刍议信息迁移题的几种信息加工模式
王 菁
近年来信息迁移题一直是数学高考与竞赛中考查学生能力的主要题型之一，它有利于考查学生即时自学、捕捉信息、信息加工和合理迁移的能力，也有利于考查学生灵活运用基础知识分析、解决实际问题的综合能力.在解决此类题型时，务必做到四要：一要仔细审题，捕捉信息，特别是关键信息，为解决问题找到突破口；二要对呈现的大量信息进行简约、筛选，从中提取有价值的重要信息；三要从题中给予的信息中通过概括、整理、提炼，寻觅出新知识或新方法；四要充分发挥联想，广泛建立联系，由此及彼，由表及里，或类推、或拓展，善于知识迁移.笔者进而研究认为，根据信息迁移题的特点，信息迁移题可归纳为简约、类比、扩展、转换及综合等几种信息加工模式.其解题步骤可概括为如下框图.
1.简约模式
信息迁移题中的信息往往比较密集，此时解题时应将无关的和干扰的信息剥去，做到删繁就简，使冗长的陈述简明化，让问题的已知条件、待求的结论明显化.
例1 (06年北京高考题(理))如图1为某
三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆数如图所示，图中x1,x2,x3分别表示该时段单位时间通过路段AB，BC，CA的机动车辆数(
假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则().
A.x1>x2>x3 B.x1>x3>x2
C.x2>x3>x1 D.x3>x2>x1
分析：本题应遴选出“驶入与驶出车辆相等”这一关键条件，分别设A、B、C三处未知车辆数为m、n、k，则x1=20+n=50+m,
x2=30+n=35+k,
x3=55+m=30+k,可得m=k-25，代入得x1=25+k,
x2=35+k,
x3=30+k,其中m、n、k∈N*，故选C.
评注：解答这种题型时考生的思维障碍往往在于对建立在实际生活之上的问题载体的理解.而这种来源于现实生活的背景新颖的创新题往往在叙述时比较冗长，要求考生有较好的阅读理解能力与辨别、抓住核心信息并进行推理变形的能力，由此达到化繁杂为简易的目的.
2.类比模式
类比推理是人的抽象逻辑思维的一种主要形式.从形式逻辑的角度来看，类比推理就是根据两个(或两类)对象在某些属性上相同或相似，而且已知其中的一个(或一类)对象还具有其他
特定属性，从而推出另一个(或另一类)对象也具有该特定属性为结论的推理.运用这种推理来解决问题的模式即为类比模式.它的逻辑形式可以表示为：对象A具有属性a、b、c、d；对象B具有属性a、b、c，所以对象B也具有属性d.
例2 (05年上海高考题)用n个不同的实数a1,a2,…，an，可得到n!个不同的排列，以每个排列为一行写成一个n!行的数阵，对第i行ai1,ai2…，ain，记bi=-ai1+2ai2-3ai3+…+(-1)nnain,i=1,2,3…，n!.例如用1，2，3可得到如下数阵(如图2所示)：
由于数阵中每一列各数之和都是12，所以b1+b2+…+b6=-12+2×12-3×12=-24,那
么在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1+b2+…+b120= .
分析：由1，2，3三个数组成的数阵的计算，我们可以知道数阵每一列之和是相等的，设这个和数为S.因为每一个数在数阵中某一列出现的次数是相等的，所以每一个数在一列出现的次数为n!n=(n-1)!，故S=(n-1)!(a1+a2+…+an),而
且b1+b2+…+bn!=-S-2S-3S+…+(-1)n·n·S.
由1，2，3，4，5形成的数阵中，b1+b2+…+b120=-360+2×360-3×360+4×360-5×360=-1080.
评注：类比模式有数形之间的类比、平面与空间之间的类比、具体与抽象之间的类比、特殊与一般之间的类比等等，而解决问题A，由某种相似性联想到已解决的问题B，而问题B的解决方法对解决问题A有启发，这就是解题思想方法的类比迁移.
3.扩展模式
问题的难易不在于题中陈述信息的多少，即阅读量的大小，而在于内涵的深浅和思路的曲直.有些题目陈述指向目标的特征信息“凝聚”在个别词句中，有的是意在不言中，极为隐蔽的，这就需要我们结合具体问题细细推敲、逐句发掘有用信息，从多角度思考分析，力求做到上下兼顾，前后呼应，逐级引申，多向扩展，反复论证，直到问题的解决.
例3 (06年上海高考题)三个同学对问题“关于x的不等式x2+25+|x3-5x2|≥ax在［1，12］上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路.
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”.
乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”.
丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”.
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是 .
分析：采用乙的思路.∵x∈［1，12］，∴原题等价于x+25x+|x2-5x|≥a在［1，12］上恒成立，下面求函数y=x+25x+|x2-5x|的最小值.
∵x+25x≥10(当且仅当x=5∈［1，12］时，取最小值10，而此时|x2-
5x|=0)，
∴当x=5时，函数y=x+25x+|x2-5x|的最小值为10.从而原题所求a的取值范围是(-∞，10］.
评注：本题在传统题型的基础上糅合了三种可能的解题思路.既考查了明辨
是非的能力，也考查了分析问题时思路的灵活性和深刻性.笔者认为为什么不采用另外两条思路的原因在于：就甲说的而言，能否在取同一值时取得最值值得讨论；就丙说的而言，要准确无误作出函数y=x2+25+|x3-5x2|的图像比较困难；只有乙说的是常规思路，但如果观察不出x+25x与|x2-5x|在同一处取得最小值这一隐含的细节，求解过程也会很复杂.
