圆锥曲线“类准线”的一个性质的推广
马 文
湖南省永顺县民族特殊教育学校 (416700)
文［1］介绍了圆锥曲线的“类准线”的一个性质，本文将文［1］的相关性质进行推广.
性质1 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，不在椭圆E上的定点T(m,n)相应的定直线为l:mxa2+nyb2=1，过T和椭圆中心O的直线交椭圆E于A，B两点，P是椭圆E上异于A，B的任一点，直线AP与过B的切线BC和定直线l分别相交于C，Q两点，直线TQ交切线BC于点M.则M是线段BC的中点，PM是椭圆在P处的切线.
证明：如图1，设P(x0,y0),A(-x1,-y1),狟(x1,y1)，则有nx1-my1=0.
直线AP的方程为(y0+y1)x-(x0+x1)?y=x0y1-x1y0,①，切线BC的方程为x1xa2+y1yb2=1,②，联立方程①，②并注意到b2x21+a2y21=a2b2，得
C(a2y21x0-a2x1y1y0+a2b2x0+a2b2x1a2y1y0+b2x1x0+a2b2,
b2x21y0-b2x1y1x0+a2b2y0+a2b2y1a2y1y0+b2x1x0+a2b2)，于是BC的中点M(a2b2(x0+x1)a2y1y0+b2x1x0+a2b2,a2b2(y0+y1)a2y1y0+b2x1x0+a2b2).
(1)当mx1≠0时，将方程①与直线l的方程联立，可得
Q(a2［n(x0y1-x1y0)+b2(x0+x1)］a2n(y0+y1)+b2m(x0+x1),
b2［a2(y0+y1)-m(x0y1-x1y0)］a2n(y0+y1)+b2m(x0+x1)).注意到nx1=my1,b2x21+a2y21=a2b2，可得［a2n(y0+y1)+b2m(x0+x1)］x1=a2nx1(y0+y1)+b2m(x0+x1)x1=a2my1(y0+y1)+b2m(x0+x1)x1=m(a2y1y0+b2x0x1+a2y21+b2x21)=m(a2y1y0+b2x1x0+a2b2)，于是
Q(a2x1［n(x0y1-x1y0)+b2(x0+x1)］m(a2y1y0+b2x1x0+a2b2),
b2x1［a2(y0+y1)-m(x0y1-x1y0)］m(a2y1y0+b2x1x0+a2b2)).从而x璔-x璏=a2x1［n(x0y1-x1y0)+b2(x0+x1)］m(a2y1y0+b2x1x0+a2b2)-a2b2(x0+x1)a2y1y0+b2x1x0+a2b2=
a2b2(x0+x1)x1+a2nx1(x0y1-x1y0)-a2b2m(x0+x1)m(a2y1y0+b2x1x0+a2b2)=x1m［a2b2(x0+x1)a2y1y0+b2x1x0+a2b2-m］,同理y璔-y璏=x1m［a2b2(y0+y1)a2y1y0+b2x1x0+a2b2-n］,故㎝Q=x1m(a2b2(x0+x1)a2y1y0+b2x1x0+a2b2-m,a2b2(y0+y1)a2y1y0+b2x1x0+a2b2-n),
又㏕M=(a2b2(x0+x1)a2y1y0+b2x1x0+a2b2-m,
a2b2(y0+y1)a2y1y0+b2x1x0+a2b2-n),所以㎝Q=x1m?㏕M撸即㏕M撸㎝Q吖蚕撸从而T，M，Q三点共线，故TQ与切线BC的交点M是BC的中点.
(2)当mx1=0时，容易验证TQ与切线BC的交点M是BC的中点.
当y0≠0时，注意到b2x20+a2y20=a2b2，于是直线PM的斜率
a2y1y20+b2x1x0y0-a2b2y1b2x1x20+a2y1x0y0-a2b2x1=
b2x1x0y0-b2x20y1a2y1x0y0-a2y20x1=-b2x0a2y0,从而直线PM的方程为y-y0=-b2x0a2y0(x-x0),即x0xa2+y0yb2=1，此方程表明PM是椭圆在点P处的切线.
当y0=0时，可求得PM的方程为x=±a，显然PM是椭圆在点P处的切线.
综上可知，性质1成立.
性质2 已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a,b>0)，不在双曲线E上的定点T(m,n)相应的定直线为l:mxa2-nyb2=1，过T和双曲线中心O的直线交双曲线E于A，B两点，P是双曲线E上异于A，B的任一点，直线AP与过B的切线BC和定直线l分别相交于C，Q两点，直线TQ交切线BC于点M.则M是线段BC的中点，PM是双曲线在P处的切线.
性质3 已知抛物线E：y2=2px(p>0)，不在抛物线E上的定点T(m,n)相应的定直线为l:ny=p(x+m)，过T且与x轴平行的直线交抛物线E于点B，P是抛物线E上异于B的任一点，过P且与x轴平行的直线PQ与过B的切线BC和定直线l分别相交于C，Q两点，直线TQ交切线BC于点M.则M是线段BC的中点，PM是抛物线在P处的切线.
性质2、性质3类似于性质1可证.此处从略.
参考文献
［1］彭世金.圆锥曲线的“类准线”的一个性质.中学教研(数学)，2008(9).
