从“开放题”中发展学生数学思维

    陈向荣

    [摘? 要] 传统的数学教学，多强调数学知识的学习以及解题方法的训练，忽视学生数学思维力的养成. 新课改的推进，更加注重学生思维的综合发展. “开放题”的出现，契合素质教育初衷，更能为学生提供多样的数学思考空间，激发学生的探究欲望，最大限度地激活学生的主观能动性.

    [关键词] 初中数学;开放题;解题思维;思维力

    数学教育，要注重学生个性的发展，要促进学生数学素养的获得，而这些都要以训练学生的思维为基础. 数学是思维的体操，在数学学习的过程中，无论是概念的学习还是规律的学习，都必须让学生的思维高度参与. 除了概念和规律的学习之外，还有一个重要的环节，就是数学知识的应用环节，应用数学知识来解决问题，是数学思维发展的重要途径. 初中数学中，有一类习题是开放题，通过多种方式的“开放”，对学生的数学思维发展有着很重要的提升作用. 对开放题的引入，以答案不唯一、解法不固定等特点，更有助于多视角、多层面发展学生的数学思维力，满足不同层次学生的学习需求. 对开放题的运用，一方面关注数学知识的灵活运用;另一方面，注重学生数学思维的发散，从不同解题技巧、方法上，促进学生数学素养的提升.

    ■ 开放题的特点与类型把握

    开放题具有探究性，该类题型关注学生逻辑思维与分析力的培养，其特点表现在：一是题设条件要么较多、要么不足. 一些开放题，题目信息很多，但信息并非都有用，一些信息具有混淆解题思路的作用，学生在面对开放题时，可能会因条件不足或者条件太多无从找准解题思路. 二是答案不唯一. 开放题的求解，往往在解法上具有多样性，导致结果并不唯一，学生需要尝试多种解法，来得到不同的答案. 三是结论不明确. 一些开放题，在题型及呈现方式上，需要学生自己结合数学推理来获得正确解法. 由于初中生数学解题经验偏少，数学知识面相对狭窄，对开放题的教学，教师要把握题型的多样性，向学生讲解不同的求解技巧.

    如平行四边形ABCD中，E，F，G，H分别为四条边的中点，问需要满足什么条件，四边形EFGH为菱形？对于该题所需要的条件，并不唯一，学生可以发挥空间想象力来尝试求解. 当然，对于结论不确定的开放题，往往与条件开放有关，学生需要辨析开放题的类型，灵活优化解题思路.

    对于数学教师而言，对开放题特点与类型的把握，需要经过认真的思考来完成. 在教师进行思考的时候，必须高度重视学生的思维情况，尤其是要重视学生现有的思维水平，特别要搞清楚所教学生在思维的哪些方面存在薄弱之处，然后有针对性地选择开放题，这样才能起到应有的效果，这也是因材施教原则的充分体现.

    ■ 开放题的运用，深化学生对数

    学知识的建构

    开放题的学习和求解，对初中学生而言具有一定难度. 但开放题因涉及多个数学知识点，综合性强，对学生数学思维力的培养具有重要意义. 教师要注重开放题的运用，结合教学内容，引入开放题，让学生在解题中夯实数学基础理论知识，促进学生建构完整的数学知识体系. 在学习函数相关内容时，关于一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数等知识的整合，我们可以围绕函数开放题，让学生了解不同函数的特点. 如某题中，要求学生写出图像经过（-2，3）的函数关系式. 该题的题设条件是经过某点的函数，只给出了点坐标，可能的函数关系式既可以是一次函数，还可以是二次函数或其他函数形式. 这种训练，学生需要结合不同函数的知识点，根据函数图像经过的点坐标，逐一写出符合条件的函数表达式. 在初中数学阶段，开放题在题型及解法上，起点设置相对要低，学生较易介入，并能够从开放题的求解中，让学生了解不同函数之间的关联，为后续的解题应用奠定基础.

