数学核心素养导向的学业测评研究

    张东年 张天宁 贾随军

    [摘? 要] 义务教育阶段数学核心素养评价决定了数学教学，影响培养学生数学核心素养任务的落实. 此问题的研究应思考其在测评领域的相关问题. 文章以2019年兰州数学中考试卷为例，研究数学核心素养在中考中的考查情况.

    [关键词] 课程标准;数学核心素养;中考命题;测评

    引言

    2014年3月，教育部印发《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，明确提出研究制定学生发展核心素养体系和学业质量标准. 根据核心素养体系，明确学生完成不同学段学习内容后应该达到的程度要求，指导教师准确把握教学的深度和广度，使考试评价更加准确反映人才培养的要求. 2016年9月，北京师范大学举行的中国学生发展核心素养研究成果发布会上公布了《中国学生发展核心素养》的总体框架及基本内涵，将学生核心素养定义为“学生应具备的，能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”[1]. 中国学生发展核心素养的落实需要通过课程改革、教学实践、教育评价三个渠道加以落实，而培养学生的数学核心素养，尚需研制相应的评价标准[2]. 尽管当下核心素养的提出与核心素养评价标准的制定源于高中课程改革，但是关注义务教育阶段学生的核心素养是我国教育改革的必然走向和趋势. 面对这种情况，喻平、董林伟率先把数学核心素养的概念引申到初中和小学，对义务教育阶段数学核心素养作了内涵界定和水平划分，同时，研制出考查知识学习与数学核心素养发展双重功能测试的评价框架[3]. 我国部分地区参考了喻平的“数学核心素养评价框架”来分析本地区中考命题中数学核心素养的考查情况[4-6]，而我国西北地区关于核心素养测评的实证研究几乎没有.

    学业测评是检验学习效果和教学目标一致性程度、检验教学质量的主要手段，更是检验数学核心素养落实情况的途径，同时测评结果对教学实践具有重要导向作用. 因此，有必要研究中考试题对核心素养的考查现状，在此基础上提出以核心素养为导向的中考命题依据.

    研究对象

    ？摇我国部分研究者以浙江省、河北省中考试题为样本研究中考试题中数学核心素养的考查情况，说明中考试题是检测数学核心素养落实情况的主要途径. 2019年3月兰州市公布的《2019年兰州市初中毕业生学业考试说明》明确提出“命题将根据学科课程标准，进一步减少机械记忆类试题的数量，逐步渗透以培养学生创新精神和实践能力为核心的教育理念”，要求学业测评落实学科核心素养.

    本研究以2019年兰州市初中学业水平考试（数学A）（以下简称“中考”）为研究对象，对数学核心素养的考查进行分析.

    研究工具

    本研究主要从数学核心素养的具体划分描述（量化）和数学核心素养的具体试题分析（质化）两个维度（见图1）分析研究初中学业水平考试（数学）对数学学科核心素养的考查情况.

    1. 数学核心素养的划分描述

    我国研究者将《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）界定的10个核心概念，即数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识作为10个核心素养[7]. 本研究以《课标》中的10个核心概念为主体框架，并结合喻平的“数学核心素养评价框架”，对数学核心素养的具体行为表现进行描述（见表1）. 以表1为依据，分析中考对数学核心素养的考查情况.

    表中数学核心素养的具体表现及水平划分不但参考了高中数学核心素养水平划分框架，更与《课标》所规定的相应的课程内容、目标及其要求相适应，而应用意识和创新意识分布于上述各个核心素养的要素中. 基于以上分析，初中数学核心概念与高中数学核心素养形成一一对应的关系，其中数感与符号意識对应数学抽象;推理能力对应逻辑推理;模型思想对应数学建模;空间观念与几何直观对应直观想象;运算能力对应数学运算;数据分析观念对应数据分析. 需要说明的是，由于每个数学核心素养在发现和提出、分析和解决问题中，各自在不同的环节发挥着不同的作用，而且相互“交叉”、相互“渗透”，同一道试题可能会涉及多个核心素养. 为此，研究时选择该试题重点体现的一个核心素养进行分析统计.

    2. 考查数学核心素养的试题例析

    （1）考查“数学抽象”素养的试题例析.

    题目21：2019年5月，兰州市第三届“国学少年强——国学知识挑战赛”总决赛拉开帷幕，小明晋级了总决赛. 比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选择一道题目. 第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A，A，A，A表示）;第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B，B，B表示）. 请用树状图或列表表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果.

