椭圆与三角形相关问题的归类解析

杨志芳
解析几何与三角是高中数学的重要内容，两者结合能体现两主干知识的内在联系和知识之间的综合应用，而在知识网络交汇处设计试题历来受命题者的青睐，在各级各类考试中频频出现，各省市和全国高考卷对此类问题也情有独钟.本文就以椭圆和三角形相关问题作一归类解析.
一、三角形边长问题
例1 设F1、F2为椭圆x29+y24=1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，求|PF1||PF2|的值.
分析：本题可以根据椭圆的定义求出两焦半径的长度，或利用椭圆的对称性求出点P的坐标.但本题并没有讲哪个是直角，故要分类讨论.具体解题过程不再赘述.
(1)若∠PF2F1为直角，则|PF1|=143,
|PF2|=43,∴|PF1||PF2|=72.
(2)若∠F1PF2为直角，得|PF1|=4,|PF2|=2，故|PF1||PF2|=2.
评注：这类题目往往考查椭圆的一些概念和性质，又不失考查学生的数学思想，经常以选择题填空题的形式出现.
二、椭圆离心率问题
例2 已知P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，O为椭圆中心，F1、F2是左右两焦点，在△F1PF2中，若∠F1PF2=90°，求椭圆离心率的取值范围.
解：以O为圆心，以c为半径作圆，此圆必定与椭圆有交点，而且交点P显然满足∠F1PF2=90°，所以c应满足b≤c评注：题中△F1PF2称为椭圆的“焦点三角形”，根据焦点三角形的特
征，解题的主要途径是：椭圆的两个定义(或焦半径公式)和正余弦定理(或勾股定理)，以及数形结合的思想.
若将此题变式为：以长轴的两个端点为三角形的两个顶点，角度再作一点变化即可变为下面题目(上海市高考题).
已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A、B是椭圆长轴的两个端点，如果椭圆上存在一点Q使得∠AQB=120°.求椭圆的离心率e的取
值范围.
三、坐标取值范围问题
例3 椭圆x24+y2=1的焦点为F1，F2，点P为椭圆上一动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P的横坐标的取值范围.
解法一：椭圆x24+y2=1的半焦距c=3
，以O为圆心，c为半径作圆x2+y2=3,解x2+y2=3
x24+y2=1得交点横坐标为±263.又同圆中同弧所对的角，顶点在圆内的角大于顶点在圆周上的角，大于顶点在圆外的角，故当P在椭圆和圆的交点间的上下两段椭圆弧上时，∠F1PF2为钝角，所以-263解法二：设椭圆上点P(2cosθ,sinθ)，则F1P=(2cosθ+3,sinθ),F2P=(2cosθ-3,sinθ),∵∠F1PF2为钝角，∴F1P摺F2P<0,∴4cos2θ-3+sin2θ<0,∴3cos2θ-2<0，于是，cosθ∈-63,63,∴2cosθ=x∈-263,263.
评注：与圆锥曲线有关的参数范围问题的讨论常用的方法有：①利用图形列
出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式求出参数的范围.②把所讨论的参数作为一个函数，另一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.
四、最值问题
例4 设椭圆E的中心为坐标原点O，焦点在x轴，离心率为33，过C(-1，0)的直线l交椭圆E于A、B两点，满足CA=2BC.求当△AOB面积达到最大值时直线l和椭圆E的方程.
解：设椭圆为2x2+3y2=t(t>0)，直线为my=x+1.
两方程联立， 消去x得，(2m2+3)y2-4my+2-t=0.∵CA=2BC撸∴y1=-2y2,而y1+y2=4m2m2+3，得y1=8m2m2+3,y2=-4m2m2+3,∴S△AOB=12|y1-y2|=6|m2m2+3|=62|m|+3|m|≤62.当且仅当m2=32时，即m=±62时，△AOB面积达到最大值，此时直线l的方程为x±62y+1=0.由m2=32及y1y2=2-t2m2+3,得t=10,∴椭圆的方程为2x2+3y2=10.
评注：这类问题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，往往以解答题形式出现，如2007年浙江省高考第20题.
五、证明问题
例5 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的内接△PAB和△PCD，边PA、PB、PC、PD交x轴分别为A1、B1、C1、D1四点，若PA1=PB1,PC1=PD1，问是否存在实数λ使得AB=
λCD?
分析：本题特征比较抽象，思路不易形成，运算繁杂.但可从以下两个方面去思考，一是以坐标轴上两点边线为底边的三角形为等腰三角形，两腰所在直线的斜率，其绝对值相等，符号相反，有了这一知识，再考察本例题，PA的斜率与PB的斜率是互为相反数，即kPA=-kPB，若PA的斜率k1，则PB的斜率为-k1，若PC的斜率为k2，则PD的斜率为-k2.二是计算A的坐标时利用根与系数的关系可使问题简化.
解：设P(x0,y0)，PA的斜率为k1，则lPA:y-y0=k1(x-x0),即y=k1x+y0-k1x0，与椭圆方程联立可解得A的坐标，即联立方程得(a2k21+b2)x2+(2a2k1y0-2a2k21x0)x+a2(y0-k1x0)2-a2b2=0(*)
由于直线与椭圆有两个交点，故xA+x0=2a2k21x0-2a2k1y0a2k21+b2,xA=2a2k21x0-2a2k1y0a2k21+b2-x0,∴xA=(a2k21-b2)x0-2a2k1y0a2k21+b2.代入直线方程可得yA=(b2-a2k21)y0-2b2k1x0a2k21+b2,计算B的坐标时，可以通过类比的思想，只要将A坐标中的k1换成-k1，即得到B的坐标，∴xB=(a2k2-b+2)x0+2a2k1y0a2k21+b2
，yB=(b2-a2k21)y0+2b2k1x0a2k21+b2,∴kAB=yA-yBxA-xB=-4b2k1x0-4a2k1y0=b2x0a2y0(与k1无关的常量).
同理又可以通过类比，只要将上述过程中的k1换成k2即可计算出CD所在的直线的斜率也为b2x0a2y0，所以AB摺蜟D撸故一定存在实数λ使得AB=λCD.
评注：解析几何给人的感觉是由于运算量大，设元技巧性强，通过多次运算，是否能得到最后结果，心中无底，致使很多学生“望而生畏”.但某些特定的时候，通过类比或代换可以减少运算量，达到简化解题之功效.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文