解椭圆问题的数学思想
张同舟
山东省枣庄市第九中学 (277100)
数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁.解决椭圆问题经常用到各种基本数学思想，掌握这些数学思想有利于提高学生分析问题和解决问题的能力.下面介绍数学思想在解椭圆问题中的应用，供教学时参考.
一、方程思想
椭圆问题，大部分题目都以二元二次方程形式给出，因此，根据题目中的其它数量关系再列出方程与原方程联立，并运用方程(组)的有关性质求解，从而简化解题过程，减少运算量.
例1 如图1所示，直线l的方程为x=-p2，其中p>0.椭圆的中心为2+p2,0，焦点在x轴上，半长轴长为2，半短轴长为1，它的一个顶点为Ap2,0.问p在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线l的距离.
分析：根据题意，满足条件的四个点既在椭圆上，又要在抛物线y2=2px上，于是考虑将抛物线与椭圆方程联立组成方程组，通过研究方程组的性质求得p的范围.
解：满足题意的四个点在椭圆(x-2-p2)24+y2=1，又在抛物线y2=2px上，故符合题意的四点的充要条件是方程组(x-2-p2)24+y2=1 ①
y2=2px ②有四组不同的实数解.从①，②中消去y，得x2+(7p-4)x+p24+2p=0③，所以原方程组有四组不同的实数解，当且仅当方程③有两个不等的正根.而这又等价于△=(7p-4)2-4(p24+2p)>0，
p24+2p>0，
7p-4<0.在p>0的条件下，解此不等式组，得0
二、函数思想
有些椭圆问题，可以先转化成函数问题，然后利用函数的单调性、有界性等性质求解.
例2 已知椭圆x2a2+y2b2=1与x轴、y轴的正半轴分别相交于点A、B，当点P在第一象限内并在椭圆上变动时，求四边形OAPB的面积S的最大值.
分析：设P点坐标为(x,baa2-x2)，四边形OAPB的面积S=△OAP的面积+△OPB的面积=12b(b2-x2+x),作代换x=a玞osθ，利用三角函数的有界性可求S的最值.
解：设P(x,baa2-x2)，则S=S△OAP+S△OPB=12a?baa2-x2+12bx=12b?(a2-x2+x).因为0≤x≤a,所以设x=a玞osθ,θ∈［0,π2］，S=12ab(玸inθ+玞osθ)=22?ab玸in(θ+π4).当玸in(θ+π4)=1时，S有最大值22ab.
评注：在解圆锥曲线中的最值或参数的取值范围问题时，通常转化为函数问题，结合具体的函数性质求解，这样可以使问题化难为易，化繁为简.如果函数解析式中含有参数，一般要根据定义域和参数的特点分类讨论.
三、数形结合思想
解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中要善于将数形结合的思想方法用于对椭圆的性质和相互关系的研究中.
例3 已知椭圆x225+y29=1，点A(4，0)是它的右焦点，B(2，2)是椭圆内一点，M是椭圆上一动点，求|MA|+|MB|的最大值和最小值.
分析：左焦点A′(-4，0)，由椭圆定义知﹟MA|+|MA′|=10,而﹟MB|、獆MA′|、|AB′|在同一三角形中，利用三角形三边之间的关系求最值.
解：椭圆左焦点A′(-4,0)，由椭圆定义可得|MA|+|MA′|=10.如图3-1，﹟MA|+﹟MB|=|MA|+﹟MA′|+|MB|-|MA′|=10+|MB|-|MA′|≤10+|A′B|.当点M在BA′的延长线与椭圆的交点处时，|MA|+﹟MB|有最大值10+|A′B|=10+(2+4)2+(2-0)2=10+210.|MA|+﹟MB|=|MA|+|MA′|-|MA′|+|MB|=10-(|MA′|-|MB|)≥10-|A′B|.即当点M在A′B的延长线与椭圆的交点处时，|MA|+﹟MB|有最小值，10-|A′B|=10-210.
评注：有些椭圆问题，如果用代数方法求解比较复杂，可以考虑用几何知识求解，其中“三角形两边之和大于第三边”是求最值常用的定理.
四、分类讨论思想
分类讨论思想实际上就是一种逻辑划分.在解决圆锥曲线问题时，按照某一确定的标准在比较的基础上，将某一对象划分为若干既有联系又有区别的部分，然后分别解决，从而达到解决问题的目的.
例4 设F1、F2是椭圆x29+y24=1的两个焦点，P为椭圆上一点，若P、F1、F2是一个直角三角形的顶点，且|PF1|>|PF2|，求|PF1||PF2|的值.
分析：由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6，再由直角三角形中边的关系可求出|PF1|、|PF2|的值，从而求出|PF1||PF2|的值.由|PF1|>|PF2|，可知点P在右半个椭圆上，因直角顶点未确定，故需讨论.