    开放题的教学与运用，教师还可以根据具体问题，引领学生将所学知识点进行建构. 开放题在实践应用中具有良好的综合性，由于不同问题涉及的知识点较多，需要学生灵活运用数学思维. 针对一些难度较高的开放题，教师可以结合题型，展开深层次的剖析，让学生体会知识点的内在关联. 如“轴对称图形”与“图形的全等”这两个概念同时出现时，学生易混淆. 对于图形全等，可以根据全等概念，分析全等的條件，梳理证明全等的方法;对于对称图形的条件，学生会从对称轴的分析入手，辨析两个图形为全等关系. 由此可见，数学知识之间的关联性较强，对不同题型的求证或求解，需要学生具有开放的数学思维，并优化解题方法. 如某题中，求过一点（0，3），且函数值y随自变量x的增大而减少的一次函数关系式. 分析题意，既然是求一次函数关系式，我们可以引入待定系数法来求解. 将x=0，y=3，代入y=kx+b（k≠0），再根据y随x增大而减少，得出k<0，这样的k不唯一，可以取多个值. 由此，一次函数关系式也具有多种形式，如y=-x+3，y=-2x+3等，都满足题目要求.

    之所以说开放题的运用能够深化学生对数学知识结构的理解，能够促进学生更有效地建构数学知识体系，是因为学生在解答开放题的时候，思维非常开放，同时也非常活跃，这样学生就能选择更多的知识来应对要解决的问题，显然更多知识的选用，可以让学生更好地发现不同数学概念或者规律之间的联系. 这种联系的存在，使得学生对数学知识结构的建构变得非常高效，同时在这样的过程中也培养了学生的知识建构能力. 从核心素养的角度来看，这就是一种关键能力. 所以说开放题的教学与运用，客观上还促进了学生核心素养的培育.

    ■ 借助开放题，激活学生数学思

    维力

    开放题在数学教学中的运用，为学生提供了更多的探究机会. 在条件开放的数学题目中，从不同条件的变换中，让学生开动脑筋、知果寻因. 如某题中，有一长方形纸，长、宽分别为12 cm、5 cm，要在该纸片上剪出一个菱形，求菱形的面积. 对于该题的分析与求解，我们鼓励学生结合剪纸活动来思考，并尝试求解. 有学生提出，应该先在长方形的长、宽取中点，再进行连接，就得到菱形，且该菱形的面积为长方形的一半;有学生提出，应该在两条长边各截取一个点，与另外两顶点连线的长度与所截取的线段的长度相等;有学生认为，可以假设菱形边长为x，列出方程求解……通过对学生不同解题思路的探讨，教师要引导学生梳理该类开放题的特点. 对于图形认知类开放题，建议先画图，将抽象的数学转化为直观的图形，为后续求解创造条件. 初中生在求解开放题时，教师要注重对学生自主意识的激发，引领学生发展数学思维，增强解题能力.

    开放题的学习中，教师要结合教学内容，适度布置开放题训练任务，让学生从中获得多样的解题方法，巩固所学知识. 比如在学习“因式分解”知识后，我们可以引入开放题：某二次三项式x2+ax+12，在整数范围内能进行因式分解，则a的值是多少？分析该题，题设条件限定于整数范围，意味着对“12”进行拆分，可以有“3×4”“2×6”“1×12”，则a的值可以为7，8，13. 但有学生认为，还可以将“12”拆分为“（-3）×（-4）”“（-2）×（-6）”“（-1）×（-12）”，则对于a的值，又可以是-7，-8，-13. 对于学生的求解思路，教师要及时进行点评. 因式分解类题目，考虑到答案的不唯一性，如果在实数范围内，则应该包含上述六种情形，a的值应该有6个. 对该题的解答，学生很容易因为忽略了负数情形而出现漏解，因此，学生要理解因式分解的内涵，全面考虑解题结果.

    思维力是学生最重要的能力之一，是智力的核心组成部分，当然也是核心素养中强调的关键能力. 相对于一般的题目，开放题显然可以更好地培养学生的思维力. 在开放题的解答过程中，笔者发现不同学生的思路往往是不一样的，这个时候组织学生进行讨论与交流，则某位学生的发现就有可能补充另一位学生的盲点，于是在课堂上常常听到有学生在恍然大悟之后发出的惊讶声音，这就是学生思维力被激活的一种表现，也体现了开放题在激活学生思维力方面的价值.

    综上所述，在初中数学教学中，运用开放题来充实教学，可以让学生的思维能力得到很好的培养，可以提升学生在解题过程中的思维品质，从而也就提升了教学的效果. 从学生学习的角度来看，初中阶段数学知识的学习需要很强的能力支撑，这个能力主要就是指思维能力. 传统的数学教学，尤其是单一指向的数学教学，学生的思维空间往往比较小，因此思维能力的培养效果就不那么明显;相比较而言，开放题的选择与运用，就可以化解这些不足，从而更好地优化数学教学，提升教学效果.