共线向量定理的一个推论的应用
李慧华
浙江省海盐县元济高级中学 (314300)
在人教版高中数学新教材第二册(下B)中介绍了空间向量的共线定理：
对空间任意两个向量a,b(b摺0)，则a哂隻吖蚕叩某湟条件是存在唯一实数λ，使得a=λ b.
由上述定理易证它的一个推论：设㎡A撸㎡B呤瞧矫婺诓还蚕叩牧礁鱿蛄浚则点A，B，P三点共线的充要条件是存在唯一的一对实数x,y，使得㎡P=x ㎡A+y ㎡B (x+y=1).
这个推论的应用主要集中在两类题型中：一是直接用于证明三点共线问题，二是求比值问题.如果我们能够用好这个推论，则可以在这两类题中省去很多添辅助线和证明过程.
例1 在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，点F在BD上且满足BFFD=12,求证：A，F，E三点共线.
证明：∵〣D=〣A+〣C,又∵〣D=3〣F,〣C=2〣E,∴3〣F=〣A+2〣E撸即〣F=13〣A擢+23〣E.∵13+23=1,∴A，F，E三点共线.
例2 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线.
分析：我们已经知道正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线A1C被平面BDC1和平面AB1D1三等分，因此A1OOC=21，我们可以利用这个结论来证明C1，O，M三点共线.
略证：∵〢1O=23〢1C,
∴〢O=〢A1+〢1O=〢A1+23〢1C=〢A1+23(〢1A+〢C)=13〢A1+23〢C.∵〢C=2〢M,〢A1=〢C1+〤1A1=〢C1-〢C=〢C1-2〢M,∴〢O=13(〢C1-2〢M)+43〢M=13〢C1擢+23〢M.∵13+23=1,∴C1，O，M三点共线.
例3 在△ABC中，点D，E分别在AB，BC上，且ADDB=21,BEEC=32,CD，AE交于点F，求AFFE及CFFD的值.
解：∵〢E=〢B+〣E=〢B+35〣C,①.又∵〢E=〢C+〤E=〢C-25〣C,②.①×2+②×3得5〢E=2〢B+3〢C,即〢E=25〢B+35〢C.设〢F=λ〢E,又〢B=32〢D撸代入上式得1λ〢F=25〢B+35〢C=25?32〢D+35〢C=35〢D+35〢C撸即〢F=3λ5〢D+3λ5〢C.由C，F，D三点共线，得3λ5+3λ5=1,∴λ=56.∴AFFE=51.同理，〤D=13〤A+23〤B.设〤F=│酞〤D,又〤B=52〤E撸代入上式得1μ〤F=13〤A+23〤B=13〤A+23?52〤E=13〤A+53〤E,即〤F=μ3〤A+5μ3〤E.由A，F，E三点共线，得μ3+5μ3=1,∴μ=12.∴CFED=1.
说明：以上的例子都是巧妙地利用了共线向量定理的推论进行解题的.虽然这些问题都可以用几何方法解决，但利用向量方法可以避免添加辅助线的工作，从而使问题的解决思路变得统一、顺畅.
浙江省海盐县元济高级中学 (314300)
在人教版高中数学新教材第二册(下B)中介绍了空间向量的共线定理：
对空间任意两个向量a,b(b摺0)，则a哂隻吖蚕叩某湟条件是存在唯一实数λ，使得a=λ b.
由上述定理易证它的一个推论：设㎡A撸㎡B呤瞧矫婺诓还蚕叩牧礁鱿蛄浚则点A，B，P三点共线的充要条件是存在唯一的一对实数x,y，使得㎡P=x ㎡A+y ㎡B (x+y=1).
这个推论的应用主要集中在两类题型中：一是直接用于证明三点共线问题，二是求比值问题.如果我们能够用好这个推论，则可以在这两类题中省去很多添辅助线和证明过程.
例1 在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，点F在BD上且满足BFFD=12,求证：A，F，E三点共线.
证明：∵〣D=〣A+〣C,又∵〣D=3〣F,〣C=2〣E,∴3〣F=〣A+2〣E撸即〣F=13〣A擢+23〣E.∵13+23=1,∴A，F，E三点共线.
例2 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线.
分析：我们已经知道正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线A1C被平面BDC1和平面AB1D1三等分，因此A1OOC=21，我们可以利用这个结论来证明C1，O，M三点共线.
略证：∵〢1O=23〢1C,
∴〢O=〢A1+〢1O=〢A1+23〢1C=〢A1+23(〢1A+〢C)=13〢A1+23〢C.∵〢C=2〢M,〢A1=〢C1+〤1A1=〢C1-〢C=〢C1-2〢M,∴〢O=13(〢C1-2〢M)+43〢M=13〢C1擢+23〢M.∵13+23=1,∴C1，O，M三点共线.
例3 在△ABC中，点D，E分别在AB，BC上，且ADDB=21,BEEC=32,CD，AE交于点F，求AFFE及CFFD的值.
解：∵〢E=〢B+〣E=〢B+35〣C,①.又∵〢E=〢C+〤E=〢C-25〣C,②.①×2+②×3得5〢E=2〢B+3〢C,即〢E=25〢B+35〢C.设〢F=λ〢E,又〢B=32〢D撸代入上式得1λ〢F=25〢B+35〢C=25?32〢D+35〢C=35〢D+35〢C撸即〢F=3λ5〢D+3λ5〢C.由C，F，D三点共线，得3λ5+3λ5=1,∴λ=56.∴AFFE=51.同理，〤D=13〤A+23〤B.设〤F=│酞〤D,又〤B=52〤E撸代入上式得1μ〤F=13〤A+23〤B=13〤A+23?52〤E=13〤A+53〤E,即〤F=μ3〤A+5μ3〤E.由A，F，E三点共线，得μ3+5μ3=1,∴μ=12.∴CFED=1.
说明：以上的例子都是巧妙地利用了共线向量定理的推论进行解题的.虽然这些问题都可以用几何方法解决，但利用向量方法可以避免添加辅助线的工作，从而使问题的解决思路变得统一、顺畅.
