数学实验: 学生数学思考力增长的新作用点

    陈兆绪

    

    

    

    [摘? 要] 数学思考力是指一种逻辑运用、本质联系和信息建立的能力,也是一种搜索更广、潜入更深的思维活动. 以数学问题为导向,以解决问题为目标,注重学生对知识的探究过程,这正是数学思考力的体现. 以数学实验为载体,让学生在动手操作过程中掌握思考方法,懂得思考步骤,具备思考能力,能促进学生思考力的增长.

    [关键词] 初中数学;数学实验;数学思考力

    德国数学家康托尔说过:“数学的本质在于思考的充分自由. ”《义务教育数学课程标准》将“双基”调整为“四基”,即在“基础知识、基本技能”的基础上,增加了“基本思想、基本活动经验”. 数学思考力是数学核心素养的核心. 数学实验可以启迪学生的思维. 在课堂中,以学生为中心,以实验为手段,能使学生在数学实验操作过程中厘清数学本质,并让数学思考在数学教学中落地生根.

    数学实验与学习方法:让学生

    在实验中形成主动思考意识

    美国心理学家布鲁纳曾说:“兴趣是对学习的最好刺激,一个人抱着兴趣去研究某个问题时就会达到惊人的程度. ”数学实验要求学生用观察、思考和试验等途径实现知识内化,同时,实验中一连串层层深入的问题可以激发学生的学习兴趣,可以引领学生兴趣盎然地走向挑战,从而促使学生在实验中形成主动思考的意识.

    案例1?一元一次方程的应用.

    演示实验:用一个大杯向一个小杯倒水.

    由于杯子的形状不一样,所以,在大杯往小杯倒水后,会发生水面高度的变化. 利用学生这一生活中比较常见的事例创设教学情境,能让学生对水面高度的变化原因产生好奇,从而为后面的数学实验做铺垫.

    教学时,为学生提供两个底面半径分别为3.2 cm(A)和4 cm(B)的量筒. 让学生首先将B量筒装满水,其高度为4 cm,然后将量筒内的水倒进A量筒内,在此过程中认真观察倒水前后两个量筒内水的高度有什么变化,以及A量筒内的水面高度是多少.

    在兴趣的驱动下,学生开始积极地动手实验,这种直观的、简单的实验操作能让学生很快地发现,在倒水的过程中,由于底面半径发生了变化,所以水面的高度也随之发生变化,但始终存在水的体积相等这一关系. 根据这一等量关系,我们可以假设A量筒内的水面高度是x cm,于是有π×42×4=π×3.22×x,解得x=6.25. 所以A量筒内的水面高度为6.25 cm.

    选择学生比较熟悉的体积问题,其等量关系一目了然. 此例能让学生在等体积水中水面的变化过程中产生问题意识,并体会到其中所蕴含的不变量,从而引出用一元一次方程求解实际问题的基本步骤.

    数学实验与数学理解:让学生

    在实验中思考数学概念内涵和

    外延

    心理认知学认为:“初中生的思维能力比较弱,且正处于想象、推理的萌芽阶段. ”处于該阶段的学生的思考力的形成离不开直观形象的支撑,尤其是数学概念的理解,运用数学实验可以帮助学生直观地观察数学对象,让学生不在抽象中挣扎、徘徊,而在实验中思考数学概念的内涵与外延,加深对数学概念的理解.

    案例2?对称轴与轴对称图形.

    师:现在请同学们将一张纸平放在桌面上,然后往纸上滴一滴墨水,并将纸张对折压平,稍等片刻后,打开纸,并观察有什么现象.

    学生实验,有的学生很快发现纸张两边的墨迹沿着折痕折叠后重合,随后教师出示图1.

    师:谁能说出如何剪出这幅图案呢?请你们动手试一试.

    (学生动手操作,发现将图案对折后两部分完全重合,所以可以利用图形对称的方法剪出图案)

    师:通过前面两次操作,你们觉得它们有什么共同点?

    生1:像这样,将一个图形沿着一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够完全重合,我们就说这个图形是轴对称图形,这条直线是对称轴.

    师:那我们学过的哪些图形是轴对称图形?

    生2:圆、等边三角形.

    生3:长方形.

    生4:平行四边形.

    生5:平行四边形好像不是轴对称图形.

    学生中出现了不同的意见,有的赞同,有的反对,如何来验证呢?接下来,笔者让学生用学具进行自主操作.

