关注网格价值，知识融合解题

    费雅莉

    [摘? 要] 几何网格是特殊图形的对称排布，其中隐含了几何特性，以网格为背景开展知识探究，更具直观性、可操作性. 借助网格构建的几何问题在中考中十分常见，其解析思路较为特殊，文章将深入剖析问题，结合实例探究解题方法，并提出相应的教学建议.

    [关键词] 网格;几何;坐标系;三角函数;面积;作图

    问题剖析

    利用网格中的格点特点进行几何知识考查，具有极强的创新性，又能全面考查学生的知识水平和数学思维，这与新课程中考理念相吻合. 2020年的中考试题中出现了众多优秀的网格类考题，涉及三角形特性、求三角函数、作图操作、解析图形面积等. 网格具有特殊图形的特性，如正方形网格的边长相等、直角性质等. 利用网格开展知识探究，具有较好的操作性，可实现数学的基础知识与空间观念、思想方法的融合，探究过程要关注问题的考查重点，立足网格特性，合理构建模型.

    典例探究

    中考以正方形网格最为常见，利用网格及其顶点可以形成常见矩形、平行四边形、三角形等特殊图形. 由于网格之间的全等关系，探究过程中可充分利用网格特点进行问题转化，下面以网格常见的四类问题为例，探究解题策略.

    问题1：网格建系求坐标

    利用网格可以较为简洁地构建直角坐标系，结合网格特性可快速确定点坐标，而考查的难点集中在特殊点的位置确定上，往往需要结合几何性质推导线段长，或构建直线函数联立方程求解.

    例1：（2020年江苏泰州市中考卷第15题）如图1所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A，B，C在直角坐标系中的坐标分别为（3，6），（-3，3），（7，-2），则△ABC内心的坐标为______.

    分析：本题目求△ABC的内心坐标，给出了A、B、C三点坐标，问题解析需要分三步进行. 第一步，根据点坐标进行建系，确定原点O;第二步，理解三角形内心的作法，确定内心的大致位置;第三步，结合几何特性进行线段长推导，确定内心的坐标.

    解：根据A、B、C三点坐标可确定原点位置，构建坐标系，如图2所示，三角形内心是到三边距离相等的点，可作两个角平分线来确定，点M就为三角形内心的大致位置，即（2，3）. 而在解析时则可以利用几何知识求线段推得结果，具体如下.

    根据A，B，C三点的坐标可确定∠BAC=90°，利用点B和C的坐标可求得直线BC的解析式为y=- x+ ，设直线BC与x轴的交点为G，可确定G（3，0）. 设点M为△ABC的内心，内切圆的半径为r，可在BD上找一点M，过点M作ME⊥AB，过点M作MF⊥AC，且ME=MF=r，则四边形MEAF为正方形. 由等面积法可得S = AB×AC= AB×r+ AC×r+ BC×r，可解得r= ，即AE=EM= ，所以BE=2 ，BM= =5，可确定点M（2，3）.

    解题点拨：利用网格可直接建立直角坐标系，求其中的特殊点可从以下视角切入，一是直接利用网格特点进行作图，确定点坐标;二是从函数视角，联立直线方程，通过求交点来确定. 前者的直观性强，后者方法的解析论证更为严谨，具体解题时可配合使用.

    问题2：网格转化求三角函数

    三角函数是初中数学的特殊模块，初中階段需要借助直角三角形来求三角函数值. 以网格为背景的三角函数问题，可借助网格特性直接构建直角三角形，实现问题的几何转化.

    例2：（2020年江苏扬州市中考卷第7题）如图3，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则sin∠ADC的值为（？摇？摇? ? ）.

    A.? ? ?B.

    C.? ? ? D.

    分析：本题目以网格为背景，并结合了圆，求sin∠ADC的值可充分利用圆的特性. 首先由圆周角定理可知∠ABC=∠ADC，然后在Rt△ABC中根据锐角三角函数的定义求∠ABC的正弦值.

    解：由于∠ABC和∠ADC所对的弧长均为 ，根据圆周角定理可得∠ABC=∠ADC. 在Rt△ABC中，已知AC=2，BC=3，由勾股定理可得AB= = ，所以sin∠ABC= = ，即sin∠ADC的值为 ，答案为A.

