用网格的边长特性来推断线段长,借助直角三角形的边长比例关系求三角函数值.

    问题3:网格中的图形面积

    网格的图形均为全等关系,故其面积是相等的且可直接确定. 利用网格探究图形面积,解题的关键是进行等面积转化,可采用面积割补法,也可借助面积公式进行转化.

    例3:(2020年北京市中考卷第15题)如图4所示的网格是正方形网格,A,B,C,D是网格交点,则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为: ______ (填“>”“=”或“<”).

    分析:本题目分析△ABC和△ABD的面积的大小关系,其中△ABC较为规整,故可直接利用面积公式求出. 而△ABD的形状较为一般,可采用面积割补的方法求得.

    解:设网格中的小正方形的边长为1,由网格可知AC=4,点B到AC的距离为2,则S = ×4×2=4. 采用面积割补法求△ABD的面积,方案如图5所示, 则S =S -S -S -S ,其中S = ,S = ,S =2,所以S =4,显然S =S .

    解题点拨:探究网格中的图形面积,有如下几种方法. ①通过面积割补求面积;②借助网格进行等面积转化;③构建坐标系,求点坐标. 其中方法①和②充分利用了网格的特点,较为简捷,而方法③是传统的函数解法,过程略微繁复.

    问题4:网格中的作图操作

    网格中的作图操作涉及图形的变换,如平移、对称、旋转等,同时偏重考查图形理解、操作方法等. 作图过程要充分利用网格的对称、全等属性,联系几何性质直接构图.

    例4:(2020年天津市中考卷第18题)如图6,在每个小正方形的边长为1的网格中,△ABC的顶点A,C均落在格点上,点B在网格线上,且AB= .

    (1)线段AC的长等于______;

    (2)以BC为直径的半圆与边AC相交于点D,若P,Q分别为边AC,BC上的动点,当BP+PQ取得最小值时,请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中,画出点P,Q,并简要说明点P,Q的位置是如何找到的(不要求证明)_______.

    分析:本题目考查求线段长,以及作图操作. 第(1)问求AC长,结合勾股定理即可求得. 第(2)問探究最值情形下点P和Q的位置,属于最值问题作图题,可分两步进行:第一步,先确定点P和Q的理论位置,需根据对称变换,三点共线确定距离最短;第二步,进行作图操作,通过对称、相交来确定作图结果.

    作图操作过程如下:①取格点M和N,连接MN;②连接BD并延长,与MN相交于点B′,连接B′C,与半圆交于点E;③连接BE,与AC交于点P;④连接B′P并延长,与BC交于点Q. (如图7所示)

    作图解释:作图过程中通过对称变换实现了三点共线,确保线段之和最短. B′为B关于AC的对称点,同时确定AC是∠B′CB的角平分线,BP+PQ有最小值时B′Q⊥BC. 借助B′C与半圆相交确保了PE⊥B′C,由对称及角平分进一步确定了PQ⊥BC,从而构建了垂直关系.

    解题点拨:网格中无直尺作图与常规作图的思路是不同的,网格作图通常采用逆推的方法,即采用逆向思维,由结论推过程,通常需借助几何特性来实现. 如作垂直关系,可借助圆与直线相切,直径所对角为直角等,对称变换则借助格点构建;作平行关系则采用网格平移,利用网格测距等方法.

    总结反思

    网格问题的直观性更强,网格特性提供了更强的操作性,可直接实现全等变换,构建特殊图形,讨论几何属性等. 突破过程融合几何知识、操作方法、数学思想,更能激发学生的创新思维,下面提出两点教学建议.

    建议一:联系网格特性,探讨几何内容

    网格中通常是由全等的特殊图形构成,其中隐含着几何的全等关系、等角或等线段条件,可直接实现几何变换、构建特殊模型. 教学中可依托网格进行知识探究,如利用网格构建坐标系推导点坐标,求直线函数解析式;引导学生从几何变换视角探究作平行线、作全等图形;联系网格探究三角函数值的构建策略. 让学生深刻体会网格的特性意义,掌握网格作图的方法思路.

    建议二:融合思想方法,拓展学生思维

    网格问题的突破过程常涉及数学的思想方法,如化归转化、数学建模、等量变换等,作图过程可直观体现数学思想的内涵. 因此网格探究过程中,不仅要引导学生关注其中的几何知识,还要关注其中的数学思想,透过作图表象理解其中的思想本质. 同时,可采用类比探究的方式,类比求解函数来探究网格建系,类比求常规几何面积来求网格中的图形面积. 充分挖掘网格的隐含价值,拓展学生思维.

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