熟悉平面几何知识，实现由导迹法向待定系数法的转化
杨炼秋
平面解析几何中求曲线的方程不外乎两种方法，一是不知曲线类型的用设动点坐标列含动点坐标的方程，即导迹法，就是设动点M(x,y)，列出方程f(x,y)=0，这与初中数学中列方程解应用题的设未知数列方程一样.二是已知曲线类型用待定系数法，即设方程列方程求方程中的参数(系数)，一般来说，待定系数法比导迹法简单，但必须先判断出曲线类型，这就必须熟悉平面几何，特别是平面几何中直线与圆的知识，在高考试题中直线与圆一般是不设解答题的，只设选择和填空题，考查重要的数学思想方法——数形结合法中的“以形代数法”，即几何法.
例1 已知平面上两定点A(-2，0)，B(1，0)，动点M满足|MA|=2|MB|.求动点M的轨迹方程.
这是一个需设动点M(x,y)列方程(导迹)的题，但若熟悉平面几何中三角形内、外角平分线和中线性质，则可化为待定系数法的题求解.
解法1：如图1延长MB到D使MB=BD,延长OB到E，使OB=BE,连OD，OM，ME，则由
已知有OM平分∠AMB，∴∠A=∠D=∠BME,∠MOE=∠OME,∴OE=ME=2,∴点M的轨迹是E(2，0)为圆心，半径为2的圆，方程为(x-2)2+y2=22.
解法2：如图2，连OM，过M作△MAB的外角平分线交AB延长线于点E，则由已知
有OM平分∠AMB，由三角形内、外角平分线性质得AMMB=AOOB=AEEB=2,∴E(4，0)，△OME是直角三角形，∴动点M的轨迹是以OE为直径的圆，方程为(x-2)2+y2=22.
例1可推广为一般情形，例1的解法2可推广为一个很有价值的解法.
如已知平面上两定点A，B的距离为a(a>0)，平面上一动点M满足MAMB=λ.求动点M的轨迹方程.
由例1的解法2知，如图3，过点M分别作△MAB的内、外角平分线MD，ME，分别交AB于点D，E，则动点M的轨迹就是以线段DE为直径的圆，∵AMMB=ADDB=AEEB=λ，且AB=a，∴建立坐标系后可确定D，E的坐标，∴动点M的轨迹方程可用待定系数法求出.
例2 已知点P(1，2)为圆x2+y2=9内一定点，过P作两条互相垂直的任意射线交圆于点B，C，求BC中点M的轨迹方程.
分析：因为不知道轨迹是什么，所以要用导迹法，即设M(x,y)，列方程f(x,y)=0，这样求解较繁.如设M(x,y),B(x1,y1),C(x2,y2)，可得方程组x1+x2=2x，
y1+y2=2y，
x21+y21=9，
x22+y22=9，
y1-2x1-1·y2-2x2-1=-1，则要消去x1,y1,x2,y2，若没找到好的消元途径(把x1x2,y1y2,x1+x2,y1+y2视为元消去)就很难得出轨迹方程，当然如果设一条弦的斜率为k，列出方程组x=f(k)，
y=g(k)，再消去k，更繁，就是用圆的参数方程也不是很简单，即M(x,y),B(3cosα,3sinα),C(3cosβ,3sinβ)得方程组3(cosα+cosβ)=2x,
3(sinα+sinβ)=2y,
3sinα-23cosα-1·3sinβ-23cosβ-1=-1，消去cosα,cosβ,sinα,sinβ，其运算过程也不简单.
因此，应寻求几何法和待定系数法.
解法1：如图4，连OM，MP，则由已知MP=BM=MC,OB2=OM2+BM2,
∴OB2=OM2+MP2,即OM2+MP2=9，∴要求轨迹是到两定点O(0，0)，P(1，2)的距离平方和为常数9的轨迹，这样就可直接列出方程x2+y2+(x-1)2+(y-2)2=9,即(x-12)2+(y-1)2=134.