解：由椭圆方程可得a=3,b=2，所以c=32-22=5.所以F2(5,0)，由于|PF1|>﹟PF2|，所以F1不是直角顶点.
(1)若P为直角顶点，则PF1⊥PF2，于是﹟PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(25)2=20 ①又根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=6 ②，由①、②得|PF1|=4,|PF2|=2,所以|PF1||PF2|=2.
(2)若F2为直角顶点，则x轴⊥PF2，由此得P(5,±43)，所以|PF2|=43，则|PF1|=6-|PF2|=143，所以|PF1||PF2|=72.
综上所述，得|PF1||PF2|的值为2或72.
评注：正确的进行讨论的前提是正确分类，分类要符合互斥、无漏、最简的原则，然后进行全面恰当的分情况讨论.
五、化归与转化思想
转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法.它的原则就是将不熟悉和难解的问题转化为熟悉、易解或已经解决的问题，将复杂问题转化为简单问题.
例5 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴端点为A、B，若椭圆C上存在点Q，使∠AQB=120°，求椭圆C的离心率e的取值范围.
分析：由题意椭圆上存在点Q(x,y)，使∠AQB=120°，利用以上条件可用a、b、c表示x,y，再利用不等式-a≤x≤a,-b≤y≤b得到含a、b、c的不等式，就可求出离心率e的取值范围.
解：由题意得A(-a,0),B(a,0),设Q(x,y).由椭圆的对称性，不妨设Q点在x轴上方，即y>0.因为玹an∠AQB=玹an120°=-3,猭〢Q=yx+a,k〣Q=yx-a,由两直线夹角公式得yx-a-yx+a1+yx-a?yx+a=-3,所以3(x2+y2-a2)=2ay ①，又Q在椭圆C上，所以x2a2+y2b2=1 ②，由①②消去x得3(b2-a2)y2+2ab2y=0,y≠0,所以y=2ab23(a2-b2)=2ab23c2.又y≤b，所以2ab23c2≤b,所以2ab3c2≤1，4a2b2≤3c4,4a2(a2-c2)≤3c4,两边同除以c4,得3e4+4e2-4≥0，解得e2≥23,所以63≤e<1.
评注：数学大师波利亚强调：“不断地变换你的问题”.解题过程就是合理地“转化”问题的过程.
数学思想是数学的灵魂，因此，加强数学思想的学习，对培养学生的数学能力和优化学生的素质都有帮助.
山东省枣庄市第九中学 (277100)
数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁.解决椭圆问题经常用到各种基本数学思想，掌握这些数学思想有利于提高学生分析问题和解决问题的能力.下面介绍数学思想在解椭圆问题中的应用，供教学时参考.
一、方程思想
椭圆问题，大部分题目都以二元二次方程形式给出，因此，根据题目中的其它数量关系再列出方程与原方程联立，并运用方程(组)的有关性质求解，从而简化解题过程，减少运算量.
例1 如图1所示，直线l的方程为x=-p2，其中p>0.椭圆的中心为2+p2,0，焦点在x轴上，半长轴长为2，半短轴长为1，它的一个顶点为Ap2,0.问p在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线l的距离.
分析：根据题意，满足条件的四个点既在椭圆上，又要在抛物线y2=2px上，于是考虑将抛物线与椭圆方程联立组成方程组，通过研究方程组的性质求得p的范围.
解：满足题意的四个点在椭圆(x-2-p2)24+y2=1，又在抛物线y2=2px上，故符合题意的四点的充要条件是方程组(x-2-p2)24+y2=1 ①
y2=2px ②有四组不同的实数解.从①，②中消去y，得x2+(7p-4)x+p24+2p=0③，所以原方程组有四组不同的实数解，当且仅当方程③有两个不等的正根.而这又等价于△=(7p-4)2-4(p24+2p)>0，
p24+2p>0，
7p-4<0.在p>0的条件下，解此不等式组，得0
二、函数思想
有些椭圆问题，可以先转化成函数问题，然后利用函数的单调性、有界性等性质求解.
例2 已知椭圆x2a2+y2b2=1与x轴、y轴的正半轴分别相交于点A、B，当点P在第一象限内并在椭圆上变动时，求四边形OAPB的面积S的最大值.
分析：设P点坐标为(x,baa2-x2)，四边形OAPB的面积S=△OAP的面积+△OPB的面积=12b(b2-x2+x),作代换x=a玞osθ，利用三角函数的有界性可求S的最值.
解：设P(x,baa2-x2)，则S=S△OAP+S△OPB=12a?baa2-x2+12bx=12b?(a2-x2+x).因为0≤x≤a,所以设x=a玞osθ,θ∈［0,π2］，S=12ab(玸inθ+玞osθ)=22?ab玸in(θ+π4).当玸in(θ+π4)=1时，S有最大值22ab.