    该题目以实际问题为背景，考查随机事件的所有可能结果. 解答此题需要考生能够将实际问题抽象成一个数学问题，能够识别实际情境（“知识竞赛”）中的数学模式，具有用数学语言（树状图或表格）表征模式的能力，即对数学抽象素养的考查.

    （2）考查“逻辑推理”素养的试题例析.

    ？摇？摇题目27：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2. 将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角度得到AD，过点D作DE⊥AC于E，∠DAE=∠ABC，DE=1，连接DO交⊙O于点F. ①求证：AD是⊙O的切线;②连接FC交AB于点G，连接FB，求证：FG2=GO·GB.

    该题目以平面几何为知识载体，考查学生对“圆的切线”的判定，对全等三角形、相似三角形的性质、判定等几何知识的掌握.解决第一小题需要利用等角的余角相等或平角定义推理得出∠BAD=90°，从而得到AD是⊙O的切线;解决第二小题先要作出辅助线，再通过推理得出三角形全等和三角形相似，最后得出结论（见表2）. 考试要求写出完整的推理过程，整个问题对学生的逻辑推理能力提出了较高要求.

    （3）考查“数学建模”素养的试题例析.

    题目25：某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳棚”这一课题进行了探究. 过程如下：

    ①问题提出. 如图3是某住户窗户上方安装的遮阳棚，要求设计的遮阳棚能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.

    ②方案设计. 如图4，该课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳棚CD.

    ③数据收集. 通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA与遮阳棚CD的夹角∠ADC最大（∠ADC=77.44°）;冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳棚CD的夹角∠BDC最小（∠BDC=30.56°）. 窗户高度AB=2 m.

    ④问题解决. 根据上述方案及数据，求遮阳棚CD的长. （结果精确到0.1 m，参考数据：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59，sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49）

    该题目以三角函数和解直角三角形为知识载体，实际问题为背景，命题过程呈现出完整的数学建模过程（见表3），但问题起点低，学生容易解决问题，使学生经历数学建模的全过程，能让不同层次的学生展示自己对模型思想的理解. 具体考查三角函数（正弦、余弦和正切）的定义，以及直角三角形的相关知识点，并对数学运算、逻辑推理等素养提出一定要求.

    （4）考查“直观想象”素养的试题例析.

    题目10：如图5，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A（-3，5），B（-4，3），A1（3，3），则B1的坐标为_____.？摇？摇

    该题目是关于平面几何、图形平移变化以及平面直角坐标系中点的坐标的问题. 从知识与技能层面来看，综合考查了学生对图形平移变换与图形中点的坐标的关系等知识. 为了求出B1的坐标，学生先根据平面图形中点的坐标来判断图形的平移方向，再利用点的平移与坐标之间的关系求出点的坐标. 从思想与方法层面来看，问题较好地考查了学生直观形象、空间想象与数学运算等素养，在直观想象的形成过程中，引导学生不断提高用解析几何解决问题的意识，提升数形结合的使用能力. 该题主要考查的素养是直观想象.

    （5）考查“数学运算”素养的试题例析.

    题目18：化简：a（1-2a）+2（a+1）（a-1）.

    该题目是关于代数式化简运算的问题，难度较低，考查了单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则（或平方差公式），幂的乘方，去括号法则以及合并同类项等主要知识. 该题主要查考的素养是数学运算.

    （6）考查“数据分析”素养的试题例析.

    题目24：小佳和小丽分别对八年级一班和二班本门课程期末成绩进行了调查分析. 小佳对八年级一班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下：

    第一步，收集、整理数据.

    第二步，分析数据.

    小丽用同样的方法对八年级二班全班学生（25名）的成绩进行分析，数据如下：

    根据以上信息，解决下列问题：①已知八年级一班学生的成绩在80≤x<90这一组的数据如下：85，87，88，80，82，

    85，83，85，87，85.根据上述数据，将表5补充完整;②你认为哪个班的成绩更为优异？请说明理由.

    题目是关于统计的问题，考查基本统计量的概念、中位数的计算等知识，以及阅读能力、数据分析能力. 该问题呈现了完整的统计学研究问题的关键步骤：调查、收集和整理数据，分析数据，根据数据的信息解决问题. 让学生经历了完整的统计过程，提高了学生的数学研究能力. 解决此类问题，要求学生阅读文本信息，从大量文本和表格中获取关键的信息，根据题目中提供的表格进行数据分析与数学计算. 该问题培养了学生定量分析的意识和能力，增强了学生基于数据分析获取结论来表达现实问题的意识和能力，形成学生通过数据认识事物本质的思维品质和活动经验. 该题渗透了对数据分析素养的考查.

