例谈线段和角的类比学习

    李志东

    [摘? 要] 线段和角是几何图形中最基本的知识，对于后续学习三角形、四边形、多边形，全等、相似、锐角三角函数等都起着基石和铺垫的作用. 学生不仅要学会线段和角的知识，更要学会学习它们的方法和思考它们内在的联系.

    [关键词] 线段;角;类比学习

    线段的概念和角的概念的类比

    沪科版七年级教材中对于线段和角都是描述性的，但可以归纳为：

    1. 线段是“两点一线”. “两点一线”中的两点是指线段的两个端点，一线是指连接两点的是直线.

    2. 角是“两线一点”. “两线一点”中的两线是指角的两条边（是两条射线），一点是指角的顶点.

    线段的命名和角的命名的类比

    1. 线段的命名是“姓+名”

    第一种是姓后面跟两个端点的大写字母，两个端点的大写字母没有书写顺序的要求，如图1：线段AB或线段BA.

    第二种是姓后面跟一个小写的字母，如图2：线段a.

    一般地，若题目中已经告诉了或者标记过了某个线段，那么线段的命名就已经确定了，如果没有可以根据需要自己命名.

    2. 角的命名也是“姓+名”

    第一种是姓后面跟三个大写字母，顶点字母必须写在中间，另外两个大写字母没有书写顺序的要求，如图3：∠AOB或∠BOA.

    第二种是姓后面跟一个小写的希腊字母或角码或大写的顶点字母（不引起混淆的情况下），如图4：∠α或∠1.

    类似于线段，一般地，若题目中已经告诉了或者标记过了某个角，那么角的命名就已经确定了，如果没有可以根据需要自己命名.

    线段条数与角个数的计算方法

    的类比

    在计算线段条数和计算角的个数中，同学们很容易计算错，一种是漏算，一种是重复计算，还有就是无从下手的. 针对这三种情况，我们可以把数线段和数角进行类比学习，做到举一反三，触类旁通，已经学会的同学也可以锦上添花.

    如表1、表2，类比学习数线段，我们研究数角.

    与线段的计数方法类似，先选一边为始边，确定以这条始边为一边的角的个数，再依次把后面的边看作始边，数出角的个数，最后相加即可得角的总数（注意：向同一个方向数）. 在学习时一定要弄清楚式子中“n”“n-1”分别是什么意思，以及“2”的真实含义，重复的不算，要除以2;重复计算就不用除以2.

    刚刚研究的是理论问题，实际上现实生活中这样的应用是无处不在的，比如足球世界杯的小组赛中每个小组共比赛多少场;NBA比赛中分东西部和主客场，怎么统计比赛的场次;多人相互之间握手或碰杯多少次;某路公交车有n个站点，售票员需要记几种票价和准备几种车票……理论来源于生活，更重要的是学会了要能应用于生活.

    线段和角的和差表示方法类比

    1. 在线段的问题中经常要求某条线段的长度，通常可以用几条线段之间的加减运算得到. 如图5：（1）AB=AC+BC，（2）AC=AB-BC，（3）BC=AB-AC.

    2. 在角中，同样会涉及求某个角的度数，也是通过几个角之间的加减运算得到，如图6：（1）∠AOB=∠AOC+∠BOC，（2）∠AOC=∠AOB-∠BOC，（3）∠BOC=∠AOB-∠AOC. 通过类比的学习方法，发现一个线段的和差问题，就有一个与之对应的角的和差问题.

    线段和角比较大小的方法类比

    1. 线段的长短比较方法

    方法一：观察法，从目测直观的角度进行线段长短的比较，适合差距比较大的线段长短的比较.

    方法二：度量法，从“数”的角度比较（用有刻度的直尺量出线段的长度，再比较）.

    方法三：叠合法，从“形”的角度比较（起点对齐，看终点）.

    2. 角的大小比较方法

    方法一：观察法，从目测直观的角度进行角的大小比较，适合差距比较大的角的比较.

    方法二：度量法，从“数”的角度比较（用量角器测量出角的度数，再比较）.

    方法三：叠合法，从“形”的角度比较（顶点、始边对齐，看终边）.

    线段的中点与角的平分线的

    类比

    1. 线段的中点与角的平分线概念的类比

    （1）线段的中点.

    概念：点C在线段AB上且使线段AC，CB相等，这样的点C叫作线段AB的中点（如图7）. 这时有AC=CB= AB或AB=AC+CB=2AC=2CB.

    性质定理：因为点C是线段AB的中点，所以AC=CB= AB.

    由条件到结论，其中条件反映了位置关系，点C在线段AB上，这是隐性的，教学时要注意;结论反映了数量关系AC=CB= AB，其中数量关系共三个，可根据需要来写，不一定全写出来.

    判定定理：因为AC=CB= AB，所以点C是线段AB的中点.

    由条件到结论，其中条件反映了两种关系：一是位置关系，点C在线段AB上，这是隐性的，教学时要注意;二是数量关系AC=CB= AB，这里的三个等式只要有两个成立就行了.

    （2）角的平分线.

    概念：射线OC在∠AOB的内部，且使∠AOC，∠COB相等，这条射线OC叫作∠AOB的平分线（如图8）. 这时有∠AOC=∠COB= ∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠COB.

    性质定理：因为射线OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC=∠COB= ∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠COB.

    由条件到结论，其中条件反映了位置关系，即射线OC在∠AOB的内部，这是隐性的，教学时要注意;结论反映了数量關系∠AOC=∠COB= ∠AOB，其中数量关系共三个，可根据需要来写，不一定全写出来，但教学时需要教会学生类比线段的问题进行思考和学习.

