教而不思则罔 思而不教则怠

    汤陆梅

    [摘? 要] 复习课是平时教学中的重要组成部分，它与新授课有很大的不同，复习不是对知识进行简单的重复，也不是几道习题的简单堆积，复习课需要将知识系统化，使其成为线状、网状. 平时所渗透的重要思想方法需加以提炼，使学生学习数学的能力再一次提高，可以说新授课是“画龙”，复习课则是“点睛”.

    [关键词] 教学反思;复习课;锐角三角函数;基本图形;数学思想方法

    教学是一门遗憾的艺术，教师主动对自己教学实践的缺憾进行反思，找出存在的问题，并加以改进，是教师提高个人业务水平、促进学生更优发展的一种手段.下面就以“锐角三角函数”复习课为例，对首次设计存在的问题，从数学思想方法的角度进行教学的探索、反思和改进，再做二次设计.

    首次设计

    环节一：知识梳理（5分钟）

    1. 你对直角三角形有哪些认识？

    （1）三角关系;

    （2）三边关系;

    （3）边角关系;

    （4）解直角三角形.

    2. 你可以用这些知识解决哪些问题？

    设计意图? 通过回忆知识，唤醒学生知识的生长点，先独立思考完成知识树，然后小组合作交流，完善知识树.

    环节二：演练展示（10分钟）

    1. 如图1，∠ACB=90° ，CD⊥AB，垂足为D.

    （1）sinA= = ;

    （2）sinB= = ;

    （3）cos∠ACD= ，cos∠BCD= ;

    （4）tanA= = ，tanB= = .

    2. 在Rt△ABC中，∠C=90° ，∠B=25°，AC=4，求BC的长.

    3. 在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6，求∠B.

    设计意图? 通过几个基礎题，为学生知识的形成搭建路径，学生通过自己独立思考，小组合作交流与展示，体验成功的喜悦，增强学生学习数学的兴趣和信心.

    环节三：拓展提升（10分钟）

    1. 如图2，在△ABC中，AC=8，∠B=45°，∠A=30°，求AB.

    2. 如图3，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距60 m，在建筑物的顶部分别观测铁塔的底部的俯角为30°，顶部的仰角为45°，求铁塔的高度. （精确到1 m）

    设计意图? 通过拓展题的训练，让学生进一步内化知识点. 这一过程教师要放手给学生自主探索，学生在教师的引导下，进行独立思考，再小组交流，并请代表讲解、批改，最后学生反思形成数学经验，进而举一反三，达到多题一解，渗透了转化的数学思想.

    环节四：数学实验（10分钟）

    测量旗杆的高度：（已知旗杆杆身有下垂的绳子）

    工具：卷尺、竹竿、角尺.

    问题：1.设计解决方案;2.你有几种解决方案？

    设计意图? 通过数学实验，学生将已获得的知识技能、数学经验应用到生活实际中去，体现了数学的应用价值，该过程能够培养学生的应用意识和创新精神，有助于学生形成学科素养.

    环节五：反思悟学

    教师在课后经过反复研究、推敲，找出教学的症结所在.

    1. 如果将复习课设计成一节简单的习题课，学生做的事情就是把解直角三角形的题目又重复做一遍，学生在机械的做题中度过，思维未得到训练，只是“老曲重唱”.

    2. 学生无论在知识的梳理，还是解题的训练中如果缺乏思维的提升，则不能激发其学习的欲望，学生能力的培养收效甚微.

    3. 教师对解直角三角形方法的总结不遗余力，但忽视了对思想方法的提炼，学生自己很难悟得其中的精髓.

    再次教学设计

    平时教学像“栽活一棵树”，复习课似“育好一片林”. 笔者带着这样的观点着重从数学思想方法的教学研究入手，打破教材的局限与束缚进行二度设计.

    环节一：以题点知，限时练习

    1. 如图4，在正方形网格中，△ABC的三个顶点均在网格的格点上，则AC=______;sinA=______;cosC=______;tanC=______.

    2. 在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC的值为（? ? ? ）

    A. 3sin40°? ? ? ? ? B. 3sin50°

    C. 3tan40°? ? ? ? ? D. 3tan50°

    3. 在Rt△ABC中，已知∠C=90° ，BC=15 ，tanA=? ， 则AB=______.

    4. 如图5，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A 滑到水平面的C处，已知AC=500 m，则这名滑雪运动员下降的高度为______m.

