深入解读模型，实例应用探究

    陆婷

    [摘? 要] 角平分线是初中数学的重要知识，以角平分线为基础可以构建相应的解题模型，可提升解题效率，因此开展角平分线的联想模型探究具有现实意义. 文章对角平分线的四个模型进行解读，结合实例加以探究，并提出相应的教学建议.

    [关键词] 角平分线;模型;双垂直;等腰三角形;平行等腰;三角形内心

    背景综述

    角平分线是初中几何的重要定义，利用角平分线定理可以进行几何推理、完成几何证明、求解线段长等. 角平分线定理看似简单，但其背后隐含的角相等、等线段长，甚至垂直关系可以构建相应的复合模型. 因此，在实际解题时，若出现角平分线，则可以考虑利用角平分线的性质定理，综合其他几何知识来构建相应的模型，利用模型的特殊性来简化解题过程.

    模型探究

    以角平分线为基础构建几何模型有着极高的应用价值，常用的模型有双垂直模型、等腰三角形模型、全等三角形模型、三角形内心模型等，下面结合实例开展角平分线联想模型探究.

    1. 模型一：双垂直模型

    双垂直模型，顾名思义，该模型中含有两条垂线，两组垂直关系. 其构建策略为：角平分线+边的垂线 双垂直，即利用角平分线上的点到角两边的距离相等来作垂线. 具体如下：如图1，点P在∠MON的平分线上，过点P作两边的垂线，即PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，则易知PA=PB.

    实际解题时，若已知角平分线上的点到角一边的垂线，则可以过该点作另一边的垂线，从而构造双垂线模型，利用模型来推理垂线段相等.

    例1？摇 如图2，在△ABC中，AB=10，AC=8，∠BAC=45°，AD为∠BAC的平分线，过点D作AB的垂线，垂足为E，则DE的长为__________.

    解析？摇 AD为∠BAC的平分线，可以结合角平分线来构建双垂线模型，利用模型中的等线段来解题，具体如下. 过点D作AC的垂线，垂足为F，再过点C作AB的垂线，垂足为M，分析可知DF=DE. 因为∠BAC=45°，AC=8，所以CM=AM=4 . 由等面积法可知S = AB·CM=S +S =20 ，而S +S = AB·DE+ AC·DF= （AB+AC）·DE=20 ，解得DE= .

    评析？摇 双垂直模型的核心是角平分线的性质定理，即其中的双垂线段相等. 例1在已知一边垂线的情况下通过作另一边的垂线构建了双垂线模型，为后续的等面积转化得方程提供了条件. 因此，在实际解题时需充分利用图形中的角平分线，合理添加辅助线来建模.

    2. 模型二：等腰三角形模型

    从整体上观察角平分线，可将角平分线视为两条边的对称轴，利用该特点可以作角平分线的垂线来构建等腰三角形模型. 基本的构建策略为：角平分线+角平分线的垂线 等腰三角形，即过角平分线上的任意一点作其垂线，垂线与角的两边可形成等腰三角形. 作图如下：如图3，取∠MON平分线OQ上一点P，过点P作OQ的垂线，垂线与角两边的交点分别为A和B，则△ABO为等腰三角形，且AO=BO. 在该模型中，OP为底边AB的垂直平分线，点P为底边AB的中点.

    解题时需要关注其中的角平分线，可以通过作辅助线的方式来构建等腰三角形模型，如（图3）延长AP与角的另一边交于点B，则可以形成封闭的三角形. 该模型中存在多个显著特征：垂直平分→AB⊥OP，AP=BP;等角等边→AO=BO，∠AOP=∠BOP. 可利用其中的特殊条件推理全等三角形.

    例2？摇 如图4，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD，BD=2，则AE的长为__________.

    解析？摇 △ABC为等腰直角三角形，以其内角平分线为基础构建了直角三角形ABD，求AE的长，可以把握其中的角平分线，通过添加辅助线来构建等腰三角形，利用等腰三角形模型求解.

    延长BD与AC的延长线交于点F，则△ABF为等腰三角形，且∠ABF=∠AFB. 由于AD为BF的垂直平分线，所以BD=FD，BF=2BD. 进一步可证∠EAC=∠FBC，结合AC=BC，∠ACE=∠BCF=90°，得△ACE≌△BCF. 所以AE=BF=2BD=4，即AE的长为4.

    评析？摇 上述在求解线段长的时候采用了全等转化的方法，但实际上构建等腰三角形、利用三角形中的垂直平分才是解题的核心. 图形构造是重要的解题策略，也是一种解题思想，对于涉及角平分线的问题，在构造图形时需要把握其中的等角特性.