    判定定理：因为∠AOC=∠COB= ∠AOB，所以射线OC是∠AOB的平分线.

    由条件到结论，其中条件反映了两种关系：一是位置关系，射线在角的内部，这是隐性的，教学时要注意;二是数量关系∠AOC=∠COB= ∠AOB，这里的三个等式只要有两个成立就行了.

    通过比较两个概念，可以发现共同点. 线段的中点与角的平分线在核心问题上都是一种平分，并且几何语言书写的格式也是一脉相承的.

    2. 线段的中点与角的平分线知识拓展的类比

    线段中涉及中点的知识：

    （1）线段上一点+两个中点的知识.

    已知：点C是线段AB上一点，点P，Q分别是线段AC，CB的中点.

    ①若点C是线段AB的中点且AB=10，求PQ;

    ②若点C是线段AB上的任意点，AB=10，求PQ;

    ③若点C是线段AB上的任意点，PQ与AB的数量关系是什么，为什么？

    变式一：点C是直线AB上任意点，点P，Q分别是线段AC，CB的中点，试问PQ与AB的数量关系，为什么？

    变式二：点C是直线AB外任意点，P，Q分别是线段AC，CB的中点，试问PQ与AB的数量关系，为什么？（拓展到三角形的中位线知识）

    （2）线段上两点+两个中点的知识.

    已知：点P，Q是线段AB上两点，点M，N分别是线段AP，QB的中点，AB=a，PQ=b，a>b，求MN.

    角中涉及角的平分线的知识：

    （1）一个大角内有一条射线+两条角平分线的知识.

    已知：射线OC在∠AOB内，射线OP，OQ分别是∠AOC，∠COB的平分线.

    ①若射线OC是∠AOB的平分线且∠AOB=100°，求∠POQ;

    ②若射线OC是∠AOB内任意射线，∠AOB=100°，求∠POQ;

    ③若射线OC是∠AOB内任意射线，求∠POQ与∠AOB的关系，并说明理由.

    变式：射线OC在∠AOB外，射线OP，OQ分别是∠AOC，∠COB的平分线，∠POQ与∠AOB有什么关系，为什么？

    （2）一个大角内有两条射线+两条角平分线的知识.

    已知：射线OP，OQ分别是∠AOB内的两条射线，射线OM，ON分别是 ∠AOP，∠BOQ的平分线，且∠AOB=α，∠POQ=β，α>β，求∠MON.

    变式：射线OP，OQ分别是∠AOB外的两条射线，射线OM，ON分别是∠AOP，∠BOQ的平分线，且∠AOB=α，∠POQ=β，α>β，求∠MON.

    我们利用线段中点的概念类比角平分线的概念，充分了解角平分线与线段中点在本质上都是一种等分，利用这个特点可以解决线段中点与角平分线的相关问题，希望给大家带来一定的帮助. 处处留心皆学问，线段和角的出题形式和书写格式都是非常相似的，能帮助我们举一反三，达到事半功倍的效果.

    线段中的比例、倍数关系和角

    中的比例和倍数关系的类比

    1. 已知：点C在线段AB上，BC=2AC，点D是线段AB的中点，CD=4，求AB.

    这是一道经典的原型题，是在线段中点的基础上进行的再拓展，认真研究后发现，这题条件中的倍数关系还可以改成比例问题.

    例如：“点C在线段AB上，BC=2AC，点D是线段AB的中点，CD=4”，問题部分难道只能求AB，能不能求BC或是AC呢？难道这个比例只能是2 ∶ 1吗？能不能是其他的呢？带着这些问题可以继续研究，为学生开阔眼界、训练思维.

    这就是知识的传承性，解题的思路和格式基本上是一模一样的，关键是倍数、比例的转化，以及对要求的未知量的把握，当然也可以改成份数问题的研究. 一看到未知量，很多同学想到了方程，类似的也可以应用方程的思想去完成，在教学中会发现建立的等式有多种，需要教师和学生反复揣摩和推敲，以到达思维严谨、格式规范、答案准确.

    2. 已知：射线OC在∠AOB内，∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，∠COD=19°，求∠AOB.

    比较上下两题，它们的内核是相似的，可见应用类比学习的方法，不仅可以快速解题，更可以对试题进行变式和推广.

    线段的分类讨论和角的分类讨

    论问题的类比

    1. 线段的分类讨论问题

    已知：点A，B，C三点在一条直线上，AB=16，BC=6，（1）求AC;（2）若点P，Q分别是线段AB，BC的中点，求PQ.

    线段是图形，线段中的分类讨论问题一般是将“数”和“形”相结合，注意方向，分类讨论，问题（1）就解决了. 问题（2）是在问题（1）的基础上结合线段中点的知识进行的拓展，依然是“数形”与分类讨论相结合，先画图分类，再计算. 当然也可以将其中的线段用字母表示，这样就从特殊推广到了一般.

    2. 角的分类讨论问题

    已知：∠AOB=100°，∠BOC=40°，（1）求∠AOC;（2）若射线OP，OQ分别是∠AOB，∠BOC的平分线，求∠POQ.

    本题类比线段问题的解题思路和解题格式，可以很快地完成，更可以推广到一般，不仅仅是形似，更是神似. 当然也可以在分类讨论的基础上涉及线段中点、角平分线、比例、倍数、份数问题，这又加大了难度，更拓展了数学思维.

    简化思路、训练思维、加深理解是类比思想的核心，本文通过类比学习线段和角的相关知识，一是可以加深学生对线段和角这两个基本图形的理解，二是可以让学生理清已有知识脉络，并进行有机整合.