解法2：由解法1知，OM2+MP2=9，OP的中点D(12，1)，由三角形的中线长公式得MD2=OM2+MP22-OP24=92-54=134(定值)，所以，要求轨迹是以D(12，1)为圆心，半径为132的圆，由待定系数法得方程(x-12)2+(y-1)2=134.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
平面解析几何中求曲线的方程不外乎两种方法，一是不知曲线类型的用设动点坐标列含动点坐标的方程，即导迹法，就是设动点M(x,y)，列出方程f(x,y)=0，这与初中数学中列方程解应用题的设未知数列方程一样.二是已知曲线类型用待定系数法，即设方程列方程求方程中的参数(系数)，一般来说，待定系数法比导迹法简单，但必须先判断出曲线类型，这就必须熟悉平面几何，特别是平面几何中直线与圆的知识，在高考试题中直线与圆一般是不设解答题的，只设选择和填空题，考查重要的数学思想方法——数形结合法中的“以形代数法”，即几何法.
例1 已知平面上两定点A(-2，0)，B(1，0)，动点M满足|MA|=2|MB|.求动点M的轨迹方程.
这是一个需设动点M(x,y)列方程(导迹)的题，但若熟悉平面几何中三角形内、外角平分线和中线性质，则可化为待定系数法的题求解.
解法1：如图1延长MB到D使MB=BD,延长OB到E，使OB=BE,连OD，OM，ME，则由
已知有OM平分∠AMB，∴∠A=∠D=∠BME,∠MOE=∠OME,∴OE=ME=2,∴点M的轨迹是E(2，0)为圆心，半径为2的圆，方程为(x-2)2+y2=22.
解法2：如图2，连OM，过M作△MAB的外角平分线交AB延长线于点E，则由已知
有OM平分∠AMB，由三角形内、外角平分线性质得AMMB=AOOB=AEEB=2,∴E(4，0)，△OME是直角三角形，∴动点M的轨迹是以OE为直径的圆，方程为(x-2)2+y2=22.
例1可推广为一般情形，例1的解法2可推广为一个很有价值的解法.
如已知平面上两定点A，B的距离为a(a>0)，平面上一动点M满足MAMB=λ.求动点M的轨迹方程.
由例1的解法2知，如图3，过点M分别作△MAB的内、外角平分线MD，ME，分别交AB于点D，E，则动点M的轨迹就是以线段DE为直径的圆，∵AMMB=ADDB=AEEB=λ，且AB=a，∴建立坐标系后可确定D，E的坐标，∴动点M的轨迹方程可用待定系数法求出.
例2 已知点P(1，2)为圆x2+y2=9内一定点，过P作两条互相垂直的任意射线交圆于点B，C，求BC中点M的轨迹方程.
分析：因为不知道轨迹是什么，所以要用导迹法，即设M(x,y)，列方程f(x,y)=0，这样求解较繁.如设M(x,y),B(x1,y1),C(x2,y2)，可得方程组x1+x2=2x，
y1+y2=2y，
x21+y21=9，
x22+y22=9，
y1-2x1-1·y2-2x2-1=-1，则要消去x1,y1,x2,y2，若没找到好的消元途径(把x1x2,y1y2,x1+x2,y1+y2视为元消去)就很难得出轨迹方程，当然如果设一条弦的斜率为k，列出方程组x=f(k)，
y=g(k)，再消去k，更繁，就是用圆的参数方程也不是很简单，即M(x,y),B(3cosα,3sinα),C(3cosβ,3sinβ)得方程组3(cosα+cosβ)=2x,
3(sinα+sinβ)=2y,
3sinα-23cosα-1·3sinβ-23cosβ-1=-1，消去cosα,cosβ,sinα,sinβ，其运算过程也不简单.
因此，应寻求几何法和待定系数法.
解法1：如图4，连OM，MP，则由已知MP=BM=MC,OB2=OM2+BM2,
∴OB2=OM2+MP2,即OM2+MP2=9，∴要求轨迹是到两定点O(0，0)，P(1，2)的距离平方和为常数9的轨迹，这样就可直接列出方程x2+y2+(x-1)2+(y-2)2=9,即(x-12)2+(y-1)2=134.
解法2：由解法1知，OM2+MP2=9，OP的中点D(12，1)，由三角形的中线长公式得MD2=OM2+MP22-OP24=92-54=134(定值)，所以，要求轨迹是以D(12，1)为圆心，半径为132的圆，由待定系数法得方程(x-12)2+(y-1)2=134.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
