充分挖掘课本例习题进行探究式教学
蔡飞庆
浙江省湖州市第一中学 (313000)
一、对探究式教学的认识
所谓探究式教学，是以培养学生具有“不断追求卓越的态度和提出问题、解决问题的能力”为基本目标，用与教学内容相关的问题作为载体，让学生在教师的组织和指导下有目的地相对独立地进行探索研究，从而促进学生思维水平的发展，提高学生运用知识解决问题的能力，并从中感悟到科学研究的基本策略和方法，得到科学思想的熏陶，为培养创新精神、创造思维打好基础.
其教学结构如下图所示：
二、探究式教学中教师和学生的定位
在探究式教学中，要求教师从知识的权威者变为学生知识学习的参与者、引导者和指导者，要将学习的重心从过分强调知识的传承和积累向知识的探究过程转化，使学生由被动接受知识变为主动获取知识.
在探究式课程中教师和学生的地位与作用如图：
三、探究式教学案例应用
案例1 呈现背景问题：(新教材《数学》第一册(上)P43，B组第3题)已知A={x||x-1|≥a},狟=x|2x-1<3x+5
5x-2<3x+6,且A∩B=I，求a的范围.
教师引导问题分析：该题中集合B容易求得，而在解A时需对a进行分类讨论.抓住这个特点，能否将该题改编成存在型探索性问题?
学生合作问题设计：已知A={x||x-1|≥a},B=x|2x-1<3x+5
5x-2<3x+6,问是否存在a，使得A∩B=I?若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由.
学生讨论拓展问题：若把上面问题中的“A∩B=I”这个条件改为“A∩B=B”或“A糂”等，应如何解决?
师生共同探求问题：解：①若把“A∩B=I”改为“A∩B=B”，由A可知当a≤0时，A=R.显然有A∩B=B成立；当a>0时，A={x|x≤-a+1或x≥a+1}.∵A∩B=B，
∴可得a∈I.综上可知存在这样的实数a,a的范围是(-∞，0］.②若把“A∩B=I”改为“A糂”，同样对a进行分类讨论，可得不存在这样的a使A糂成立.
案例2 呈现背景问题：(新教材《数学》第一册(上)P107，B组第3题)(1)若f(x)=ax+b，则f(x1+x22)=f(x1)+f(x2)2;(2)若ゝ(x)=ax2+bx+c，则f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2.
教师引导问题分析：本题中没有明确指出a、b的范围，说明所求的式子与a、b的值无关.抓住这个特征，可否将该题改编为一道比较型和存在型的探索性问题?
学生合作问题设计：已知f(x)=ax2+bx+c，(1)若a=0，请比较ゝ(x1+x22)与f(x1)+f(x2)2的大小；(2)若a=1，请比较ゝ(x1+x22)与f(x1)+f(x2)2的大小；(3)是否存在常数a，使得f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2成立?若成立，请求出a的范围；若不成立，请说明理由.
师生共同探求问题：(1)、(2)两问就是上面的例题.下面解答第(3)问：∵f(x1+x22)-f(x1)+f(x2)2=a(x1+x22)2+b?x1+x22+c-a(x12+x22)+b(x1+x2)+2c2=a2?［(x1+x2)22-(x12+x22)］=-a4(x1-x2)2,若f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2，则只需a≤0就能使命题成立.同理a≥0就使命题ゝ(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2成立.
师生讨论拓展问题：从问题的逆向来思考，还可以设计如下的讨论型探索性问题：已知函数f(x)具有性质f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2,给出下列函数：(1)y=x2;(2)y=2瑇;(3)y=玪og2x;(4)y=玞os玿,x∈［π2,3π2］；(5)y=玹an玿,x∈［0,π2).则在函数定义域内具有这个性质的函数有 .
解：∵f(x)具有性质f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2这个性质，∴f(x)的图像具有凹性.上述函数中具有这个特性的有(1)、(2)、(4)、(5).
案例3 呈现背景问题：(新教材《数学》第一册(上)P141，B组第1题)已知数列{a璶}的前n项和S璶=a琻-1(a是不为0的实数)，那么{a璶}().
A.一定是等差数列 B.一定是等比数列
C.或者是等差数列，或者是等比数列
D.既不是等差数列，也不可能是等比数列
教师引导问题分析：该题抓住同学们思维不缜密的毛病，在解答该题时容易忽视a=1，从而选择错误的答案B.现在在发现这一点的基础上，如何将该题拟编成判断型的探索性问题?
学生合作问题设计：已知数列{a璶}的前n项和S璶=a琻-1(a是不为0的实数).请问：{a璶}是否是等比数列?若不是，那么要使{a璶}为等比数列，a还需要满足什么条件?
