一道题目的解法辩析与探讨

张祥玉
四川省泸县二中 (646106)
题目 已知函数f(x)=ax2+bx+c,a>b>c,f(1)=0.
(1)求证f(x)的图像与x轴有二不同交点；
(2)是否存在实数m，当f(m)=-a时，f(m+3)为正数.
为便于比较，先将原解答抄录于下.
解：(1)由f(1)=0得a+b+c=0，又a>b>c,∴a>0,c<0.∴△=b2-4ac>0，即ゝ(x)的图像与x轴有二不同交点；
(2)由a>0,f(m)=-a<0，设方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2，则x1=1,x2=ca，且x1>x2,∴若存在m，且ca∴|x1-x2|=|1-ca|,又b=-(a+c)∴-2c,∴ca<-12,
∴-21，故f(m+3)>0.即存在这样的m满足条件f(m)=-a成立时，f(m+3)为正数.
上述解答是利用了二次函数的图像，但忽视了a,b,c结成的关系，由于是用图像，故难入微，由于忽视了a,b,c结成的关系，故难深入.
另解：(1)由已知得a+b+c=0,
a>b>c,∴b=-(a+c)0,∴△=b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2>0，即f(x)的图像与x轴有二不同交点；
(2)a+b+c=0
a>b>c赼>-(a+c)>c赼>-(a+c)
-(a+c)>c2a>-c
a<-2c赼>-12c
a<-2c
-12c0,c<0,-2由f(m)=-a得am2+bm+c=-a，即am2-(a+c)m+c+a=0，就是m2-(1+ca)m+(1+ca)=0,化为1+ca=m2m-1,在这方程中由△≥0，并结合(*)可得-1<1+ca≤0，∴-5+120.即存在这样的m满足条件f(m)=-a成立时，f(m+3)为正数.
上述另解用方程函数知识，虽然繁一些，但严密无误，并可将问题一般化.
一般地f(m+p)=a(m+p)2+b(m+p)+c=a［(m+p)2-(1+ca)(m+p)+ca］=a［(m+p)2-m2m-1(m+p)+m2m-1-1］=a?3m2+2m-8m-1=a［p(m-1-1m-1)+p2-1］，即f(m+p)=a［p(m-1-1m-1)+p2-1］(-5+320时，f(m+p)为增函数，当p<0时，f(m+p)为减函数，∴f(m+p)的值域是：当p>0时为((p2-5p-1)a,(p2+5p-1)a);当p<0时为((p2+5p-1)a,(p2-5p-1)a).由p2+5p-1≤0解得03-52，或p<5-32时，f(m+p)>0.即这时存在这样的m满足条件f(m)=-a成立时，f(m+p)为正数.但当00就不成立.