动态数学技术提效数学变式教学的实证研究

    韩仲亮 张蓉蓉

    [摘? 要] 基于动态数学技术的初中数学变式教学,能让数学符号与图形的变化过程可视化,能让概念的生成过程直观化,能让解题思路多维化,能有效改变传统教学模式以静态环境想象动态过程的不足,不仅有效增强了学生的空间思维意识,而且培养了学生的抽象思维、发散思维、创新思维等数学思维能力.

    [关键词] 初中数学;动态数学技术;提效;变式教学;图形的旋转

    变式教学法非常有利于引导学生进行系统、科学的数学思维拓展训练,但只是单独运用变式教学法也有很多缺陷,譬如无法解决很多几何概念的推理论证与拓展练习;如果把动态数学技术与变式教学法相结合,很多数学概念、公式、定理的教学问题就会迎刃而解,能够显著提升初中数学课堂的教学效率.

    动态数学技术的概念内涵及主要特征

    “动态数学技术”指运用动态教学软件(如几何画板、Hawgent教学软件),让静止的数学符号或图形“运动”起来,让数学符号与图形的变化过程可视化,让概念的生成过程直观化.

    动态数学技术的主要特征是形象化、动态化、可视化,与传统数学课堂静态教学模式形成鲜明的对比,能有效增强学生的空间思维意识,培养学生的抽象思维能力.

    变式教学与动态数学技术的教学原理与融合途径

    1. 教学原理

    变式教学的教学原理在于“变”:变条件、变结论、变方法……动态数学技术的核心价值也在于“变”:变形状、变位置、变状态……把变式教学与动态数学技术相结合,就好比“强强联手”,能让初中数学课堂变得思维火花迸射,充满生机与灵动.

    2. 融合途径

    变式教学与动态数学技术融合的途径主要有概念生成、公式推导、定理论证、教学重难点突破、思维训练、拓展练习等方面,如苏教版八年级数学下册“9.1 图形的旋转”可按如下思路进行教学设计.

    (1)明确探究任务

    根据教材内容可制定如下探究任务:①探究图形旋转的概念,认识旋轉三要素;②探究图形旋转的性质;③探究旋转图形的画法.

    (2)确定变式教法

    根据探究任务以及变式教学和动态数学技术融合的原理,可制定如下变式教法:

    ①创设变式情境.通过不断变化提问的方式,不断变化问题生发的过程与方式,诱发学生产生与已有知识经验的认识冲突,从而激发学生探究新知的欲望.

    ②开展变式探究.让学生通过对图形位置、形状等的变式探究,引领学生经历“猜想、操作、推理、验证、归纳、概括”等探究学习活动,完成对概念的生成与建构过程.

    ③进行变式训练. 通过一题多变、一题多解、一题多用等变式练习,从概念的条件与结论、问题的深浅程度、思维的正反方向等多个维度,引导学生对新知识进行“深化、吸收、迁移、创新”.

    动态数学技术提效初中数学变式教学的课例实证

    下面,以苏教版八年级数学下册“9.1 图形的旋转”的教学为例,谈谈动态数学技术与数学变式教学的融合途径与策略.

    1. 感受旋转,引入新知

    (1)播放时钟、风车、车轮、摩天轮等学生熟悉的旋转画面,让学生直观感受旋转,丰富学生对旋转现象的感性认识.

    (2)利用Hawgent教学软件出示静态的三角形、长方形、平行四边形等图形,再让这些图形旋转起来,让学生感受图形的动态旋转画面,引发猜想:旋转后所得的图形与原图形的形状、大小相同吗?进而引入新知.

    2. 变式探究,认识新知

    【探究目标一】探究图形旋转的概念

    活动1:实验探究,建立旋转概念.

    (1)引导学生操作并思考:把三角尺ABC绕点C按逆时针方向旋转到DEC的位置(如图1),再度量线段AC与DC、BC与EC的长度,以及∠ACD与∠BCE的度数,你发现了什么?

    (2)学生测量后发现:AC=DC,BC=EC,∠ACD=∠BCE.(旋转不改变图形的形状和大小)

    (3)归纳总结:①将图形绕一个 定点 旋转一定的 角度 ,这样的图形运动称为图形的旋转. 这个定点称为 旋转中心 ,旋转的角度称为 旋转角 . ②旋转的决定因素有 旋转中心 、 旋转角 和 旋转方向 ,也称旋转三要素.

    (注意:旋转时应指出旋转方向,如逆时针、顺时针等)

    活动2:变式拓展,结合动图看概念.

    利用Hawgent教学软件出示△ABC,再将△ABC绕点C按逆时针方向旋转(如图2),让学生先独立完成下面的思考题,再交流讨论:

    (1)旋转中心是点 C ;

    (2)点B的对应点是 E ;

    (3)CA的对应边是 CD ;

    (4)∠A的对应角是 ∠D ;

    (5)点A的旋转角是 ∠ACD ;

    (6)点B的旋转角是 ∠BCE .

