弹簧类连接体问题赏析
吴梦雷
轻弹簧是一种很常见的物理模型，它不计自身质量，能产生沿轴向的拉升形变或压缩形变，生成的弹力方向一定沿着轴线方向，且两端弹力的大小相等，方向相反.在分析涉及轻弹簧的连接体问题时，轻弹簧本身往往不是重点，关键是要把与之相连的物体的受力情况和运动情况分析清楚，然后结合相关物理规律进行求解.下面我们就结合一些典型例题，对此类问题做一个归纳.
一、与轻弹簧有关的瞬时性问题
例1 如图1所示，吊篮P悬挂在天花板下面，与吊篮P质量相等的物体Q被固定在吊篮中的轻弹簧托住，当悬挂吊篮的细绳烧断的瞬间，吊篮P和物体Q的加速度大小是
（）
A.ap =aQ=g
B.ap=2g，aQ=g
C.aP =g，aQ=2g D.ap=2g，aQ=0
解析 细绳烧断的瞬间，吊篮P在竖直方向受自身重力的作用和弹簧弹力的作用，而在细绳烧断的瞬间弹簧的弹力并没有变化，仍然等于物体Q的重力，所以ap=对物体Q的合力在这一瞬间仍为零，故aQ=0，答案是D.
点拨：分析此类问题，一是要注意对物体进行准确的受力分析，二要注意弹簧弹力不能发生突变.
例2 水平面上静止放置一个质量为M的木箱，箱顶部和底部用细线分别拴住质量均为m的两个小球，两球间有一根处于拉伸状态的轻弹簧，使两根细线均处于拉紧状态，如图2所示.现在突然剪断下端的细线，则从剪断细线开始到弹簧恢复原长以前，箱对地面的压力变化情况，下列判断正确的是
（）
A.刚剪断细线瞬间，压力突然变大，以后箱对地面压力逐渐减小
B.刚剪断细线瞬间，压力突然变大，以后箱对地面压力逐渐增大
C.刚剪断细线瞬间，压力突然变小，以后箱对地面压力逐渐减小
D.刚剪断细线瞬间，压力突然变小，以后箱对地面压力逐渐增大
解析 刚剪断细线的瞬间，弹簧来不及形变，弹簧弹力大小暂时不变，下面的小球因断线而产生向上的加速度，地面对木箱的支持力会适应这种变化而给木箱、两球及弹簧组成的整体提供竖直向上的加速度，发生超重现象，故木箱对地面的压力会突然变大，随后在弹簧伸长量减小的过程中，向上的加速度会减小，所以木箱对地面的压力也会减小，答案为A.
点拨：此问题最好用系统的牛顿第二定律ΕFy=m1a1y+m2a2理解，在竖直方向上，系统应满足N-Mg-2mg=ma，式中N指系统所受的支持力，即地面给木箱的支持力，等号左侧为系统在竖直方向受到的合力，等号右边是下面小球的质量与其加速度的乘积，a减小，故N也减小.
二、与轻弹簧有关的临界问题
例3 一根劲度系数为k，质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m的物体，有一水平板将物体托住，并使弹簧处于自然长度，如图3所示.现让木板由静止开始以加速度a（a
mg-kx-N=ma，得N=mg-kx-ma
当N=0时，物体与平板分离，所以此时
点拨：分析清楚运动过程后，先列出普适性方程，再结合定性分析找到特殊情况即可，此外本题还应注意动力学方程和运动学的方程的联合运用.
例4 如图4，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都可以不计，盘内放一个物体P处于静止状态.P的质量为12kg，弹簧的劲度系数k=800N/m.现给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速运动.已知在前0.2s内F是变化的，在0.2s以后，F是恒力，则F的最大值是多少？
解析 本题的关键在于如何理解“0.2s前F是变力，0.2s后F是恒力”，搞清楚0.2s前物体受力和0.2s以后受力属于两个不同的阶段.
以物体P为研究对象，它在静止时受重力G、秤盘给的支持力Ⅳ，因为物体静止，所以N-G=0①
N=kxo②
设物体向上匀加速运动加速度为a，此时物体P受力如图5所示，受重力G，拉力F和支持力N'.
根据牛顿第二定律，有
F+N'-G=ma ③
当0.2s后物体受拉力F为恒力，显然是因为P与盘脱离，弹簧无形变，设0～0.2s内物体的位移为x0，又因为物体由静止开始运动，有④
将①②式中解得的x0=0.15m代人④，解得a=7.5m/S?
F的最小值由③可以看出，F最小即为N'最大，即初始时刻N'=N=kxo
代人③得Fmin=ma+mg-kxo，解得Fmin=ma=90N
F最大值即N'=0时，Fmin=ma+mg=210N
点拨：本题的关键要能认识到0.2s后物体和秤盘分开，继续以同样的加速度做匀加速运动，而在分离前虽然拉力和弹簧弹力的大小在变化，但物体的合外力的大小是不变的，这样才能全过程做匀加速直线运动.