湖南省永顺县民族特殊教育学校 (416700)
文［1］介绍了圆锥曲线的“类准线”的一个性质，本文将文［1］的相关性质进行推广.
性质1 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，不在椭圆E上的定点T(m,n)相应的定直线为l:mxa2+nyb2=1，过T和椭圆中心O的直线交椭圆E于A，B两点，P是椭圆E上异于A，B的任一点，直线AP与过B的切线BC和定直线l分别相交于C，Q两点，直线TQ交切线BC于点M.则M是线段BC的中点，PM是椭圆在P处的切线.
证明：如图1，设P(x0,y0),A(-x1,-y1),狟(x1,y1)，则有nx1-my1=0.
直线AP的方程为(y0+y1)x-(x0+x1)?y=x0y1-x1y0,①，切线BC的方程为x1xa2+y1yb2=1,②，联立方程①，②并注意到b2x21+a2y21=a2b2，得
C(a2y21x0-a2x1y1y0+a2b2x0+a2b2x1a2y1y0+b2x1x0+a2b2,
b2x21y0-b2x1y1x0+a2b2y0+a2b2y1a2y1y0+b2x1x0+a2b2)，于是BC的中点M(a2b2(x0+x1)a2y1y0+b2x1x0+a2b2,a2b2(y0+y1)a2y1y0+b2x1x0+a2b2).
(1)当mx1≠0时，将方程①与直线l的方程联立，可得
Q(a2［n(x0y1-x1y0)+b2(x0+x1)］a2n(y0+y1)+b2m(x0+x1),
b2［a2(y0+y1)-m(x0y1-x1y0)］a2n(y0+y1)+b2m(x0+x1)).注意到nx1=my1,b2x21+a2y21=a2b2，可得［a2n(y0+y1)+b2m(x0+x1)］x1=a2nx1(y0+y1)+b2m(x0+x1)x1=a2my1(y0+y1)+b2m(x0+x1)x1=m(a2y1y0+b2x0x1+a2y21+b2x21)=m(a2y1y0+b2x1x0+a2b2)，于是
Q(a2x1［n(x0y1-x1y0)+b2(x0+x1)］m(a2y1y0+b2x1x0+a2b2),
b2x1［a2(y0+y1)-m(x0y1-x1y0)］m(a2y1y0+b2x1x0+a2b2)).从而x璔-x璏=a2x1［n(x0y1-x1y0)+b2(x0+x1)］m(a2y1y0+b2x1x0+a2b2)-a2b2(x0+x1)a2y1y0+b2x1x0+a2b2=
a2b2(x0+x1)x1+a2nx1(x0y1-x1y0)-a2b2m(x0+x1)m(a2y1y0+b2x1x0+a2b2)=x1m［a2b2(x0+x1)a2y1y0+b2x1x0+a2b2-m］,同理y璔-y璏=x1m［a2b2(y0+y1)a2y1y0+b2x1x0+a2b2-n］,故㎝Q=x1m(a2b2(x0+x1)a2y1y0+b2x1x0+a2b2-m,a2b2(y0+y1)a2y1y0+b2x1x0+a2b2-n),
又㏕M=(a2b2(x0+x1)a2y1y0+b2x1x0+a2b2-m,
a2b2(y0+y1)a2y1y0+b2x1x0+a2b2-n),所以㎝Q=x1m?㏕M撸即㏕M撸㎝Q吖蚕撸从而T，M，Q三点共线，故TQ与切线BC的交点M是BC的中点.
(2)当mx1=0时，容易验证TQ与切线BC的交点M是BC的中点.
当y0≠0时，注意到b2x20+a2y20=a2b2，于是直线PM的斜率
a2y1y20+b2x1x0y0-a2b2y1b2x1x20+a2y1x0y0-a2b2x1=
b2x1x0y0-b2x20y1a2y1x0y0-a2y20x1=-b2x0a2y0,从而直线PM的方程为y-y0=-b2x0a2y0(x-x0),即x0xa2+y0yb2=1，此方程表明PM是椭圆在点P处的切线.
当y0=0时，可求得PM的方程为x=±a，显然PM是椭圆在点P处的切线.
综上可知，性质1成立.
性质2 已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a,b>0)，不在双曲线E上的定点T(m,n)相应的定直线为l:mxa2-nyb2=1，过T和双曲线中心O的直线交双曲线E于A，B两点，P是双曲线E上异于A，B的任一点，直线AP与过B的切线BC和定直线l分别相交于C，Q两点，直线TQ交切线BC于点M.则M是线段BC的中点，PM是双曲线在P处的切线.
性质3 已知抛物线E：y2=2px(p>0)，不在抛物线E上的定点T(m,n)相应的定直线为l:ny=p(x+m)，过T且与x轴平行的直线交抛物线E于点B，P是抛物线E上异于B的任一点，过P且与x轴平行的直线PQ与过B的切线BC和定直线l分别相交于C，Q两点，直线TQ交切线BC于点M.则M是线段BC的中点，PM是抛物线在P处的切线.
性质2、性质3类似于性质1可证.此处从略.
参考文献
［1］彭世金.圆锥曲线的“类准线”的一个性质.中学教研(数学)，2008(9).