学生交流问题探求：当n≥2时，a璶=S璶-S﹏-1=a琻-a﹏-1=a﹏-1(a-1);当n=1时，a1=S1=a-1.
若a=1，则数列的项均为0，这个数列是等差数列，不是等比数列.若a≠1，则a璶a﹏-1=a﹏-1(a-1)a琻(a-1)=a.这个数列是等比数列，不是等差数列.∴要使{a璶}为等比数列，则a≠1.
案例4 呈现背景问题：(新教材《数学》第二册(上)P12，例3)已知a、b是正数，且a≠b.求证：a3+b3>a2b+ab2.
教师引导问题分析：观察可得不等式的两边次数相等，都为3，且a、b的大小不确定.抓住这一特征，能否将该题的次数扩大，改编成一道比较型的探索性问题?
学生合作问题设计：已知a、b是正数，m、n∈N,且n≥m≥1，比较a琻+b琻与a﹏-m猙琺+a琺b﹏-m的大小.
师生共同完成问题探求：a琻+b琻-a﹏-m猙琺+a琺b﹏-m=(a琻-a﹏-m猙琺)+(b琻-a琺b﹏-m)=a﹏-m(a琺-b琺)+b﹏-m(b琺-a琺)=(a琺-b琺)(a﹏-m-b﹏-m).当a>b>0时，a琺>b琺,a﹏-m>b﹏-m，此时a琻+b琻>a﹏-m猙琺+a琺b﹏-m.当a=b=0时，a琻+b琻=a﹏-m猙琺+a琺b﹏-m.当0a﹏-m猙琺+a琺b﹏-m.
综上a琻+b琻≥a﹏-m猙琺+a琺b﹏-m.
案例5 呈现背景问题：(新教材《数学》第二册(上)P130，例2)直线y=x-2与y2=2x相交于A、B两点，求证：OA⊥OB.
教师引导问题分析：易得直线与x轴的交点为(2，0)，抛物线的焦点为(12，0)，所以直线y=x-2是通过(2，0)的一条直线.这样，该例题其实是下面命题的一个特例.
已知抛物线y2=2px，p表示焦点到准线的距离，过点(2p,0)的直线与抛物线交于A、B两点.求证：OA⊥OB.
容易证明这个命题的正确性，并且它的逆命题也是正确的.在发现这个特征的基础上，如何将该命题改造为一道存在型探索性问题.
师生合作问题设计：已知抛物线C的顶点为原点，问在抛物线C所在的平面内是否存在定点M，使得过M的直线与抛物线C交于A、B两点，且∠AOB为直角?
师生合作问题探求：设抛物线的方程为y2=2px(p>0),A(x1,y1),B(x2,y2)，则y12=2px1,y22=2px2.∵∠AOB=90°,∴OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0.∴y12y22=2px1?2px2=4p2x1x2=-4p2y1y2,∴y1y2=-4p2.
∵y22-y12=(y1+y2)(y2-y1)=2p(x2-x1)，若x1≠x2，则y2-y1x2-x1=2py1+y2,∴直线AB的方程为y-y1=2py1+y2(x-x1)=2py1+y2?(x-y122p).∴y=2py1+y2x-y12y1+y2+y1=2py1+y2x+y1y2y1+y2=2py1+y2(x-2p),∴直线AB过定点(2p,0).若x1=x2,则y1=-y2.∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0.∴x12-y12=0,x12-2px1=0,∴x1=2p.故直线AB过定点(2p，0)，所以存在这样的定点M使得命题成立.
教师引导问题延拓：从问题的特点去思考，还可以设计如下的存在型探索性问题.
已知抛物线y2=2px(p>0)，过点(2p，0)的直线与抛物线交于A、B两点.问三角形AOB的面积是否存在最小值?若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.
解：设直线的方程my=x-2p，其中m=1k.由my=x-2p
y2=2px得my=y22p-2p,所以y2-2pmy-4p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=2p?m2+4,所以S△AOB=12?2p|y1-y2|=2p2
?m2+4.当m=0时，即AB垂直于x轴时，S┆玬in=4p2.
以上仅列举了五个案例，数学课本中相关的好题还有不少.对其进行挖掘、加工、引申和改造，就会得到一些综合性强、能力要求高、符合创新精神的新命题.这样不仅能激发学生的学习兴趣，夯实学生的认知结构，对学生思维水平、应用知识解决问题的能力的提高也会起到事半功倍的作用，从而最终提高学生的创新能力.
参考文献
［1］王立军.新教材教学中探究式教学的探索与实践.数学通讯，2004(1).