    数学核心素养考查情况的总体

    分析

    为了了解兰州市中考试题对核心素养的考查情况，对试卷共28题（分解计数共39题）考查核心素养的情况进行了分析统计，详情见表7. 表中题目的编号“M”指数学，“9”指年级，“A”代表A卷，“O”代表客观题，“S”代表主观题，后面的数字中前两个表示题号，后面小括号内的数字表示小题号. 如M9AS21（1）指“九年级学业水平测试（数学）A卷的主观题，21题的第一小题”.

    结论

    由表7发现，兰州市中考试题考查逻辑推理占总体的42.67%，所占比重很大. 数学主要依赖逻辑思维，具体体现是逻辑推理. 逻辑推理从本质上只有两种形式，一是演绎推理，二是归纳推理. 演绎推理是命题的适用范围由大到小的推理，是一种从一般到特殊的推理，演绎推理包括三段论、反证法、数学归纳法和算法逻辑等;归纳推理是命题的适用范围由小到大的推理，是一种从特殊到一般的推理，归纳推理包括不完全归纳法、类比法、枚举法和数据分析等[8]. 为此，基于表7对逻辑推理从推理形式和内容范畴两个角度深入分析（见表8）.

    从表8可以看出，学业评价对逻辑推理考查主要是演绎推理，几乎没有涉及归纳推理.由于学业评价的指向性，难免造成课堂教学“重演绎、轻归纳，重证明、轻发现”. 数学教育家一致认为演绎推理只能验证结论，不能发现结论，不利于提高学生的創新意识和能力，只有归纳推理才能发现真理. 多年来，我国基础教育重在学生的演绎推理，主要弱在归纳推理能力的培养，给创新型人才的培养带来了严重阻碍. 我国基础教育要实施素质教育、培养创造能力，真正落实核心素养，首先要改变学业评价“重演绎、轻归纳”的现状;其次要在数学教学中加强归纳推理的教学. 逻辑推理的考查内容范畴主要是平面几何，代数主要辅助几何问题的计算，几何图形又以三角形为主要命题载体，这与三角形在中学数学课程中的核心地位相符.

    从图6中的数据发现，中考试题对六个数学核心素养均有考查，其中对三个核心素养（数学抽象、直观想象和数据分析）考查的试题数量较少，三者没有显著性差异;对逻辑推理考查的题量最多，而对数学抽象和逻辑推理考查的题量分别为2和17，两者存在较大差异. 直观想象是数学抽象的基础，数学抽象必须借助直观想象[9]. 同时，数学推理是建立在数学抽象和直观想象的基础上，认知神经学研究表明，直观想象和数学抽象是影响问题解决水平的核心因素[10]. 从上述数据来看，试卷对直观想象考查的题量很少，这与它在数学核心素养及解决问题中的地位不符. 数学建模与数学抽象的关系紧密，可以说，数学建模的过程本质上也是数学抽象的过程，如果将数学抽象和数学建模的题量合计，其题量为9，这与数学抽象在核心素养的地位相符. 试卷对数据分析考查的题量较少，但这与该部分内容在初中数学内容中的比重是相吻合的. 逻辑推理和数学运算是建立数学知识内在联系的根本方法，考查的题量也是与其在数学知识中的地位相符的.

    根据表6和图6还可以发现，兰州市中考试题对数学抽象的考查题型是选择题和解答题，考核概念、事实、法则、定理的记忆比较多. 同时，也考核在问题情境下的辨析，如“国学知识挑战赛”. 但考核学生通过抽象形成数学概念、法则、定理、规律的问题不够，其原因可能是，由试题难度限制和缺乏命制此类试题的方法. 对数据分析的考查题型是解答题，难度不大，这符合课程标准对学生的要求，初中阶段的数据分析水平基本停留在知识理解、迁移和简单计算的水平.

    本文通过对兰州市中考试题中数学核心素养考查情况的分析研究，得出了如下结论：（1）兰州市学业水平考试对六个数学核心素养都有考查，从评价题量和分值比例的角度来看，对数学建模、数学运算、直观想象与数据分析等素养的考查显著性差异不明显，但对逻辑推理素养的考查题量较大，表现出中考比较注重逻辑推理的考查. （2）从评价方式和命题形式这两个方面来看，评价方式主要采取闭卷考试形式，命题形式以选择题、填空题和解答题为主. 评价方式和命题形式没有变化，而考查内容正向淡化解题技巧、注重数学本质、问题情境自然合理的特点转变. （3）由于研究义务教育阶段的学生发展核心素养体系和学业质量标准不够深入，学业水平考试如何合理评价不同的数学核心素养以及评价方式等问题的认识不统一，表现出关于初中学业水平考试没有制定系统的学业质量评价标准. 从评价方式和命题形式的角度来看，学业水平考试中对数学核心素养的考查几乎还停留在经验层面. （4）由于学业评价对教学的导向性，学业评价在对逻辑推理素养的考查中仅仅依赖演绎推理，严重影响到学生创造能力和创造意识的培养.

