对有理数乘法法则教学处理的思考

    李娟

    [摘? 要] “数轴版”与“推理版”这两种有理数乘法法则的教学处理方式各有特征，结合这两种教学处理方式进行适当的改良，能使学习难度大大降低，并有效增强知识间的联系，以帮助学生构建完整的知识体系.

    [关键词] 有理数乘法法则;教学处理;数轴版;推理版;问题情境

    有学生在学习有理数的乘法运算时得到过（-3）×（-4）=9，执教教师当时对这一结果直接给予否定. 笔者课后询问了该生，他当时的思考如下：

    找到数轴上的-3这个数，以3为单位并向数轴负方向的反方向数4个单位长度，得到+9.

    从学生的思路不难看出，他已经懂得了借助数轴来解释有理数乘法法则，不过他在利用数轴判断时忽略了以原点为起点这一条件. 事实上，这样的错误并不是唯一. 比如，从数轴原点出发反方向移动4次，每次移动3格恰好到达-12的位置，于是（-3）×（-4）=-12. 很多教师会将这些错误产生的原因归结为学生粗心，不过笔者以为，教师对教材处理的认识也存在问题. 解释乘法运算为什么应该从0的位置开始，是教师必须让学生弄明白的.

    有理数乘法法则的教学处理

    教学中处理有理数乘法法则，一般包括“匀速直线运动状况分析”和“从‘正数×正数出发的归纳推理”这两种方式，现行教材也分成“数轴版”与“推理版”这两个版本.

    1. “数轴版”教学处理方式

    “数轴版”的教学处理方式主要是借助数轴对“匀速直线运动状况”进行分析——从情境引出“直线变化”问题，引导学生借助数轴对运算过程与结果进行理解，并进行有理数乘法法则的归纳. 这是“数轴版”教学处理方式的主要特征.

    案例1？摇 情境导入：已知一只蜗牛在直线l上爬行，目前正好在直线l上的“0”处.

    （1）若蜗牛以2厘米/分的速度匀速向右爬行，则它3分钟后在哪个位置？

    （2）若蜗牛以2厘米/分的速度匀速向左爬行，则它3分钟后在哪个位置？

    往往规定向左为负、向右为正来区分方向，规定现在前为负、现在后为正来区分时间.

    ……

    （然后利用数轴引导学生将等式列出，并进行观察和思考，以填空的形式使学生对有理数乘法形成正确而深刻的理解，并归纳出有理数的乘法法则）

    2. “推理版”教学处理方式

    “推理版”教学处理方式主要是从“正数×正数”出发进行归纳与推理. 从“正数×正数”出发，借助一系列问题使学生在观察、对比、分析、讨论和归纳中获得有理数的乘法法则是其主要特征.

    案例2？摇 问题：与有理数加法同理，负数被引入之后，3×（-3），（-3）×3，（-3）×（-3）这样的乘法也会随之出现，那么该怎样进行运算呢？

    思考：对以下乘法算式进行观察并总结其中的规律.

    3×3=9，

    3×2=6，

    3×1=3，

    3×0=0.

    总结规律：算式的积因为后一乘数的每一次递减1而逐次递减3.

    若令这一规律在负数引入之后依然成立，则有3×（-3）=-9，3×（-2）=? ? ? ?，3×（-1）=? ? ? ?.

    ……

    （然后运用相同的方式对“负数×正数”进行思考和处理，并归纳出“正正得正、负正得负”的运算法则，引导学生思考并使其能够在结论的观察中获得“正数×负数”“负数×负数”时都具有以上总结出的规律，最终将有理数的乘法法则进行总结、归纳）

    但实际上，“数轴版”和“推理版”这两种教学处理方式在有理数乘法法则的教学处理上均存在一定的困惑：“数轴版”运用有理数知识建立模型并解决实际问题的过程显然比较直观和形象，但即便有理数的乘法法则产生的来龙去脉在这一教学处理中得以呈现，法则的应用也得到了很好的强调，学生也比较能接受，但也因为问题情境所涉及的因素过多而对学生的抽象思维能力提出了更高的要求，这对学生来说也是一种干扰. “推理版”着重关注推理的过程，这显然比较能激发学生的求知欲与积极性，推理能力自然得到一定的培养，不过其弊端也是显而易见的——这一过程必然要求学生具备较高的推理能力，知识的由来更加权威却又显得说服力不夠，因此，学生对有理数乘法法则的认识自然无法达到一定的深度.

