圆锥曲线问题 平面几何处理
熊星飞
圆锥曲线综合题是高考命题的热点内容之一，向来作为压轴题出现，成为考生能否取得高分的关键.这类题目大都以直线、圆或圆锥曲线知识作为载体，综合函数、不等式、三角、数列等知识，涉及的知识点较多，重在考查思维能力和计算能力，要求考生能够结合已经掌握的有关直线、圆、圆锥曲线的知识与方法，对面临的问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用类比、归纳和演绎进行推理；能合乎逻辑地、准确地进行表述.调查表明，很多考生对解析几何综合题有一种畏惧感，在探索思路、分析求解过程中经常会出现“绞尽脑汁而无从下手，运算繁杂而中途作废”等思维受阻现象.
在解题中若能紧扣圆锥曲线的定义，并结合平面几何的方法来探究思路，常能使问题得到简洁的解决，大大地减少运算量，提高解题效率.
例1 过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)焦点F的弦AB，对应于焦点F的准线l与对称轴交于点P.求证：∠APF=∠BPF.
分析：按通常的解析几何方法证明，须将直线方程(另外设定)和椭圆方程联立，通过韦达定理表达出点A与点B的坐标关系，再利用夹角公式或者直线AP与BP的斜率关系来证明，运算复杂.若用平几知识考虑，只要证PF是△APB的角平分线，于是联想到三角形内角平分线定理的逆定理，马上可证得.
证明：过A点作AM⊥l，过点B作BN⊥l，垂足分别为M、N.由AM∥FP∥BN，得MPNP=AFBF=AMBN,又∠AMP=∠BNP=90°荨鰽MP∽△BNP荨螦PM=∠BPN,
∴∠APF=∠BPF.
评注：在证题中紧扣圆锥曲线的定义，利用相似三角形对应角相等得出结论；此命题同样适用于双曲线与抛物线.
例2 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e，过焦点F的弦AB(点A在x轴下方)满足〢F=λ〧B撸若弦AB的倾斜角为θ，则有e玞osθ=λ-1λ+1.
分析：通过对椭圆焦点弦的运动，可以发现，弦的倾斜角决定着λ的值，即：θ与λ存在着某种函数关系，而此题探求的正是这种关系.
问题涉及到离心率、弦的倾斜角以及焦半径比例，故可由椭圆的第二定义，结合平面几何的知识和三角知识构造直角三角形，直接建立θ、λ和离心率e三者间的关系.
证明：(玦)当λ>1时，设对应于焦点F的准线l与对称轴交于点P，过点A作AM⊥l，过点B作BN⊥l，垂足分别为M、N，过点B作BC⊥AM，垂足为C.设|BF|=x,则|AF|=λx，由椭圆的定义可知|AM|=λxe,|BN|=xe,易知四边形MNBC是矩形，|AC|=λxe-xe，在Rt△ABC中，∠CAB=∠AFO=θ，=∴玞osθ=|AC||AB|=λxe-xe,λx+x=λ-1e(λ+1)，即=e玞osθ=λ-1λ+1.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
圆锥曲线综合题是高考命题的热点内容之一，向来作为压轴题出现，成为考生能否取得高分的关键.这类题目大都以直线、圆或圆锥曲线知识作为载体，综合函数、不等式、三角、数列等知识，涉及的知识点较多，重在考查思维能力和计算能力，要求考生能够结合已经掌握的有关直线、圆、圆锥曲线的知识与方法，对面临的问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用类比、归纳和演绎进行推理；能合乎逻辑地、准确地进行表述.调查表明，很多考生对解析几何综合题有一种畏惧感，在探索思路、分析求解过程中经常会出现“绞尽脑汁而无从下手，运算繁杂而中途作废”等思维受阻现象.
在解题中若能紧扣圆锥曲线的定义，并结合平面几何的方法来探究思路，常能使问题得到简洁的解决，大大地减少运算量，提高解题效率.
例1 过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)焦点F的弦AB，对应于焦点F的准线l与对称轴交于点P.求证：∠APF=∠BPF.
分析：按通常的解析几何方法证明，须将直线方程(另外设定)和椭圆方程联立，通过韦达定理表达出点A与点B的坐标关系，再利用夹角公式或者直线AP与BP的斜率关系来证明，运算复杂.若用平几知识考虑，只要证PF是△APB的角平分线，于是联想到三角形内角平分线定理的逆定理，马上可证得.
证明：过A点作AM⊥l，过点B作BN⊥l，垂足分别为M、N.由AM∥FP∥BN，得MPNP=AFBF=AMBN,又∠AMP=∠BNP=90°荨鰽MP∽△BNP荨螦PM=∠BPN,
∴∠APF=∠BPF.
评注：在证题中紧扣圆锥曲线的定义，利用相似三角形对应角相等得出结论；此命题同样适用于双曲线与抛物线.
例2 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e，过焦点F的弦AB(点A在x轴下方)满足〢F=λ〧B撸若弦AB的倾斜角为θ，则有e玞osθ=λ-1λ+1.
分析：通过对椭圆焦点弦的运动，可以发现，弦的倾斜角决定着λ的值，即：θ与λ存在着某种函数关系，而此题探求的正是这种关系.
问题涉及到离心率、弦的倾斜角以及焦半径比例，故可由椭圆的第二定义，结合平面几何的知识和三角知识构造直角三角形，直接建立θ、λ和离心率e三者间的关系.
证明：(玦)当λ>1时，设对应于焦点F的准线l与对称轴交于点P，过点A作AM⊥l，过点B作BN⊥l，垂足分别为M、N，过点B作BC⊥AM，垂足为C.设|BF|=x,则|AF|=λx，由椭圆的定义可知|AM|=λxe,|BN|=xe,易知四边形MNBC是矩形，|AC|=λxe-xe，在Rt△ABC中，∠CAB=∠AFO=θ，=∴玞osθ=|AC||AB|=λxe-xe,λx+x=λ-1e(λ+1)，即=e玞osθ=λ-1λ+1.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