评注：在解圆锥曲线中的最值或参数的取值范围问题时，通常转化为函数问题，结合具体的函数性质求解，这样可以使问题化难为易，化繁为简.如果函数解析式中含有参数，一般要根据定义域和参数的特点分类讨论.
三、数形结合思想
解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中要善于将数形结合的思想方法用于对椭圆的性质和相互关系的研究中.
例3 已知椭圆x225+y29=1，点A(4，0)是它的右焦点，B(2，2)是椭圆内一点，M是椭圆上一动点，求|MA|+|MB|的最大值和最小值.
分析：左焦点A′(-4，0)，由椭圆定义知﹟MA|+|MA′|=10,而﹟MB|、獆MA′|、|AB′|在同一三角形中，利用三角形三边之间的关系求最值.
解：椭圆左焦点A′(-4,0)，由椭圆定义可得|MA|+|MA′|=10.如图3-1，﹟MA|+﹟MB|=|MA|+﹟MA′|+|MB|-|MA′|=10+|MB|-|MA′|≤10+|A′B|.当点M在BA′的延长线与椭圆的交点处时，|MA|+﹟MB|有最大值10+|A′B|=10+(2+4)2+(2-0)2=10+210.|MA|+﹟MB|=|MA|+|MA′|-|MA′|+|MB|=10-(|MA′|-|MB|)≥10-|A′B|.即当点M在A′B的延长线与椭圆的交点处时，|MA|+﹟MB|有最小值，10-|A′B|=10-210.
评注：有些椭圆问题，如果用代数方法求解比较复杂，可以考虑用几何知识求解，其中“三角形两边之和大于第三边”是求最值常用的定理.
四、分类讨论思想
分类讨论思想实际上就是一种逻辑划分.在解决圆锥曲线问题时，按照某一确定的标准在比较的基础上，将某一对象划分为若干既有联系又有区别的部分，然后分别解决，从而达到解决问题的目的.
例4 设F1、F2是椭圆x29+y24=1的两个焦点，P为椭圆上一点，若P、F1、F2是一个直角三角形的顶点，且|PF1|>|PF2|，求|PF1||PF2|的值.
分析：由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6，再由直角三角形中边的关系可求出|PF1|、|PF2|的值，从而求出|PF1||PF2|的值.由|PF1|>|PF2|，可知点P在右半个椭圆上，因直角顶点未确定，故需讨论.
解：由椭圆方程可得a=3,b=2，所以c=32-22=5.所以F2(5,0)，由于|PF1|>﹟PF2|，所以F1不是直角顶点.
(1)若P为直角顶点，则PF1⊥PF2，于是﹟PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(25)2=20 ①又根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=6 ②，由①、②得|PF1|=4,|PF2|=2,所以|PF1||PF2|=2.
(2)若F2为直角顶点，则x轴⊥PF2，由此得P(5,±43)，所以|PF2|=43，则|PF1|=6-|PF2|=143，所以|PF1||PF2|=72.
综上所述，得|PF1||PF2|的值为2或72.
评注：正确的进行讨论的前提是正确分类，分类要符合互斥、无漏、最简的原则，然后进行全面恰当的分情况讨论.
五、化归与转化思想
转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法.它的原则就是将不熟悉和难解的问题转化为熟悉、易解或已经解决的问题，将复杂问题转化为简单问题.
例5 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴端点为A、B，若椭圆C上存在点Q，使∠AQB=120°，求椭圆C的离心率e的取值范围.
分析：由题意椭圆上存在点Q(x,y)，使∠AQB=120°，利用以上条件可用a、b、c表示x,y，再利用不等式-a≤x≤a,-b≤y≤b得到含a、b、c的不等式，就可求出离心率e的取值范围.
解：由题意得A(-a,0),B(a,0),设Q(x,y).由椭圆的对称性，不妨设Q点在x轴上方，即y>0.因为玹an∠AQB=玹an120°=-3,猭〢Q=yx+a,k〣Q=yx-a,由两直线夹角公式得yx-a-yx+a1+yx-a?yx+a=-3,所以3(x2+y2-a2)=2ay ①，又Q在椭圆C上，所以x2a2+y2b2=1 ②，由①②消去x得3(b2-a2)y2+2ab2y=0,y≠0,所以y=2ab23(a2-b2)=2ab23c2.又y≤b，所以2ab23c2≤b,所以2ab3c2≤1，4a2b2≤3c4,4a2(a2-c2)≤3c4,两边同除以c4,得3e4+4e2-4≥0，解得e2≥23,所以63≤e<1.
评注：数学大师波利亚强调：“不断地变换你的问题”.解题过程就是合理地“转化”问题的过程.
数学思想是数学的灵魂，因此，加强数学思想的学习，对培养学生的数学能力和优化学生的素质都有帮助.