    启示与建议

    学业评价是数学教学的指挥棒，数学教学中要落实核心素养，学业评价必须有所改变. 针对兰州市数学学业测评分析研究得出的结论，给予命题者和一线教师以下启示与建议.

    （1）学业评价的考查内容向淡化解题技巧的特点转变较小，这导致一线教师步入技巧和技能等同的认识误区. 但是，技巧和技能是不等同的，有关心理学实验表明，适度的技能训练可以实现熟练化，而教学中进行大量简单重复的技能训练容易导致“熟能生厌”“熟能生惰”. 目前，学校备考中数学教学充斥大量技巧性内容，其实更多是一些解题术，而不是具有普适意义的内容，这种情况可以在学业评价中取得好成绩，却会导致“高分低能”，对学生在数学上的可持续发展产生严重的不良影响.

    （2）学业评价对逻辑推理素养的考查题量较大，注重逻辑推理（主要是演绎推理）考查，这导致一线教师步入形式化和推理（追求格式）等同以及“重演绎、轻归纳”的认识误区. 但是，形式化和推理不是等同的，真理的发现和确认，与逻辑推理和归纳推理密切相关. 形式化是数学发展所必需的，学业评价中的证明过程也是按步骤评分，被定位为考试的标准格式，然而过分强调形式化导致数学教学中要求学生死记硬背一些东西，这引发学生将思考的推理过程演化为枯燥的表达格式，这样的评价和教学不仅会挫伤学生的学习兴趣，还会带给学生畏难情绪. 同时，过分强调演绎推理的考查，导致数学教学中忽视归纳推理的教学，这样的评价和教学阻碍了创新型人才的培养，影响了数学核心素养的真正落实.

    （3）学业评价对知识技能的考核很重要，是培养数学核心素养的基础，但测评题量较大，过分强调解题的速度. 现在初中学生有近半年时间准备中考，备考的主要形式是高强度的训练，希望学生达到“一看就会，一做就对”. 事实上，数学是需要思考的，基于目前的状况，应考虑命题形式的改变，如适度调整考试时间和题量，包括一定的开放试题[11].

    （4）学业评价不能单纯依赖一份试卷的评价方式考查数学核心素养. 一线教师评价学生的数学核心素养应改变单纯依赖一份试卷的现状，需要参考其他内容建立学生学习评价档案进行评价，如要求学生完成研究报告或数学小论文. 这个转变比较困难，而学业评价是否可以通过参考学生学习档案进行评价来改变现有评价方式，此问题需要进一步深入研究.

    参考文献：

    [1]核心素养研究课题组. 中国学生发展核心素养[J]. 中国教育学刊，2016（10）.

    [2] 孔凡哲，史宁中. 中国学生发展的数学核心素养概念界定及养成途径[J]. 教育科学研究，2017（06）.

    [3]董林伟，喻平. 基于学业水平质量监测的初中生数学核心素养发展状况调查[J]. 数学教育学报，2017，26（01）.

    [4]张惠英，王瑞霖. 基于核心素养的数学测评研究——以河北省2017年中考数学试题为例[J]. 数学教育学报，2017，26（05）.

    [5]朱先东，吴增生. 核心素养视角下对数学测评的研究——以2017年浙江省中考试题为例[J]. 数学教育学报，2017，26（05）.

    [6] 何萍，章才岔. 基于核心素养视角的数学测评研究——以温州市2017年中考数学试题为例[J]. 数学教学通讯，2018（29）.

    [7] 马云鹏. 关于数学核心素养的几个问题[J]. 课程·教材·教法，2015（09）.

    [8]史宁中. 数学基本思想与教学[M]. 北京：商务印书馆，2018.

    [9] 史宁中.图形与图形关系的抽象[M]. 长春：东北师范大学出版社，2015.

    [10] Wei? Wei，Hongbo? Yuan，Chuansheng? Chen，Xinlin Zhou.Cognitive correlates of performance in advanced mathematics[J]. British Journal of Educational Psychology，2012，82（01）.

    [11] 周彥池，裴昌根. 数学教育研究与实践的热点及趋势——第二届华人数学教育大会暨数学教育博士生论坛综述[J]. 数学教育学报，2016.25（06）.