    生6:我从平行四边形的一个顶点向其对边垂直剪下一个三角形,然后将这个直角三角形拼在另一个缺口,就变成了长方形. 因为长方形是轴对称图形,所以平行四边形也是.

    师:听着好像很有道理.

    生7:我发现无论怎么折,两边都无法重合,所以我认为平行四边形不是轴对称图形.

    师:还有要补充的吗?

    生8:刚才我们学过,要判断一个图形是否为轴对称图形,关键是看它对折后两边是否能重合. 所以,从轴对称图形的概念来看,显然平行四边形不是轴对称图形.

    在对称轴与轴对称图形概念的教学中,笔者安排了三次数学实验,让学生在环环相扣的实验中充分地思考着、体验着、感受着,不同观点之间相互碰撞、辩论,有效地激活了学生的思考力.

    数学实验与动态生成,让学生

    在实验中思考“变”与“不变”

    数学实验是学生通过动手、动脑和动口“做数学”的一种学习活动,是学生综合运用作图工具、测量工具、模型、剪刀和纸张等工具进行数学思维的一种探究活动. 克莱因曾说过:“数学是一种精神,一种理性精神. ”其中,“理性”二字充分体现在从“变”中准确把握“不变”的本质,并能以“不变”应“万变”.

    案例3?勾股定理的探索.

    问题:在△ABC中,边AB,BC,AC的长分别为c,a,b.

    (1)若△ABC为一般三角形,则a,b,c之间有什么数量关系?

    (2)若∠B=∠C,则a,b,c之间有什么数量关系?

    (3)若∠A=∠B=∠C,则a,b,c之间有什么数量关系?

    请同学们在草稿纸上通过画图进行探索,从问题(1)到问题(3),从一般到特殊,让学生认识到,当三角形的角度发生变化时,其对应三边的关系也随之发生变化.

    预设生成:学生从问题(1)中得到a-b    学生小组合作,借助几何画板制作三角形,测量各边的长,并记录实验数据,展示成果.

    组1:展示的成果为表1.

    学生通过对数据的分析发现直角三角形的三边满足a2+b2=c2,这一结论是否成立,请各组学生检查自己所做的情况,验证是否满足上述关系.

    组2:我们发现,只有第2组的结果相差较大,其余四组均成立.

    师:出现这种现象的原因是什么呢?

    生1:可能a2+b2=c2并非对所有直角三角形都成立. 而且我们的实验只有几组数据,未必能代表全部.

    生2:可能是数据取的精度不够,如果多保留几位,是不是误差就会变得很小?

    這是笔者在课前没有预设到的,所以,趁学生兴趣正浓厚时,笔者让学生利用表格、几何画板等工具自主设计实验,学生通过多组数据的统计分析,发现当测定的数值保留精度越高时,几乎所有的数值都满足a2+b2=c2. 由此,我们可以说直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方,即勾股定理.

    在数学学习中,学生常常因找不到突破口而困惑,此时可以通过数学实验来发现规律,从而打开突破口. 在上述环节中,我们从特殊值出发,得到关系式a2+b2=c2,那么该关系式是否具有普适性呢?接着,学生再次从特殊回到一般,这也是学生思考力增长的难点. 分析式子的结构,可以联想到边长分别为a,b和c的正方形的面积,因此,想到“构造法”,对任意的直角三角形进行构造,如图2.

    此时,只需要证明正方形DCBE和CFGA的面积之和等于正方形BAMN的面积即可. 我们常用的方法是割补法. 割补的过程对学生的思维具有极大的挑战. 只有给予学生充足的时间,鼓励学生积极思考,勇敢面对挑战,才能让他们克服思维障碍. 学生在草稿纸上做了多种尝试.

    生3:我首先对a2+b2=c2进行变形,得到(a-b)2+2ab=c2,所以构造出图3. 然后根据割补法得到图4,接着对正方形BAMN的面积进行计算,得到S=(a-b)2+4×■ab=c2.

    利用数学实验将整个勾股定理的探索有机串联起来,能让学生在边操作边思维的过程中实现对勾股定理的猜测、验证和证明,最后反思和总结勾股定理的证明过程,将知识上升为经验,促进学生思考力的再次生长.

    英国迪士尼乐园的路径是游客“走”出来的,数学思考力的形成也需要依靠师生的共同努力才能形成. 在数学实验教学中,教师应预留充足的时间给学生,从而激活他们的思考点,延展他们的数学思考触角,让数学思考逐渐走向开放,形成良好的思考习惯.

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