    解题点拨：上述利用圆周角定理进行等角转化是解题的关键，通常在网格中求三角函数值有两点需要关注：一是利用网格特性进行等角转化，将其转化为特殊角的三角函数，二是利用网格的边长特性来推断线段长，借助直角三角形的边长比例关系求三角函数值.

    问题3：网格中的图形面积

    网格的图形均为全等关系，故其面积是相等的且可直接确定. 利用网格探究图形面积，解题的关键是进行等面积转化，可采用面积割补法，也可借助面积公式进行转化.

    例3：（2020年北京市中考卷第15题）如图4所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为： ______ （填“>”“=”或“<”）.

    分析：本题目分析△ABC和△ABD的面积的大小关系，其中△ABC较为规整，故可直接利用面积公式求出. 而△ABD的形状较为一般，可采用面积割补的方法求得.

    解：设网格中的小正方形的边长为1，由网格可知AC=4，点B到AC的距离为2，则S = ×4×2=4. 采用面积割补法求△ABD的面积，方案如图5所示， 则S =S -S -S -S ，其中S = ，S = ，S =2，所以S =4，显然S =S .

    解题点拨：探究网格中的图形面积，有如下几种方法. ①通过面积割补求面积;②借助网格进行等面积转化;③构建坐标系，求点坐标. 其中方法①和②充分利用了网格的特点，较为简捷，而方法③是传统的函数解法，过程略微繁复.

    问题4：网格中的作图操作

    网格中的作图操作涉及图形的变换，如平移、对称、旋转等，同时偏重考查图形理解、操作方法等. 作图过程要充分利用网格的对称、全等属性，联系几何性质直接构图.

    例4：（2020年天津市中考卷第18题）如图6，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上，且AB= .

    （1）线段AC的长等于______;

    （2）以BC为直径的半圆与边AC相交于点D，若P，Q分别为边AC，BC上的动点，当BP+PQ取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，Q，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）_______.

    分析：本题目考查求线段长，以及作图操作. 第（1）问求AC长，结合勾股定理即可求得. 第（2）問探究最值情形下点P和Q的位置，属于最值问题作图题，可分两步进行：第一步，先确定点P和Q的理论位置，需根据对称变换，三点共线确定距离最短;第二步，进行作图操作，通过对称、相交来确定作图结果.

    作图操作过程如下：①取格点M和N，连接MN;②连接BD并延长，与MN相交于点B′，连接B′C，与半圆交于点E;③连接BE，与AC交于点P;④连接B′P并延长，与BC交于点Q. （如图7所示）

    作图解释：作图过程中通过对称变换实现了三点共线，确保线段之和最短. B′为B关于AC的对称点，同时确定AC是∠B′CB的角平分线，BP+PQ有最小值时B′Q⊥BC. 借助B′C与半圆相交确保了PE⊥B′C，由对称及角平分进一步确定了PQ⊥BC，从而构建了垂直关系.

    解题点拨：网格中无直尺作图与常规作图的思路是不同的，网格作图通常采用逆推的方法，即采用逆向思维，由结论推过程，通常需借助几何特性来实现. 如作垂直关系，可借助圆与直线相切，直径所对角为直角等，对称变换则借助格点构建;作平行关系则采用网格平移，利用网格测距等方法.

    总结反思

    网格问题的直观性更强，网格特性提供了更强的操作性，可直接实现全等变换，构建特殊图形，讨论几何属性等. 突破过程融合几何知识、操作方法、数学思想，更能激发学生的创新思维，下面提出两点教学建议.

    建议一：联系网格特性，探讨几何内容

    网格中通常是由全等的特殊图形构成，其中隐含着几何的全等关系、等角或等线段条件，可直接实现几何变换、构建特殊模型. 教学中可依托网格进行知识探究，如利用网格构建坐标系推导点坐标，求直线函数解析式;引导学生从几何变换视角探究作平行线、作全等图形;联系网格探究三角函数值的构建策略. 让学生深刻体会网格的特性意义，掌握网格作图的方法思路.

    建议二：融合思想方法，拓展学生思维

    网格问题的突破过程常涉及数学的思想方法，如化归转化、数学建模、等量变换等，作图过程可直观体现数学思想的内涵. 因此网格探究过程中，不仅要引导学生关注其中的几何知识，还要关注其中的数学思想，透过作图表象理解其中的思想本质. 同时，可采用类比探究的方式，类比求解函数来探究网格建系，类比求常规几何面积来求网格中的图形面积. 充分挖掘网格的隐含价值，拓展学生思维.