MATLAB在高阶线性微分方程求解中的应用

    王桥明 梁春叶 黄小英 李延创 李丽洁

    

    

    

    摘 要：高阶线性微分方程在各个领域有着较为广泛的应用，对于一类的高阶线性微分方程存在简单的求解方法。本文结合高阶线性微分方程的解法与MATLAB的编程功能展示其简便的运算过程，提高高阶线性微分方程的求解速率，对高阶线性微分方程的应用推广有一定的意义。

    关键词：高阶线性微分方程;MATLAB;求解

    1 概述

    随着自然科学的不断发展，微分方程一支得到的快速的发展，其中又以常微分方程较为显著，进而常微分方程的应用也变得越来越广泛。其中线性方程更是广泛的涉猎基础科学的应用，例如化学，工程技术，天文学中星际轨道的计算，物理中的力学计算，预防学中传染病遗传的研究与探讨等。对于一些简单的线性微分方程组的计算，人为的速度有时不亚于计算机的速度，但是涉猎到复杂的高阶线性微分方程组组的计算，其中的计算理论是相对简单，便于理解的，但是能够借助于数学软件MATLAB在高阶线性微分方程组的应用将会加快计算的速度，提高工作效率。同时在信息化的新时代，不断挖掘软件的应用，将会在微分方程的教学过程中起到协助的作用。

    数学软件MATLAB除了本身具有强大的计算能力之外，在数学专业的其他领域也占据重要位置，与此同时该软件也作为数学专业学生必修的应用软件。MATLAB尤其在数学建模，概率统计，高等代数，解析几何，数学分析中占据重要位置。更关键的是MATLAB除了在求解方面的强大功能之外，对于画图功能更是有进一步的造化。特别是有些微分方程组的解不是显式解，但通过MATLAB可以将微分方程组的显式解快速生动形象的显示出来。有一些是数值解与图像解可以统一的呈现，人们可以明显地将两者进行比较。

    对于二阶及二阶以上的微分方程，我们称为高阶微分方程。对于低阶微分方程的解法，人们已经研究得非常透彻，其中不缺乏很多求解公式。虽说人类能够解的微分方程少之又少，但对于高阶微分方程的解法主要通过降阶求解法，幂级数求解法，然后通过通解公式或其他的线性变换等求解，处理过程比较冗长且容易出错。高阶微分方程的解法涉及的理论不是很多，但是对于其解法MATLAB在其中的應用是十分有意义的。

    本文将主要介绍高阶微分方程组和利用MATLAB在微分方程中的强大功能辅助高阶微分方程的求解，以及对于解法过程进行详细介绍与总结，并结合经典实例分类加以说明如何进行软件的具体操作。

    2 高阶微分方程

    2.1 高阶微分方程涉及的理论[1]

    高阶方程的主要包括可降阶的方程和线性方程解的结构，线性性方程解的结构的主要内容是二阶常系数线性方程解的结构。其中包括利用待定系数法求解的f（x）的形式及其特解的形式，另一个是利用特征根法求解的特征方程的根及其对应项。n阶齐次线性微分方程的一般表达式为：

    3 总结

    通过各类型的线性微分方程的解法介绍与具体实例表达，易见MATLAB对于求解微分方程尤其是高阶微分方程具有独特的优势所在，并且可以根据同类型或者不同类型的方程设计出统一的程序代码可以使用，不仅仅在计算工作层面节省了计算工作量，在一定的层次上提高了计算速度，更为优化的是在一定程度上提高了计算准确性，同时在微分方程的输入上和一般的输入相同，符合人性化，使用起来更加便捷。但需要注意的是在描述方程的等号时应该使用双等号“==”，否则函数的调用会显示报错，总而言之，高阶线性微分方程的求解与MATLAB的应用是一个自身优化与互助的。

    参考文献：

    [1]王高雄，周之铭，朱思铭.常微分方程.北京：高等教育出版社，2006-07.

    [2]华苏，扈志明.微积分学习指导 典型例题精解大学数学学习指导系列.北京：科学出版社，2003.08.

    [3]朱思铭.常微分方程学习辅导与习题解答.北京：高等教育出版社，2009-01.

    [4]四川大学数学学院高数学教研室.高等数学习题课同步教材.成都：四川大学出版社，2012.09.

    [5]薛定宇.MATLAB微分方程求解.北京：清华大学出版社，2020-01.