“曲线运动”知识点击
刘永忠
一、曲线运动
（一）曲线运动的基础知识
1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向，速度的方向在不断地变化.
2.运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，具有加速度，所以曲线运动一定是变速运动，做曲线运动的物体一定受到外力的作用.
3.物体做曲线运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的初速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与初速度方向不在同一条直线上.
4.曲线运动的轨迹：
（1）合外力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧.
（2）曲线运动轨迹的特点
物体在恒力F的作用下做曲线运动，速度为v，有如下特点：
①速度v与轨迹相切；
②力F应指向轨迹凹侧；
③轨迹始终在力F与速度v方向之间；
④轨迹上各点的切线越来越靠近F的方向，但不会和F同向.
（3）速率变化情况判断
①当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；
②当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；
③当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变.
（二）运动的合成与分解遵循的原则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则.
（三）合运动与分运动的关系
1.等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止.
2.独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响.
3.等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果.
二、平抛运动
（一）平抛运动的基础知识
1.定义：物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动.
2.运动性质：平抛运动是加速度为重力加速度g的匀加速曲线运动，其运动轨迹是抛物线.
（二）物体做平抛运动的条件
1.初速度vo。≠0，且沿水平方向；
2.只受重力作用.
（三）平抛运动的特点
做平抛运动的物体，在水平方向上由于不受力，将做匀速直线运动；在竖直方向上物体的初速度为0，且只受到重力作用，物体做自由落体运动，加速度等于g.这两个分运动是相互独立、互不干涉，且时间相等.
（四）平抛运动的研究方法
用运动的合成与分解方法研究平抛运动，可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动.
（五）平抛运动的规律
以抛出点为原点，水平方向（初速度vo方向）为x轴，竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，如图1所示.
1.速度
水平方向：vx=vo；竖直方向：vy=gt
注意：合位移与合速度方向不一致，它们满足tan a=2tanθ.
（六）几个重要因素
2.水平射程：
3.落地速度：
4.速度改变量：因为平抛运动的加速度为重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔At内的速度改变量△v=g△t相同，方向恒为竖直向下，如图2所示.
5.轨迹方程：（此式在未知运动时间的情况下应用比较方便，在vo确
（七）两个重要推论
1.做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图3中的B点所示.
2.做平抛（或类平抛）运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为a，位移与水平方向的夹角为0，则tan a=2tanθ.
三、匀速圆周运动
（一）匀速圆周运动
定义：质点做网周运动，如果在相等的时间内通过的网弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动.
（二）描述圆周运动的物理量
1.线速度：线速度s是物体在时间t内通过的圆弧长），方向沿圆弧上该点处的切线方向，它是描述物体做匀速圆周运动快慢的物理量.
2.角速度：角速度（△θ是物体在时间t内绕圆心转过的角度），单位是弧度每秒，符号是rad/s，它是描述物体做匀速网周运动快慢的物理量.
3.周期T、频率f和转速：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期，周期的倒数叫做频率.转速是指做匀速圆周运动的物体每秒转过的圈数，用n表示，单位是转每秒，符号是r/s.它们都是描述物体匀速圆周运动快慢的物理量.
4.相互关系：
5.向心加速度：描述线速度方向变化快慢的物理量.
方向：总是沿着半径指向同心，所以方向时刻在变化，是一个变化的加速度.
6.向心力：作用效果是产生向心加速度
方向：总是沿着半径指向同心，所以方向时刻在变化，向心力是一个变力.
（三）匀速圆周运动的特点
角速度、周期和频率及转速恒定不变，线速度、向心力和向心加速度的大小也都恒定不变，但线速度、向心力和向心加速度的方向时刻都在变化.
（四）匀速圆周运动的性质
匀速网周运动是速度大小不变而方向时刻变化的变速曲线运动，并且是加速度大小不变、方向时刻变化、总是指向同心的变加速曲线运动.
（五）匀速圆周运动的条件
合外力的大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向同心，即合外力提供向心力，且合外力时刻等于所需向心力时，物体就做匀速圆周运动.
做圆周运动的物体，若实际提供的向心力小于它所需要的向心力时，即“供不应求”时，物体将做离心运动.
做圆周运动的物体，若实际提供的向心力大于它所需要的向心力时，即“供大于求”时，物体将做近心运动.
（六）匀速圆周运动的向心力
1.向心力的来源
在匀速圆周运动中，向心力由物体受到的合外力来提供，且与合外力相等；在非匀速圆周运动中，向心力由物体受到的合外力指向圆心方向的分力来提供，且与合外力的这个分力相等，而这个分力只改变物体的速度方向，合外力在切线方向上的另一个分力改变物体的速度大小.
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力.
2.向心力的确定
（1）确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置.
（2）分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，就是向心力.
（八）离心运动
1.本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向.
2.受力特点（如图4所示）
（1）当F=mrω?时，物体做匀速网周运动.
（2）当F=O时，物体沿切线方向飞出.