    3. 模型三：平行等腰模型

    利用图形中的角平分线也可以构建平行四边形，利用平行四边形的特性来转化问题. 模型构建的基本策略为：角平分线+平行线 平行等腰模型，即分别过角平分线上的一点作两条边的平行线，则与角两边所形成的四边形为平行四边形，同时形成了两个等腰三角形. 如图5，取∠MON平分线上一点P，过点P分别作ON和OM的平行线PA和PB，则四边形AOBP为平行四边形，同时△AOP和△BOP为等腰三角形.

    实际解题时，可以充分利用角平分线的“平分角”特性来构建平行四边形，利用特殊图形的性质来推理计算. 同时，结合其中的平行和等角，可证明模型中的等腰三角形.

    例3？搖 如图6，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E和点F分别在BD和AD上. 已知EF∥AB，且DE=CD，试证明EF=AC.

    解析？摇 题干中有角平分线和平行线，要证明EF=CD，可以利用平行等腰模型，即过点C作AB的平行线，与AD的延长线交于点M，如图7，则△ACM为等腰三角形，且AC=CM. 因为EF∥AB，所以CM∥EF. 所以∠3=∠M. 进一步可证△CDM≌△EDF，所以EF=CM. 所以EF=AC.

    评析？摇 上述在证明线段相等时，充分利用了角平分线中的平行等腰模型，通过作平行线构建了等腰三角形，并利用其中的平行关系证明了三角形全等，从而建立了两线段之间的长度关系. 平行等腰模型中隐含着转化思想，学习模型时应充分把握其中的思想内涵.

    4. 模型四：三角形内心模型

    三角形三个内角的平分线的交点称为三角形的内心，根据该内容可知，解析涉及角平分线的三角形问题时，可以构建三角形内心模型，借助三角形内心的性质来解题. 模型构建的基本策略为：角平分线+角平分线 三角形内心. 如图8，已知BP为∠ABC的平分线的情况下，可以作∠ACB的平分线，设两平分线的交点为P，再过点P作PM⊥BC，垂足为M，则PM的长就等于点P到△ABC三条边的距离.

    实际解题时除了可以利用内心到三角形三边的距离相等特性外，还可以从等面积角度出发，构建面积模型. 以图8为例，有S = （AB+AC+BC）·PM，同时通过等角转化可得∠BPC=90°+ ∠A.

    例4？摇 如图9，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8. ∠BAC的平分线和∠ACB的平分线交于点E，过点E作EF∥BC，交AC于点F，则EF的长为__________.

    解析？摇 题目已知三角形两个内角的平分线，要求出EF的长，显然可以利用角平分线中的三角形内心模型. 过点E分别作AB，BC，AC的垂线，设垂足分别为D，M，N. 由三角形内心的性质可知DE=ME=NE，结合∠ABC=90°，可证四边形DBME为正方形. 由勾股定理可知AC=10，sin∠ACB= ，设BD=BM=x，则AD=AN=6-x，MC=NC=8-x. 因為AN+NC=AC，所以6-x+8-x=10，解得x=2. 所以BD=BM=DE=EN=2. 因为EF∥MC，所以sin∠AFE=sin∠ACB= . 所以EF= = .

    评析？摇 上述图形的显著特点是设定了三角形两个内角的平分线相交，显然联想角平分线的三角形内心模型解题更为简洁. 三角形的内心模型不仅体现了圆与三角形的内切关系，也隐含着垂直、相等、平分等几何特性，实际解题时合理利用可以有效转化问题，构建解题思路.

    教学思考

    上述对角平分线开展了联想模型探究，并结合实例详细解析了其中的四种常用模型，下面提出两点教学建议.

    1. 开展知识拓展，提升学生思维

    角平分线属于较为基础的几何定义，但上述结合关联知识进行联想拓展形成了四个重要的几何模型，其探究思路具有一定的参考价值. 教学中，可以以教材中的基本定义为出发点，引导学生从关联知识入手开展定义拓展，总结相应的模型，如联想中点模型、相似模型、全等模型等，通过拓展探究促进学生的思维发展.

    2. 应用强化模型，形成解题策略

    在模型拓展教学中，需要充分利用引例来帮助学生理解模型，掌握模型的构建方法和使用策略，提升学生的模型应用能力. 一般几何模型具有多种策略，所依据的原理也不相同，以上述角平分模型为例，包括双垂直、等腰三角形模型等，教学中有必要引导学生对模型进行归纳，总结选用模型的思路，形成相应的解题策略.