圆锥曲线中的“相关弦”问题探究

苏立标
浙江省杭州师范大学附属中学 (310030)
数学教学离不开解题，但切不可就题论题，特别是高三的总复习阶段，通过大量题目的“讲练渗透”极易使学生产生“审美疲劳”、思维僵化.数学不应是“枯燥”、“单调”的代名词，数学教学在展示静态的、常态的思维的同时，更应该关注解题思维的动态过程.荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾说过：“数学教学方法的核心是学生的再创造”，数学教学不仅要让学生获得知识，更重要的是要让学生学会思考、再创造和拥有探究问题的能力.本文主要利用一道数学高考试题引导学生进行探究、剖析，培养学生的创新思维和探究能力.
一、问题的再现
(2008年湖南省高考数学试题)若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P(x，0)存在无穷多条“相关弦”，给定x0>2.
(1)证明：点P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；(2)略.
证明：(1)设AB为点P(x0,0)的任意一条“相关弦”，且设点A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1≠x2)，则y12=4x1,y22=4x2，两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)，因为x1≠x2，所以y1+y2≠0，设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M(x璵,y璵)，则k=y1-y2x1-x2=4y1+y2=2y璵,从而AB的垂直平分线l的方程为y-y璵=-y璵2(x-x璵).又点P(x0,0)在直线l上，所以-y璵=-y璵2(x-x璵),而y璵≠0，于是x璵=x0-2.故点P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.
点评：这是一道以圆锥曲线的中点弦为载体的高考试题，背景新颖，不落俗套，令人耳目一新；内涵丰富，值得探究，是考查学生在新情境下分析问题和解决问题能力的好题目.
二、问题一般化
对于抛物线y2=2px(p>0)，若弦AB是点P(x0,0)的一条“相关弦”，则当x0>2时，点P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同，都是x0-p.
证明：对于抛物线y2=2px(p>0)，设AB为点P(x0,0)的任意一条“相关弦”，且设点A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1≠x2)，弦AB的中点为M(x璵,y璵),则直线AB的斜率k〢B=y1-y2y212p-y222p=2py1+y2=py璵，所以AB的垂直平分线l的方程为y-y璵=-y璵p(x-x璵)，又直线l过点P(x0,0)，从而x璵=x0-p.
三、问题的引申与拓展
上述问题中所揭示抛物线的性质已经一清二楚了，那么很自然的问题是，在椭圆与双曲线中是否也有类似的结论呢?所以我们可以再度引导学生对问题进行类比探究.
引申1 对于椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，若弦AB是点P(x0,0)的一条“相关弦”，则点P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同，都是x0e2(e为离心率).
证明：设AB为点P(x0,0)的任意一条“相关弦”，且设点A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1≠x2)，所以x21a2+y21b2=1,x22a2+y22b2=1,两式相减得(x1-x2)(x1+x2)a2+(y1-y2)(y1+y2)b2=0,设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M(x璵,y璵)，则k=-b2a2×x璵y璵，从而AB的垂直平分线l的方程为y-y璵=a2y璵b2x璵(x-x璵),又点P(x0,0)在直线l上，所以-y璵=a2y璵b2x璵(x0-x璵)輝璵=x0e2.
引申2 对于双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，若弦AB是点P(x0,0)的一条“相关弦”，则点P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同，都是x0e2(e为离心率).
高考试题链接 (1992年高考数学理科试题)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A、B是椭圆上的两点，线段AB垂直平分线与x轴交于点P(x0,0)，证明：-a2-b2a引申3 对于椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，若弦AB是点P(x0,0)的一条“相关弦”，AB的中点为M，则k㎡M猭㎝P=1-e2(e为离心率).
证明：设线段AB中点为M(x璵,y璵)，由引申1可知x璵=x0e2，所以k㎝P=y璵-0x璵-x0=y璵-0x璵-e2x璵=y璵(1-e2)x璵=11-e2×y璵x璵=11-e2×k㎡M，得证.
由一道看似平凡的高考试题引导学生进行探究性学习，逐本求源，往往能激发学生探究的热情，可以通过变换视角、延伸拓展等手段，让学生在探究中感悟到高考题是以不变之本，应万变之题，克服学习上的思维定势，拓宽思路，培养学生数学思想的灵活性、严密性和深刻性.