例谈数形结合在解证不等式中的作用

贺树泳
江西省莲花中学 (337100)
抽象性是数学最显著的特点之一，抽象的程度越高，它所概括的范围就越大，但另一方面也给数学蒙上了一层神秘的面纱，这也是学生感到数学难学的重要原因.尤其是对不等式的求解和证明，思维切入困难，放缩的目标不明确，特别对含参数不等式的证明更加难于把握. 因此，恢复和发现抽象的数量关系之几何形象，运用数形结合的思想，将不等式证明题中的 抽象性复杂性转化为直观的几何求解或证明，既能帮助学生快速找到解题途径，又可以发展他们的思维并激发其浓厚的兴趣，从而使学生达到活用数学思想方法来分析和解决问题的高境界.本文撷取几例来说明数形结合在解证不等式中的作用.
一、利用数形结合的直观性，增强解题中的求简意识
有些不等式的求解问题，虽能解决但过程繁琐，但根据问题的条件和结论的内在联系数形结合，往往能获得简单的解题思路.
例1 已知集合A={x|玪g(x2-2ax+a2+1)<玪g2},B={x|(x-a)(x-2)>0}，若A∪B=R，求a的范围.
析解：按常规必须分a<2,a=2,a>2分别求出B集，再利用A∪B=R求出a的范围，最后求这些范围的并集，运算太繁，若用数形结合可以避开对a的讨论，得到简解.
解：∵A={x|a-1f(a+1)>0-(a-3)>0,
a-1>0,
∴1例2 已知函数f(u)=u2+au+(b-2)，其中u=x+1x(x∈R,x≠0)，若a,b是可使f(u)=0至少有一实数根的实数，求a2+b2的最小值.
分析：该题如看作u的一元二次方程，利用实数根的分布知识来求解，过程较繁，但利用数形结合的知识，把a,b看作变量，则要容易得多.
解：∵u2+au+(b-2)=0，且|u|≥2，即au+b+u2-2=0①，而所求a2+b2可看作直线①上的点(a,b)与原点(0,0)的距离的平方.根据点到直线的距离公式d=|u2-2|u2+1，
∴a2+b2=d2=(u2-2)2u2+1=(u2+1)2-6(u2+1)+9u2+1=u2+1+9u2+1-6,∵u2≥4,且f(u)=u2+1+9u2+1在u2≥4上单调递增，∴a2+b2≥45.∴a2+b2的最小值为45.
二、利用式子特征，巧妙构造图形，运用数形结合的思想解决问题，提高学生分析和解决问题的能力
有些数学式子本身，如果加以认真分析，既能分析式子的特征，又能揭示其几何意义，这时数形结合应该是一种很好的思想与方法.
例3 比较玪og20052004与20032004的大小.
析解：该题三个连续的数通过对数与分式，巧妙地连在一起，按常规先化为常用对数，再作差比较大小，计算繁难不说，也看不出其巧妙之处，现利用数形结合，先作出对数曲线y=玪og2005獂，如图2，过两点A(1，0)，B(2005，1)，设直线x=2004交曲线和AB于C(2004，y0)，D(2004，y1)，由对数曲线的凸性可知C点在D点之上，所以y0>y1，即玪og20052004>20032004.
例4 设a,b,c皆为正数，且a+b+c=1,求证：1a+1b+1c≥9.
分析：该题的证法有多种，考虑其对称美、轮换美、和谐美特点，利用数形结合构造曲线y=1x可以得到一种简捷的几何证法.
证明：在曲线y=1x上任取三点A(a,1a),B(b,1b),C(c,1c)，则△ABC的重心G的坐标为x0=13(a+b+c),y0=13(1a+1b+1c)，如图3，由曲线y=1x的凹性可知，G在曲线的上方，故有y0>1x0，代换后得证.
三、运用换元、设参等构造手法活用数形结合的思想，发掘知识的内在联系，从而提高学生的数学素质
有些数学问题，如能运用图形直观地研究数、式，从而培养学生联系和转化的观点，能全面提高数学素质.
例5 证明：2t+4+1-t≥3.
分析：该题可视t为参数引入参数方程，消t转化为直线和曲线有公共点的问题来证明.
证明：显然t∈［-2,1］,设x=1-t,
y=2t+4,得x23+y26=1(0≤x≤3,0≤y≤6)，如图4，表示椭圆x23+y26=1在第一象限的一段弧(包括端点).不等式左边U=x+y表示平行直线系，所以当直线系过点A(3，0)时直线和曲线有公共点，且U有最小值，U﹎in=3.∴2t+4+1-t≥3.
例6 已知a>0,2b>a+c，求证b-b2-ac分析：待证的结论易让人联想到求根公式，所以构造二次函数f(x)=ax2-2bx+c，利用数形结合，从而获得证题的一种巧妙方法.
证明：设f(x)=ax2-2bx+c，由已知a>0,且2b>a+c,所以f(1)=a-2b+c<0.=∴f(x)的大致图像右图5，即开口向上，与x轴有两个不同的交点(x1,0),(x2,0)，且x1<1例7 设等差数列{a璶}的前n项和为S璶，若S4≥10,S5≤15，求a4的最大值.(08年四川高考题)
析解：设{a璶}首项为a1，公差为d，则有2a1+3d≥5,
a1+2d≤3，∴a4=a1+3d≥5-3d2+3d≥5+3d2,又a4=a1+3d≤3+d,∴5+3d2≤a4≤3+d,∴d≤1,∴a4≤4,∴a4的最大值为4.
但上述解法利用了放缩，学生不容易想到.如果利用简单的线性规划知识，作出可行域易知，求a4的最值，如图6，只要将初始直线a1+3d=0平移到过点A(1，1)时达到(a4)┆玬ax=1+3×1=4.
总之，数形结合的思想在数学教学和解题过程中的作用显而易见，其功能有待不断挖掘，在当前提倡素质教育，培养高素质人才的时候，更应加强各种数学思想的渗透，培养学生良好的数学思维品质.