浙江省湖州市第一中学 (313000)
一、对探究式教学的认识
所谓探究式教学，是以培养学生具有“不断追求卓越的态度和提出问题、解决问题的能力”为基本目标，用与教学内容相关的问题作为载体，让学生在教师的组织和指导下有目的地相对独立地进行探索研究，从而促进学生思维水平的发展，提高学生运用知识解决问题的能力，并从中感悟到科学研究的基本策略和方法，得到科学思想的熏陶，为培养创新精神、创造思维打好基础.
其教学结构如下图所示：
二、探究式教学中教师和学生的定位
在探究式教学中，要求教师从知识的权威者变为学生知识学习的参与者、引导者和指导者，要将学习的重心从过分强调知识的传承和积累向知识的探究过程转化，使学生由被动接受知识变为主动获取知识.
在探究式课程中教师和学生的地位与作用如图：
三、探究式教学案例应用
案例1 呈现背景问题：(新教材《数学》第一册(上)P43，B组第3题)已知A={x||x-1|≥a},狟=x|2x-1<3x+5
5x-2<3x+6,且A∩B=I，求a的范围.
教师引导问题分析：该题中集合B容易求得，而在解A时需对a进行分类讨论.抓住这个特点，能否将该题改编成存在型探索性问题?
学生合作问题设计：已知A={x||x-1|≥a},B=x|2x-1<3x+5
5x-2<3x+6,问是否存在a，使得A∩B=I?若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由.
学生讨论拓展问题：若把上面问题中的“A∩B=I”这个条件改为“A∩B=B”或“A糂”等，应如何解决?
师生共同探求问题：解：①若把“A∩B=I”改为“A∩B=B”，由A可知当a≤0时，A=R.显然有A∩B=B成立；当a>0时，A={x|x≤-a+1或x≥a+1}.∵A∩B=B，
∴可得a∈I.综上可知存在这样的实数a,a的范围是(-∞，0］.②若把“A∩B=I”改为“A糂”，同样对a进行分类讨论，可得不存在这样的a使A糂成立.
案例2 呈现背景问题：(新教材《数学》第一册(上)P107，B组第3题)(1)若f(x)=ax+b，则f(x1+x22)=f(x1)+f(x2)2;(2)若ゝ(x)=ax2+bx+c，则f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2.
教师引导问题分析：本题中没有明确指出a、b的范围，说明所求的式子与a、b的值无关.抓住这个特征，可否将该题改编为一道比较型和存在型的探索性问题?
学生合作问题设计：已知f(x)=ax2+bx+c，(1)若a=0，请比较ゝ(x1+x22)与f(x1)+f(x2)2的大小；(2)若a=1，请比较ゝ(x1+x22)与f(x1)+f(x2)2的大小；(3)是否存在常数a，使得f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2成立?若成立，请求出a的范围；若不成立，请说明理由.
师生共同探求问题：(1)、(2)两问就是上面的例题.下面解答第(3)问：∵f(x1+x22)-f(x1)+f(x2)2=a(x1+x22)2+b?x1+x22+c-a(x12+x22)+b(x1+x2)+2c2=a2?［(x1+x2)22-(x12+x22)］=-a4(x1-x2)2,若f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2，则只需a≤0就能使命题成立.同理a≥0就使命题ゝ(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2成立.
师生讨论拓展问题：从问题的逆向来思考，还可以设计如下的讨论型探索性问题：已知函数f(x)具有性质f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2,给出下列函数：(1)y=x2;(2)y=2瑇;(3)y=玪og2x;(4)y=玞os玿,x∈［π2,3π2］；(5)y=玹an玿,x∈［0,π2).则在函数定义域内具有这个性质的函数有 .
解：∵f(x)具有性质f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2这个性质，∴f(x)的图像具有凹性.上述函数中具有这个特性的有(1)、(2)、(4)、(5).
案例3 呈现背景问题：(新教材《数学》第一册(上)P141，B组第1题)已知数列{a璶}的前n项和S璶=a琻-1(a是不为0的实数)，那么{a璶}().
A.一定是等差数列 B.一定是等比数列
C.或者是等差数列，或者是等比数列
D.既不是等差数列，也不可能是等比数列
教师引导问题分析：该题抓住同学们思维不缜密的毛病，在解答该题时容易忽视a=1，从而选择错误的答案B.现在在发现这一点的基础上，如何将该题拟编成判断型的探索性问题?
学生合作问题设计：已知数列{a璶}的前n项和S璶=a琻-1(a是不为0的实数).请问：{a璶}是否是等比数列?若不是，那么要使{a璶}为等比数列，a还需要满足什么条件?