（3）当F
一、曲线运动
（一）曲线运动的基础知识
1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向，速度的方向在不断地变化.
2.运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，具有加速度，所以曲线运动一定是变速运动，做曲线运动的物体一定受到外力的作用.
3.物体做曲线运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的初速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与初速度方向不在同一条直线上.
4.曲线运动的轨迹：
（1）合外力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧.
（2）曲线运动轨迹的特点
物体在恒力F的作用下做曲线运动，速度为v，有如下特点：
①速度v与轨迹相切；
②力F应指向轨迹凹侧；
③轨迹始终在力F与速度v方向之间；
④轨迹上各点的切线越来越靠近F的方向，但不会和F同向.
（3）速率变化情况判断
①当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；
②当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；
③当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变.
（二）运动的合成与分解遵循的原则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则.
（三）合运动与分运动的关系
1.等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止.
2.独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响.
3.等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果.
二、平抛运动
（一）平抛运动的基础知识
1.定义：物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动.
2.运动性质：平抛运动是加速度为重力加速度g的匀加速曲线运动，其运动轨迹是抛物线.
（二）物体做平抛运动的条件
1.初速度vo。≠0，且沿水平方向；
2.只受重力作用.
（三）平抛运动的特点
做平抛运动的物体，在水平方向上由于不受力，将做匀速直线运动；在竖直方向上物体的初速度为0，且只受到重力作用，物体做自由落体运动，加速度等于g.这两个分运动是相互独立、互不干涉，且时间相等.
（四）平抛运动的研究方法
用运动的合成与分解方法研究平抛运动，可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动.
（五）平抛运动的规律
以抛出点为原点，水平方向（初速度vo方向）为x轴，竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，如图1所示.
1.速度
水平方向：vx=vo；竖直方向：vy=gt
注意：合位移与合速度方向不一致，它们满足tan a=2tanθ.
（六）几个重要因素
2.水平射程：
3.落地速度：
4.速度改变量：因为平抛运动的加速度为重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔At内的速度改变量△v=g△t相同，方向恒为竖直向下，如图2所示.
5.轨迹方程：（此式在未知运动时间的情况下应用比较方便，在vo确
（七）两个重要推论
1.做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图3中的B点所示.
2.做平抛（或类平抛）运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为a，位移与水平方向的夹角为0，则tan a=2tanθ.
三、匀速圆周运动
（一）匀速圆周运动
定义：质点做网周运动，如果在相等的时间内通过的网弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动.
（二）描述圆周运动的物理量
1.线速度：线速度s是物体在时间t内通过的圆弧长），方向沿圆弧上该点处的切线方向，它是描述物体做匀速圆周运动快慢的物理量.
2.角速度：角速度（△θ是物体在时间t内绕圆心转过的角度），单位是弧度每秒，符号是rad/s，它是描述物体做匀速网周运动快慢的物理量.
3.周期T、频率f和转速：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期，周期的倒数叫做频率.转速是指做匀速圆周运动的物体每秒转过的圈数，用n表示，单位是转每秒，符号是r/s.它们都是描述物体匀速圆周运动快慢的物理量.
4.相互关系：
5.向心加速度：描述线速度方向变化快慢的物理量.
方向：总是沿着半径指向同心，所以方向时刻在变化，是一个变化的加速度.
6.向心力：作用效果是产生向心加速度
方向：总是沿着半径指向同心，所以方向时刻在变化，向心力是一个变力.
（三）匀速圆周运动的特点
角速度、周期和频率及转速恒定不变，线速度、向心力和向心加速度的大小也都恒定不变，但线速度、向心力和向心加速度的方向时刻都在变化.
（四）匀速圆周运动的性质
匀速网周运动是速度大小不变而方向时刻变化的变速曲线运动，并且是加速度大小不变、方向时刻变化、总是指向同心的变加速曲线运动.
（五）匀速圆周运动的条件
合外力的大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向同心，即合外力提供向心力，且合外力时刻等于所需向心力时，物体就做匀速圆周运动.
做圆周运动的物体，若实际提供的向心力小于它所需要的向心力时，即“供不应求”时，物体将做离心运动.
做圆周运动的物体，若实际提供的向心力大于它所需要的向心力时，即“供大于求”时，物体将做近心运动.
（六）匀速圆周运动的向心力
1.向心力的来源
在匀速圆周运动中，向心力由物体受到的合外力来提供，且与合外力相等；在非匀速圆周运动中，向心力由物体受到的合外力指向圆心方向的分力来提供，且与合外力的这个分力相等，而这个分力只改变物体的速度方向，合外力在切线方向上的另一个分力改变物体的速度大小.
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力.
2.向心力的确定
（1）确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置.
（2）分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，就是向心力.
（八）离心运动
1.本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向.
2.受力特点（如图4所示）
（1）当F=mrω?时，物体做匀速网周运动.
（2）当F=O时，物体沿切线方向飞出.
（3）当F