    【探究目标二】探究图形旋转的性质

    思考:三角形旋转中心在图形本身,其旋转后图形的形状与大小不变(性质1),如果旋转中心在图形之外,会出现什么新情况?

    活动3:探究旋转的性质2——线.

    如图3,将△ABC绕点O按顺时针方向旋转到△A′B′C′的位置.

    (1)找出图中的对应线段.

    (2)度量线段OA与OA′、OB与OB′、OC与OC′的长度,你发现了什么?

    (3)学生度量后发现OA=OA′,OB=OB′,OC=OC′.

    (4)学生讨论后得出:图形旋转后,每对对应点到旋转中心的距离相等.

    活动4:探究旋转的性质3——角.

    图形旋转后,除了两个三角形中的对应角相等外,还有哪些相等的角?

    (1)度量图3中的∠AOA′,∠BOB′,∠COC′的度数,你发现了什么?

    (2)学生度量后发现∠AOA′=∠BOB′=∠COC′.

    (3)学生讨论后得出:图形旋转后,每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等.

    活动5:归纳、概括图形旋转的性质.

    (1)形:旋转前、后的图形 形状与大小不变 (对应线段 相等 ,对应角 相等 ).

    (2)线:对应点到旋转中心的距离 相等 .

    (3)角:每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此 相等 .

    【探究目标三】探究旋转图形的画法

    活动6:动手画——点绕点旋转.

    出示:已知点A和点O,请画出点A绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形.

    (1)画图步骤:连线→画角→截取(如图4),即①连接点O和点A(用虚线);②以O为顶点,以OA为一边,画∠AOC=90°(注意顺时针);③在射线OC上截取线段OA′=OA. 则点A′就是所要求作的点.

    (2)学生按上述步骤自主画图.

    活动7:变式——线段的旋转.

    出示:已知线段AB和点O,请画出线段AB绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形.

    (1)按照“活动6”的三个步骤,小组讨论线段的旋转画法,即①分别连接OA和OB(用虚线);②以OA为一边画∠AOC=90°,以OB为一边画∠BOD=90°;③在射线OC上截取线段OA′=OA,在射线OD上截取线段OB′=OB. 用实线连接A′B′,线段A′B′就是所要求作的线段(如图5).

    (2)学生按上述步骤自主画图.

    活动8:变式——三角形的旋转.

    出示:已知△ABC和点O,请画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形.

    (1)学生按照上面点的旋转、线段的旋转的作图步骤自主画图(如图6).

    (2)交流谈论,总结旋转图形的画法.

    归纳总结?摇 画旋转图形的关键:根据旋转的特征画旋转图形时,关键是确定图形的关键点(如线段的端点、多边形的顶点等). 根据旋转的性质画出关键点的对应点后,再按原图形的连接方式连接各关键点的对应点即可.

    上面的变式探究活动,利用动态数学技术把实物转化为平面图形,并演示图形旋转的动态过程,既有利于学生从直观感受转化为抽象概念,又有利于学生深入理解图形旋转的概念与性质. 并且学生运用旋转的性质学会了如何画旋转图形,这为学生以后自主解决具体问题奠定了知识与技能基础.

    3. 变式训练,深化新知

    (1)尝试练习

    原题1?摇 如图7,已知正方形ABCD的边长为1,E是BA延长线上一点,连接AC,DE. 现将△ADE绕点A按顺时针方向旋转到△AMN的位置(M在AC上). 旋转了多少度?CM的长度是多少?(答案:旋转了45°,CM= -1)

    变式?摇 如图8,在正方形ABCD中,E是BA延長线上一点,现将△ADE绕点A按顺时针方向旋转到△ABP的位置. 旋转了多少度?若连接EP,试说出△AEP的形状.(答案:旋转了90°,△AEP是等腰直角三角形)

    (2)延伸拓展

    原题2?摇 如图9,将等边三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转40°后得△ADE (点B与点D是对应点),则∠BAE= 100° .(解答:∠BAE=60°+40°=100°)

    变式1?摇 如图10,将等边三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转40°后得△ADE (点B与点D是对应点),则∠BAE= 20° .

    变式2?摇 将等边三角形ABC绕点A旋转40°后得到△ADE (点B与点D是对应点),则∠BAE=? ? ?100° 或20°? ?. (解答:①逆时针旋转时,∠BAE=60°+40°=100°;②顺时针旋转时,∠BAE=60°-40°=20°)

    上面的尝试练习让学生及时迁移、运用新知解决实际问题;拓展练习则进一步引导学生深化吸收与拓展创新. 两项练习都在原题基础上对条件和问题进行变式,有利于培养学生的发散思维与创新思维能力.

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