关于初中生数学学习中思维的比较研究

    郭智

    [摘? 要] 无论在什么样的教学背景下，思维一直受到数学教师的重视;数学学科核心素养的每一个要素，都是思维的产物. 借助于比较研究的方法，将思维激活与數学发展、思维激活与思维定式、思维激活与学习反思三个关系进行研究，可以更加深刻地认识在初中数学教学中激活学生思维的重要意义，并找到激活学生思维的操作办法.

    [关键词] 初中数学;初中生;数学学习;思维激活

    思维被誉为世界上最美的花朵，在初中数学教学中，培养学生的思维是根本任务. 无论在什么样的教学背景下，思维一直受到数学教师的重视，即便是在“双基”时代，基础知识的积累与基本技能的形成也伴随着对思维的高度重视;进入课程改革之后，又或者是在当前核心素养培育的语境里，思维依然受到高度重视. 尽管数学学科核心素养中没有明确提及思维这一概念，但是数学学科核心素养的每一个要素，都是思维的产物. 数学抽象离不开思维，逻辑推理更加离不开思维，而数学模型则是思维的综合产物，所以从这个角度讲可以认为初中是培养学生数学思维的关键阶段，而初中生正处于好奇心和学习性极强的时期，因此教师应该把握时机，对初中生的数学思维进行培养和锻炼.

    培养学生的思维需要建立在对思维有深刻理解的基础之上，同时要以学生作为研究对象，以学生的数学学习为研究对象. 只有把握住了学生的数学学习过程，认识到学生在数学学习的过程中有哪些心理特征，才能真正号准学生数学学习过程的脉搏，从而提高数学教学的效率，让学生的数学学科核心素养在思维培养的过程中实现落地. 本文借助于比较研究的方法，将思维激活与数学发展、思维激活与思维定式、思维激活与学习反思三个关系进行了研究，取得了一些认识，总结成文章与同行分享.

    思维激活与数学发展

    所谓数学发展，是指学生在数学学习的过程中，建构数学知识与解决数学问题的认知发展. 很显然，数学发展的过程离不开学生思维的激活，如果学生的思维得不到激活，那数学发展是无法实现的. 进一步研究表明，从数学教育角度出发，可以发现学生的数学发展过程大致可分为三个阶段：一是数学发现过程，即学生在数学学习的过程中，将实际问题进行数学抽象，并进行符号化处理，进而抽象成数学模型或者数学问题;二是数学完善过程，即学生在初步建立了数学模型之后，对已有数学模型进行解释，做进一步抽象化处理，尝试建立更新的、更完善的数学模型;三是数学应用过程，即学生运用所获得的数学模型解决实际问题.

    研究上述数学发展的过程可以发现，这样一个数学发展的界定是围绕数学模型的建立与数学问题的解决来进行的，事实上初中生的数学学习过程，也确实是一个建立数学模型与运用数学模型解决数学问题的过程. 而且进一步的研究发现，学生在数学学习的过程中，数学发展与数学学科核心素养中的数学抽象及数学建模两个要素直接相关.

    以“等腰三角形的性质和判定”这一内容的教学为例，当学生利用等腰三角形的对称性发现了它的一些性质之后，证明这些性质成为主要的学习内容. 从数学发展的角度来看，当学生对等腰三角形建立了认识之后，可以认为等腰三角形就以模型的形态存在于学生的思维当中，而探究等腰三角形的性质就是丰富这一模型的过程.

    再从思维的角度来看，等腰三角形性质的探究过程，必须以学生的思维激活为前提，而这里的主要激活方向就是全等三角形的运用. 比如要证明“等腰三角形的两个底角相等”，那就必须作出等腰三角形顶角的平分线（如图1），这是关键. 那么怎样让学生自己想到去作这条辅助线呢？笔者采取的方法是诱导：要证明∠B等于∠C，那就必须将∠B和∠C分别置于两个可能全等的三角形当中，那么这两个全等三角形的构造，只可能在对称性认识的启发之下，作顶角的角平分线.

    类似的，“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”这一结论的得出也可以采用这种教学方法. 对于教师而言这样的教学是一个引导的过程，对于学生而言这样的学习是一个思维被激活的过程. 在这样的一个过程当中，学生大脑中的等腰三角形这一模型的内涵不断被丰富，于是思维的激活也就促进了学生的数学发展，同时数学学科核心素养要素也得到了不同程度的培养.