学生交流问题探求：当n≥2时，a璶=S璶-S﹏-1=a琻-a﹏-1=a﹏-1(a-1);当n=1时，a1=S1=a-1.
若a=1，则数列的项均为0，这个数列是等差数列，不是等比数列.若a≠1，则a璶a﹏-1=a﹏-1(a-1)a琻(a-1)=a.这个数列是等比数列，不是等差数列.∴要使{a璶}为等比数列，则a≠1.
案例4 呈现背景问题：(新教材《数学》第二册(上)P12，例3)已知a、b是正数，且a≠b.求证：a3+b3>a2b+ab2.
教师引导问题分析：观察可得不等式的两边次数相等，都为3，且a、b的大小不确定.抓住这一特征，能否将该题的次数扩大，改编成一道比较型的探索性问题?
学生合作问题设计：已知a、b是正数，m、n∈N,且n≥m≥1，比较a琻+b琻与a﹏-m猙琺+a琺b﹏-m的大小.
师生共同完成问题探求：a琻+b琻-a﹏-m猙琺+a琺b﹏-m=(a琻-a﹏-m猙琺)+(b琻-a琺b﹏-m)=a﹏-m(a琺-b琺)+b﹏-m(b琺-a琺)=(a琺-b琺)(a﹏-m-b﹏-m).当a>b>0时，a琺>b琺,a﹏-m>b﹏-m，此时a琻+b琻>a﹏-m猙琺+a琺b﹏-m.当a=b=0时，a琻+b琻=a﹏-m猙琺+a琺b﹏-m.当0a﹏-m猙琺+a琺b﹏-m.
综上a琻+b琻≥a﹏-m猙琺+a琺b﹏-m.
案例5 呈现背景问题：(新教材《数学》第二册(上)P130，例2)直线y=x-2与y2=2x相交于A、B两点，求证：OA⊥OB.
教师引导问题分析：易得直线与x轴的交点为(2，0)，抛物线的焦点为(12，0)，所以直线y=x-2是通过(2，0)的一条直线.这样，该例题其实是下面命题的一个特例.
已知抛物线y2=2px，p表示焦点到准线的距离，过点(2p,0)的直线与抛物线交于A、B两点.求证：OA⊥OB.
容易证明这个命题的正确性，并且它的逆命题也是正确的.在发现这个特征的基础上，如何将该命题改造为一道存在型探索性问题.
师生合作问题设计：已知抛物线C的顶点为原点，问在抛物线C所在的平面内是否存在定点M，使得过M的直线与抛物线C交于A、B两点，且∠AOB为直角?
师生合作问题探求：设抛物线的方程为y2=2px(p>0),A(x1,y1),B(x2,y2)，则y12=2px1,y22=2px2.∵∠AOB=90°,∴OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0.∴y12y22=2px1?2px2=4p2x1x2=-4p2y1y2,∴y1y2=-4p2.
∵y22-y12=(y1+y2)(y2-y1)=2p(x2-x1)，若x1≠x2，则y2-y1x2-x1=2py1+y2,∴直线AB的方程为y-y1=2py1+y2(x-x1)=2py1+y2?(x-y122p).∴y=2py1+y2x-y12y1+y2+y1=2py1+y2x+y1y2y1+y2=2py1+y2(x-2p),∴直线AB过定点(2p,0).若x1=x2,则y1=-y2.∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0.∴x12-y12=0,x12-2px1=0,∴x1=2p.故直线AB过定点(2p，0)，所以存在这样的定点M使得命题成立.
教师引导问题延拓：从问题的特点去思考，还可以设计如下的存在型探索性问题.
已知抛物线y2=2px(p>0)，过点(2p，0)的直线与抛物线交于A、B两点.问三角形AOB的面积是否存在最小值?若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.
解：设直线的方程my=x-2p，其中m=1k.由my=x-2p
y2=2px得my=y22p-2p,所以y2-2pmy-4p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=2p?m2+4,所以S△AOB=12?2p|y1-y2|=2p2
?m2+4.当m=0时，即AB垂直于x轴时，S┆玬in=4p2.
以上仅列举了五个案例，数学课本中相关的好题还有不少.对其进行挖掘、加工、引申和改造，就会得到一些综合性强、能力要求高、符合创新精神的新命题.这样不仅能激发学生的学习兴趣，夯实学生的认知结构，对学生思维水平、应用知识解决问题的能力的提高也会起到事半功倍的作用，从而最终提高学生的创新能力.
参考文献
［1］王立军.新教材教学中探究式教学的探索与实践.数学通讯，2004(1).