    设计意图? 以题点知，就是以题目为抓手向学生点明知识的网络，让学生掌握基础知识，形成知识系统. 主干知识：在直角三角形中，两锐角互余;三边满足勾股定理;边角满足正弦、余弦和正切的三角函数;特殊角的三角函数值. 用题目来点知比第一次的备课显得更具体.

    环节二：交流探索，数学建模

    已知：如图7，AC⊥BC，∠ABC=30°，AB=10，点D为直线BC上任意一点，且满足∠ADC=45°，求BD的长.

    变式：在△ABC中，已知∠A=30°，∠B =45°，AB = 10 ，求△ABC的面积.

    设计意图? “解直角三角形”是三角函数应用类问题的本质模型，“解直角三角形”的本质又是三角函数概念与方程思想的综合应用，可引导学生分类讨论，逐渐抽象出解直角三角形的两个基本图形. 变式题应先构造直角三角形，利用两个基本图形加以解决，只是思维的重心适当转移到方程思想上. 其主要的目的是通过探究，让学生建立解直角三角形的基本图形，如图8.

    环节三：链接中考

    1. 如图9，一号楼在二号楼的南侧，两楼的高度均为90 m ，楼间距为AB. 冬至日中午，太阳的光线与水平面所成的角为32.3°，一号楼在二号楼墙面上的影长为CA;春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，一号楼在二号楼墙面上的影高为DA，已知CD=42 m ，求楼间距AB.

    （参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63 ，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56 ，tan55.7°≈1.47）

    设计意图? 这个小题算是“解模”的基本功训练，学生主动建构解直角三角形的基本图形并画出基本图形，找出组成基本图形的直角三角形，找出每个直角三角形的已知元素，列方程解决问题.

    2. 如图10，为了测量建筑物AB的高度，在D处树立标杆CD，标杆的高为2 m，在DB上选取观测点E，F，从E处测得标杆和建筑物的顶部C，A的仰角分别为58°、45°，从点F测得C，A的仰角分别为22°，77°. 求建筑物AB的高度.

    设计意图? 此题将课堂推向高潮，将两个基本图形综合在一起，学生通过独立思考，小组交流有意识地寻找两个基本图形，寻找每个基本图形中的直角三角形及其已知的元素，从而找到解决问题的突破口. 通过自主解决问题，学生会有成功的喜悦，从而增强学习的信心.

    环节四：课堂小结（略）

    设计说明

    复习课是我们平时教学中的重要组成部分，它与新授课有很大的不同，平时教学中知识点是点状、零散的，而复习课需要将其系统化，成为线状、网状. 学生平时所学知识的疑惑点需要得到讲解，平时所渗透的重要的思想方法需加以提炼，学生学习数学的能力在此过程中能再一次提高，可以说新授课是“画龙”，复习课则是“点睛”.

    1. 老曲新唱，激发兴趣

    复习不是对知识进行简单的重复，只“温故”而不“知新”;“老曲重唱”是知识的简单整理，是几道习题的简单堆积. 而数学的学习是从厚到薄、又从薄到厚的过程，复习的目的，不仅为了使知识系统化，还应对所学的知识有新的认识，虽然是一首“老曲”，但要唱出“新味道”，复习应是对数学思想方法的提炼归纳. 如二次设计中，教师不是简单地让学生回顾知识，而是以题点知，以问题为载体，让学生主动地因需要而回忆，因需要而整理.

    2. 通解通法，注重策略

    章建跃博士指出：理解数学一是知其然，二知其所以然，三知何由以知其所以然. 因而在教学中教师不仅要让学生明白题目怎么做，还要让学生知道为什么这样做. 如在环节二的教学中并非就题论题，而是让学生在探究过程中，提炼出基本图形和解决此类问题的通法，并学会概括，学会分析，从而促进学生的深度学习.

    3. 借助载体，渗透素养

    学生数学核心素养的提升，要靠教师的逐渐渗透，如二次设计中自始至终围绕一条主线：“梳理知识——抽象基本图形——寻找解题策略”，以促进学生推理能力的提升，并使核心素养落地. 教师在进行教学设计时，要低起点，循序渐进，螺旋上升，激励学生参与课堂的各个环节，培育学生学习数学的信心. 教师还要将转化能力、概括能力、推理能力的培养融入课堂教学，促进学生数学核心素养的形成.

    总之，教学有法，但无定法，贵在得法. 教师要注重让学生学会学习，切实减轻学生的学习负担，把学生從题海中解脱出来，专注数学方法的提炼，切实提高学生解决实际问题的能力和综合应用知识的能力.