    教学思考

    数学知识之间有着非常紧密的内在联系，且呈现出很强的系统性. 新知识的发生、形成与发展都有其根源可循. 教师在教学中若压缩知识的发生、形成与发展过程，则会使学生获得零散而孤立的知识. 就知识而教知识，只会令学生只知其然而不知其所以然. 纯粹的知识积累无法令学生的知识结构得以扩充与完善. 笔者对于现行教材中有理数乘法法则的教学处理方式进行了自我实践与思考，认为下面的教学处理方式是比较合理而有效的.

    1. “线性”教学

    “先定性，后定量. ”这一有理数乘法法则的实质决定了有理数乘法运算的顺序——确定结果的正负性之后对两数绝对值相乘的总值进行确定. 确定运动方向后再确定运动距离是“匀速直线运动状况分析”的教学处理方式. 因此，笔者以为，“数轴版”处理有理数乘法法则的方式实际上是相当确切的，但由于情境设计的规定与追求过多且严谨而影响了学习效果. 所以，笔者以为，将“数轴版”教学处理方式适当改进并形成“线性”处理方式显然更为妥帖. 比如：

    问题情境：直线l在东西方向上延伸，一只蜗牛在该直线上爬行.

    （1）若蜗牛向东爬行且每分钟前进2厘米，则它3分钟后离原来的位置有多远？在原来位置的哪个方向？

    （2）若蜗牛向东爬行且每分钟前进-2厘米，则它3分钟后离原来的位置有多远？在原来位置的哪个方向？

    （3）若蜗牛向东爬行且每分钟前进2厘米，则它3分钟前离原来的位置有多远？在原来位置的哪个方向？

    （4）若蜗牛向东爬行且每分钟前进-2厘米，则它3分钟前离原来的位置有多远？在原来位置的哪个方向？

    如果把“3分钟后”用“+3”来表示，那么你是否能够借助数轴将其运动过程表示出来？

    其他环节按照教材处理方式进行.

    如此设计明显大大降低了问题的复杂性，学生在区分过程中也不易混淆，前后知识的联系也在“正负数具有相反意义”这一性质中更加紧密，系统性这一学科特点也展露无遗. 一些烦琐的规定也在思维定式的积极影响下得以解决，严谨性或许降低，但学生在这样的学习与理解中显然更为直观而轻松.

    2. “约定”教学

    几个相同的数相加是乘法运算的实质，将乘法运算转化成加法运算是小学教师在乘法教学中惯常的做法，等学生达到一定的熟练程度之后，教师则会要求学生运用乘法口诀直接给出结果. 这种教学处理方式与初中乘法的教学处理方式显然不同，但实际上，有理数的乘法依然能够看成几个相同的数的加法运算，关键在于乘数为负数时应怎样进行乘法意义的转化与运算. 从这一角度来进行新的思考，我们完全可以把有理数乘法视作几个相同的数的加法运算，这能让学生在已有知识的基础上对新知进行同化并令原有知识结构得以扩充，学生的认知体系会变得更为完备与圆满. 笔者基于这一思考对有理数乘法法则教学进行了“约定”教学的尝试，效果明显，教学设计如下：

    （1）思考.

    ①乘法运算和加法运算之间是否存在一定的关系？对2×3进行解释应如何表述？

    ②你能根据乘法和加法的关系把式子（-2）×3转化为加法形式吗？

    ③你能根据乘法和加法的关系把式子2×（-3）转化为加法形式吗？

    教学约定：乘法运算中，若第二个乘数是负数，则将乘法运算视作若干个第一个乘数的减法运算. 比如2×（-3）=-2-2-2=-6.

    ④你能根据以上教学约定把式子（-2）×（-3）化为减法形式吗？

    （2）请结合乘法意义与教学约定填空.

    ①3×3=______;

    ②（-3）×3=_____;

    ③3×（-3）=_____;

    ④（-3）×（-3）=_____.

    （3）請观察以上式子并做出如下猜想.

    ①正数与正数相乘，积为_____数;

    ②负数与正数相乘，积为_____数;

    ③正数与负数相乘，积为_____数;

    ④负数与负数相乘，积为_____数.

    由此再引导学生归纳出有理数的乘法法则.

    如此设计不仅大大降低了学习难度，而且有效增强了知识间的联系. 突出增加负数的思考令学生很好地理解了乘法运算同小学学习的区别. 这一教学处理或许并不严谨，但不需要复杂对比与场景转换以及简单的学习背景，能令思维定式的积极因素充分发挥作用，能使整个知识体系得以连贯.