三、与轻弹簧有关的斜面问题
例5 如图6，在倾角为θ的光滑斜面上，有两个用轻质弹簧相连接的物体A、B.它们的质量分别为mA、mB，弹簧的劲度系数为k，C为一固定挡板.系统处于静止状态.现开始用一恒力F沿斜面方向拉物体A，使之沿斜面向上运动，若重力加速度为g，求：
（1）物体B刚离开C时，物体A的加速度a：
（2）从开始到物体B刚要离开C时，物体A的位移d.
解析 （1）系统静止时，弹簧处于压缩状态，分析A物体受力可知F1=mAgsinθ，F1为此时弹簧弹力，设此时弹簧压缩量为x1
在恒力作用下，A向上加速运动，弹簧由压缩状态逐渐变为伸长状态.当B刚要离开C时，弹簧的伸长量为x2，分析B的受力有
设此时A的加速度为a，由牛顿第二定律有
（2）4与弹簧是连在一起的，弹簧长度的形变量即A上移的位移，故有d=x1+X2，
点拨：灵活选取研究对象，用隔离的方法逐一考虑，是连接体问题最常用的解法.
例6 如图7，在小车的倾角为30°的光滑斜面上，用劲度系数k=500N/m的弹簧连接一个质量为m=1kg的物体，g=10m/s?.
（1）当小车以的加速度运动时，m与斜面保持相对静止，求弹簧伸长的长度.
（2）若使物体m对斜面无压力，小车的加速度至少多大？
（3）若使弹簧保持原长，小车的加速度大小、方向如何？
解析 （1）对小滑块受力分析，受重力、支持力和拉力，如图8所示，加速度水平向右，故合力水平向右，将各个力和加速度都沿斜面方向和垂直斜面方向正交分解，由牛顿第二定律，得到
F-mgsin30°=macos30°
解得F=mgsin30°+macos30°=6.5N
根据胡克定律，有F= kx，代人数据得到x=0.013m
（2）小滑块对斜面体没有压力，则斜面体对小滑块也没有支持力，小滑块受到重力和拉力，物体的加速度水平向右，故合力水平向右，运用平行四边形定则，如图9所示.
（3）弹簧保持原长，弹力为零，小滑块受到重力和支持力，物体沿水平方向运动，合力水平向左，加速度水平向左，运用平行四边形定则，如图10所示。
轻弹簧是一种很常见的物理模型，它不计自身质量，能产生沿轴向的拉升形变或压缩形变，生成的弹力方向一定沿着轴线方向，且两端弹力的大小相等，方向相反.在分析涉及轻弹簧的连接体问题时，轻弹簧本身往往不是重点，关键是要把与之相连的物体的受力情况和运动情况分析清楚，然后结合相关物理规律进行求解.下面我们就结合一些典型例题，对此类问题做一个归纳.
一、与轻弹簧有关的瞬时性问题
例1 如图1所示，吊篮P悬挂在天花板下面，与吊篮P质量相等的物体Q被固定在吊篮中的轻弹簧托住，当悬挂吊篮的细绳烧断的瞬间，吊篮P和物体Q的加速度大小是
（）
A.ap =aQ=g
B.ap=2g，aQ=g
C.aP =g，aQ=2g D.ap=2g，aQ=0
解析 细绳烧断的瞬间，吊篮P在竖直方向受自身重力的作用和弹簧弹力的作用，而在细绳烧断的瞬间弹簧的弹力并没有变化，仍然等于物体Q的重力，所以ap=对物体Q的合力在这一瞬间仍为零，故aQ=0，答案是D.
点拨：分析此类问题，一是要注意对物体进行准确的受力分析，二要注意弹簧弹力不能发生突变.
例2 水平面上静止放置一个质量为M的木箱，箱顶部和底部用细线分别拴住质量均为m的两个小球，两球间有一根处于拉伸状态的轻弹簧，使两根细线均处于拉紧状态，如图2所示.现在突然剪断下端的细线，则从剪断细线开始到弹簧恢复原长以前，箱对地面的压力变化情况，下列判断正确的是
（）
A.刚剪断细线瞬间，压力突然变大，以后箱对地面压力逐渐减小
B.刚剪断细线瞬间，压力突然变大，以后箱对地面压力逐渐增大
C.刚剪断细线瞬间，压力突然变小，以后箱对地面压力逐渐减小
D.刚剪断细线瞬间，压力突然变小，以后箱对地面压力逐渐增大
解析 刚剪断细线的瞬间，弹簧来不及形变，弹簧弹力大小暂时不变，下面的小球因断线而产生向上的加速度，地面对木箱的支持力会适应这种变化而给木箱、两球及弹簧组成的整体提供竖直向上的加速度，发生超重现象，故木箱对地面的压力会突然变大，随后在弹簧伸长量减小的过程中，向上的加速度会减小，所以木箱对地面的压力也会减小，答案为A.