    思维激活与思维定式

    思维定式是一个非常专业的心理学词语，思维定式又称学习定式或学习心向，是指学生在学习的过程中，思维活动所具有的心理准备状态. 这种由学生先前的活动和知识经验、思维方式、习惯等构成的心理准备状态，对后继思维产生倾向性影响，从而使思维活动趋于一定的方向. 通常情况下，思维定式被认为是一个贬义词，正是因为思维定式，学生无论是在数学知识的积累过程中，还是在数学问题的解决过程中，都很难有所创新. 因此很多时候，思维定式与思维激活之间就成了水火不容的矛盾.

    但是专业的研究表明，这一认识是有问题的，很多时候正是学生的思维定式，使得学生能够更好地确定数学知识学习与数学问题解决的方向. 一个非常有说服力的例子就是，在上面探究等腰三角形的性质——“等腰三角形的两个底角相等”时，学生的思维之所以能够被激活，很大程度上就是因为学生大脑当中有“等腰三角形是轴对称图形”这一基本认识，因为有这一认识，学生才能在教师的引导之下顺利地想到作顶角的角平分线这一最关键的辅助线. 因此从这个角度讲，思维定式是思维激活的前提，教师只有把握住了学生思维当中的已有材料，确定好学生起初的思维“定”在哪个水平，才能更好地进行思维的激活.

    例如，上面提到的“三线合一”这一定理的证明，其实是可以交由学生自己去探究完成的. 为什么呢？因为在证实“等边对等角”这一结论的过程中，学生的思维定式水平已经被提高了，这个时候更加丰富的对等腰三角形性质的认识，使得学生思维当中的等腰三角形模型更加完整，学生可以在这样的思维定式水平之上，极快地发现等腰三角形顶角的角平分线同时也是底边的中线与高.

    进一步，在证明“如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”这一结论时，学生已有的思维水平无疑定在了“等边对等角”上，而“等边对等角”与“等角对等边”是命题与逆命题的关系，所以教师在激活学生思维的时候，重点应该在根据命题去寻找逆命题的正确表述上. 确定了这个重点，思维激活也就有了抓手，学生就可以在原有的思维水平上有所突破，从而顺利地得到新的结论.

    因此笔者认为，思维定式并不是一个贬义词，数学教师教学中的一个重要任务，就是去研究学生的思维水平，这样才能找到思维激活的最佳着力点.

    思维激活与学习反思

    思维激活，要激活的是学生的思维，学生的思维要想被真正激活，除了教师的帮助之外，更重要的是学生的内驱力. 那学生的内驱力怎样才能形成呢？笔者在教学中发现，让学生在学习的过程中反思，在数学问题得到解决之后反思，可以有效培养学生思维自我激活的能力. 学习反思要特别重视系统性，这是因为系统的总结与反思是数学课堂的第二次回归，是对新知识模块内在联系的系统整理，是把新知识模块通过顺应与同化有机地融入已有数学认知结构的过程. 同时这也要求学生既要回归数学教材、数学法则，更要回归数学的基本原理，这是数学知识系列化、系统化的过程.

    因为反思，学生在学习的过程中存在一个回归的过程，回归其实是一种感性的表述，本质上是指思维. 也就是说在总结反思的过程中，学生用学习之后的思维去加工学习过程中的思维，并发现自己在数学知识学习过程中、在数学问题解决过程中的思维存在哪些不足. 而发现了不足之后，学生自然会思考一个问题：怎样弥补自己的不足？在这个问题的驱动之下，学生会自主地、有意识地改善自己的学习方式，提高自己的学习能力，于是也就完成了思维的自我激活过程.

    例如，在“等腰三角形的性质和判定”的学习过程中，有不少学生走了弯路，而在笔者组织的合作反思中，这些学生在与同组同学交流时，就说出“当时如果我这么想就好了”“其实我应该像你思考的那样去思考”等话语，其实这样的话语就表明学生已经在自己的思维上形成了反思，而这必将为学生后来的思维发展奠定基础.

    总的来说，在初中数学教学的过程中，数学教师要善于激活学生的思维，而在激活学生思维的过程中要善于进行比较，这样才能找到思维激活之基.