用等效法解决带电体在复合场中的运动
范建华
带电体在电场与重力场叠加的复合场中，所受的电场力和重力均为保守力（做功与路径无关，只与初末位置有关），它们的合力也为保守力，研究物体在这种复合场中受到合力运动的情况时，可将其与物体只受重力作用下运动的情况进行类比，再用动力学或功能关系进行分析和解答，通常我们将物体受到的这个合力称为“等效重力”，下面将介绍如何使用“等效重力”进行解题。
例1如图1所示，在水平方向的匀强电场中的o点，用长为l的轻、软绝缘细线悬挂一质量为m的带电小球，当小球位于B点时处于静止状态，此时细线与竖直方向（即OA方向）成θ角，现将小球拉至细线与竖直方向成2θ角的C点，由静止将小球释放，若重力加速度为g，则对于此后小球的受力和运动情况，下列判断中正确的是（
）
A.小球所受电场力的大小为Mglan θ
B.小球到B点的速度最大
C.小球可能到达A点，且到A点时的速度不为零
D.小球运动到B点时所受绳的拉力最大
解析当物体只在重力场中用细线悬挂摆动时将如图2所示，B点为摆动过程中的最低点，小球静止时就停在B点，物体在B点时所受的重力与绳子的拉力二力平衡，本题中小球处于静止的位置（图1中的B点）类似于图2中的B点，因为小球在B点处于静止状态（即为平衡状态），那么此时小球所受重力与电场力的合力与绳子的拉力平衡（如图3所示），则我们可以将图1中的B点称为小球运动过程中的“等效最低点”，合力F叫作小球的“等效重力”，将图旋转后得到的图4与图2对比，可以更加容易理解为何称之为“等效最低点”和“等效重力”，分析可知：小球在等效最低点时的速度达到最大值；由圆周运动可知此时绳子中的拉力最大，所以选项B、D正确，摆动过程中在“等效最低点”两侧所能到达的最远位置对称，所以选项C错误，同时由受力分析可以计算出选项A正确，所以本题正确答案为A、B、D，例2如图5
所示，在水平向右的匀强电场中，有一质量为m、带正电的小球，用长为1的绝缘细线悬挂于o点，当小球静止时细线与竖直方向夹角为θ现给小球一个垂直于悬线的初速度，使小球恰能在竖直平面内做圆周运动，试问：
（1）小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值多大？
（2）小球在B点的初速度多大？
由本题分析可知，当带电体在竖直面内做圆周运动时，一般先将重力场和电场等效叠加为一个场，再与重力场中的力学问题进行类比，找出等效最高点与最低点，最后利用力学的规律和方法进行分析与解答。
对于等效最高点与等效最低点不能按照我们日常生活中所理解的最高点和最低点，等效最高（低）点的判断：先求解出合力F，过圆心画合力F的平行线（如图6所示），该线沿力的方向与圆的交点为等效最低点（即为物体静止时所处的位置），该线沿力的反方向与圆的交点为等效最高点（即为圆周运动过程中最难通过位置），再次审视我们日常生活中所理解的最高点与最低点，其实也是这么确定的，重力的方向竖直向下，过圆心画重力的平行线，其中沿重力方向向下与圆的交点为最低点，沿重力反方向与圆的交点为最高点，由刚刚的分析我们可以进一步求出“绳子系着带电物体，在受到竖直向上的大小为2mg的电场力和大小为mg的重力作用下在竖直平面内做圆周运动”时的等效最高点和等效最低点，此时合力方向竖直向上，所以等效最高点的位置到了我们日常生活中所说的最低点的位置，而等效最低点位置到了我们日常生活中的最高点的位置。
带电体在电场与重力场叠加的复合场中，所受的电场力和重力均为保守力（做功与路径无关，只与初末位置有关），它们的合力也为保守力，研究物体在这种复合场中受到合力运动的情况时，可将其与物体只受重力作用下运动的情况进行类比，再用动力学或功能关系进行分析和解答，通常我们将物体受到的这个合力称为“等效重力”，下面将介绍如何使用“等效重力”进行解题。
例1如图1所示，在水平方向的匀强电场中的o点，用长为l的轻、软绝缘细线悬挂一质量为m的带电小球，当小球位于B点时处于静止状态，此时细线与竖直方向（即OA方向）成θ角，现将小球拉至细线与竖直方向成2θ角的C点，由静止将小球释放，若重力加速度为g，则对于此后小球的受力和运动情况，下列判断中正确的是（
）
A.小球所受电场力的大小为Mglan θ
B.小球到B点的速度最大
C.小球可能到达A点，且到A点时的速度不为零
D.小球运动到B点时所受绳的拉力最大
解析当物体只在重力场中用细线悬挂摆动时将如图2所示，B点为摆动过程中的最低点，小球静止时就停在B点，物体在B点时所受的重力与绳子的拉力二力平衡，本题中小球处于静止的位置（图1中的B点）类似于图2中的B点，因为小球在B点处于静止状态（即为平衡状态），那么此时小球所受重力与电场力的合力与绳子的拉力平衡（如图3所示），则我们可以将图1中的B点称为小球运动过程中的“等效最低点”，合力F叫作小球的“等效重力”，将图旋转后得到的图4与图2对比，可以更加容易理解为何称之为“等效最低点”和“等效重力”，分析可知：小球在等效最低点时的速度达到最大值；由圆周运动可知此时绳子中的拉力最大，所以选项B、D正确，摆动过程中在“等效最低点”两侧所能到达的最远位置对称，所以选项C错误，同时由受力分析可以计算出选项A正确，所以本题正确答案为A、B、D，例2如图5
所示，在水平向右的匀强电场中，有一质量为m、带正电的小球，用长为1的绝缘细线悬挂于o点，当小球静止时细线与竖直方向夹角为θ现给小球一个垂直于悬线的初速度，使小球恰能在竖直平面内做圆周运动，试问：
（1）小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值多大？
（2）小球在B点的初速度多大？
由本题分析可知，当带电体在竖直面内做圆周运动时，一般先将重力场和电场等效叠加为一个场，再与重力场中的力学问题进行类比，找出等效最高点与最低点，最后利用力学的规律和方法进行分析与解答。
对于等效最高点与等效最低点不能按照我们日常生活中所理解的最高点和最低点，等效最高（低）点的判断：先求解出合力F，过圆心画合力F的平行线（如图6所示），该线沿力的方向与圆的交点为等效最低点（即为物体静止时所处的位置），该线沿力的反方向与圆的交点为等效最高点（即为圆周运动过程中最难通过位置），再次审视我们日常生活中所理解的最高点与最低点，其实也是这么确定的，重力的方向竖直向下，过圆心画重力的平行线，其中沿重力方向向下与圆的交点为最低点，沿重力反方向与圆的交点为最高点，由刚刚的分析我们可以进一步求出“绳子系着带电物体，在受到竖直向上的大小为2mg的电场力和大小为mg的重力作用下在竖直平面内做圆周运动”时的等效最高点和等效最低点，此时合力方向竖直向上，所以等效最高点的位置到了我们日常生活中所说的最低点的位置，而等效最低点位置到了我们日常生活中的最高点的位置。