点拨：此问题最好用系统的牛顿第二定律ΕFy=m1a1y+m2a2理解，在竖直方向上，系统应满足N-Mg-2mg=ma，式中N指系统所受的支持力，即地面给木箱的支持力，等号左侧为系统在竖直方向受到的合力，等号右边是下面小球的质量与其加速度的乘积，a减小，故N也减小.
二、与轻弹簧有关的临界问题
例3 一根劲度系数为k，质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m的物体，有一水平板将物体托住，并使弹簧处于自然长度，如图3所示.现让木板由静止开始以加速度a（a
mg-kx-N=ma，得N=mg-kx-ma
当N=0时，物体与平板分离，所以此时
点拨：分析清楚运动过程后，先列出普适性方程，再结合定性分析找到特殊情况即可，此外本题还应注意动力学方程和运动学的方程的联合运用.
例4 如图4，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都可以不计，盘内放一个物体P处于静止状态.P的质量为12kg，弹簧的劲度系数k=800N/m.现给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速运动.已知在前0.2s内F是变化的，在0.2s以后，F是恒力，则F的最大值是多少？
解析 本题的关键在于如何理解“0.2s前F是变力，0.2s后F是恒力”，搞清楚0.2s前物体受力和0.2s以后受力属于两个不同的阶段.
以物体P为研究对象，它在静止时受重力G、秤盘给的支持力Ⅳ，因为物体静止，所以N-G=0①
N=kxo②
设物体向上匀加速运动加速度为a，此时物体P受力如图5所示，受重力G，拉力F和支持力N'.
根据牛顿第二定律，有
F+N'-G=ma ③
当0.2s后物体受拉力F为恒力，显然是因为P与盘脱离，弹簧无形变，设0～0.2s内物体的位移为x0，又因为物体由静止开始运动，有④
将①②式中解得的x0=0.15m代人④，解得a=7.5m/S?
F的最小值由③可以看出，F最小即为N'最大，即初始时刻N'=N=kxo
代人③得Fmin=ma+mg-kxo，解得Fmin=ma=90N
F最大值即N'=0时，Fmin=ma+mg=210N
点拨：本题的关键要能认识到0.2s后物体和秤盘分开，继续以同样的加速度做匀加速运动，而在分离前虽然拉力和弹簧弹力的大小在变化，但物体的合外力的大小是不变的，这样才能全过程做匀加速直线运动.
三、与轻弹簧有关的斜面问题
例5 如图6，在倾角为θ的光滑斜面上，有两个用轻质弹簧相连接的物体A、B.它们的质量分别为mA、mB，弹簧的劲度系数为k，C为一固定挡板.系统处于静止状态.现开始用一恒力F沿斜面方向拉物体A，使之沿斜面向上运动，若重力加速度为g，求：
（1）物体B刚离开C时，物体A的加速度a：
（2）从开始到物体B刚要离开C时，物体A的位移d.
解析 （1）系统静止时，弹簧处于压缩状态，分析A物体受力可知F1=mAgsinθ，F1为此时弹簧弹力，设此时弹簧压缩量为x1
在恒力作用下，A向上加速运动，弹簧由压缩状态逐渐变为伸长状态.当B刚要离开C时，弹簧的伸长量为x2，分析B的受力有
设此时A的加速度为a，由牛顿第二定律有
（2）4与弹簧是连在一起的，弹簧长度的形变量即A上移的位移，故有d=x1+X2，
点拨：灵活选取研究对象，用隔离的方法逐一考虑，是连接体问题最常用的解法.
例6 如图7，在小车的倾角为30°的光滑斜面上，用劲度系数k=500N/m的弹簧连接一个质量为m=1kg的物体，g=10m/s?.
（1）当小车以的加速度运动时，m与斜面保持相对静止，求弹簧伸长的长度.
（2）若使物体m对斜面无压力，小车的加速度至少多大？
（3）若使弹簧保持原长，小车的加速度大小、方向如何？
解析 （1）对小滑块受力分析，受重力、支持力和拉力，如图8所示，加速度水平向右，故合力水平向右，将各个力和加速度都沿斜面方向和垂直斜面方向正交分解，由牛顿第二定律，得到
F-mgsin30°=macos30°
解得F=mgsin30°+macos30°=6.5N
根据胡克定律，有F= kx，代人数据得到x=0.013m
（2）小滑块对斜面体没有压力，则斜面体对小滑块也没有支持力，小滑块受到重力和拉力，物体的加速度水平向右，故合力水平向右，运用平行四边形定则，如图9所示.
（3）弹簧保持原长，弹力为零，小滑块受到重力和支持力，物体沿水平方向运动，合力水平向左，加速度水平向左，运用平行四边形定则，如图10所示。