4.转换模式
数学现象丰富多彩，千变万化，许多截然不同的问题有时可用相同的形式表述，同一问题也可以用不同的形式体现.当你面临陌生的数学问题概念模糊或自己不易把握时，可尝试用自己熟悉的方式去描述，多次尝试，不断调整方向和层次，直到问题清晰明白为止.通过转换，可将一个陌生的问题变成一个熟悉的问题，一个未知量转换为较易认识的另一个变量，一个实际问题转化为一个典型的数学模型.
例4 (06年湖北高考题(理))将杨辉三角中的每一个组合数Crn都换成1(n+1)Crn，就得到一个如下图3所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，1(n+1)Crn+1(n+1)Cxn=1nCrn-1,其中x= .令an=13+112+130+160+…+1nC2n-1+1(n+1)C2n，则
分析：由上图联想熟悉的杨辉三角问题，通过对比可发现在莱布尼茨三角形中，每个数都等于它脚下两数字之和，则x=r+1.而1(n+1)C2n=2(n+1)·n·(n-1)=1n-1-2n+1n+1,∴an=13C22+14C23+15C24+…+1(n+1)C2n=(1-22+13)+(12-23+14)+(13-24+15)+…+(1n-1-2n+1n+1)=1-12-1n+1n+1.故limx→∞an=12.
评注：解答这种题型时考生的思维障碍往往在于类比推理和转换能力不强，导致解题过程中无从着手或发生错误.另外，我们还可以看出它主要考查考生的知识迁移能
力、化简变形能力和观察问题分析问题的能力.并且往往要求从表中、图中或条件中看出其
中的规律，通过转换后再进行求解.
5.综合模式
对于那些信息容量大，题面错综复杂的“谜语”题，则要求学生综合运用科学方法(提取有效信息、联系已学知识、构建思维模型等)，对题目信息进行深加工，去粗取精，去伪存真
，创造性地揭开谜底.
例5 (06年北京高考题(理))在数列{an}中，若a1,a2是正整数，且an=|an-1-an-2|,n=3,4,5,…，则称{an}为“绝对差数列”.
(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)；
(2)若“绝对差数列”{an}中，a20=3,a21=0,数列{bn}满足bn=an+an+1+an+2,n=1,2,3…，分别判断当n→∞时，an与bn的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；
(3)证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
分析：(1)a1=3,a2=1,a3=2,a4=1,a5=1,a6=0,a7=1,a8=1,a9=0,a10=1.(答案不惟一)
(2)结合(1)分析数列{an}的周期性规律可知，当n→∞时，an的极限不存在.当n≥20时，bn=an+an+1+an+2=6,所以lim→∞bn=6.
(3)根据定义，数列{an}必在有限项后出现零项.证明如下：
假设{an}中没有零项，由于an=|an-1-an-2|，所以对于任意的n，都有an≥1，从而当an-1>an-2时，an=an-1-an-2≤an-1-1(n≥3)；当an-1令cn=a2n-1(a2n-1>a2n),
a2n(a2n-1由于c1是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项cn<0，这与cn>0(n=1,2,3，…)矛盾.从而{an}必有零项.若第一次出现的零项为第n项，记an-1=A(A≠0)，则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A，即an+3k=0,
an+3k+1=A,
an+3k+2=A,k=0,1,2,3…，所以绝对差数列{an}中有无穷多个为零的项.
评注：解答这一题型时，考生的思维障碍往往在于阅读能力的欠缺以及转译成数学语言的过程中发生差错.但这种题型往往新颖别致，别具匠心，重点考查了学生的数
学阅读理解能力与综合运用数学知识解决问题的能力，具有较强的考查效果.
信息迁移题具有极强的生命力，它能很好地考查学生的综合实力，并具有较大的区分度，因而常考常新.解答时要求学生必须具备扎实的基本功，具有良好的心理素质和科学的数学思想方法，才能掌握信息迁移题的内涵与精髓，并能在解题中有所创新.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
近年来信息迁移题一直是数学高考与竞赛中考查学生能力的主要题型之一，它有利于考查学生即时自学、捕捉信息、信息加工和合理迁移的能力，也有利于考查学生灵活运用基础知识分析、解决实际问题的综合能力.在解决此类题型时，务必做到四要：一要仔细审题，捕捉信息，特别是关键信息，为解决问题找到突破口；二要对呈现的大量信息进行简约、筛选，从中提取有价值的重要信息；三要从题中给予的信息中通过概括、整理、提炼，寻觅出新知识或新方法；四要充分发挥联想，广泛建立联系，由此及彼，由表及里，或类推、或拓展，善于知识迁移.笔者进而研究认为，根据信息迁移题的特点，信息迁移题可归纳为简约、类比、扩展、转换及综合等几种信息加工模式.其解题步骤可概括为如下框图.
1.简约模式
信息迁移题中的信息往往比较密集，此时解题时应将无关的和干扰的信息剥去，做到删繁就简，使冗长的陈述简明化，让问题的已知条件、待求的结论明显化.
例1 (06年北京高考题(理))如图1为某
三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆数如图所示，图中x1,x2,x3分别表示该时段单位时间通过路段AB，BC，CA的机动车辆数(
假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则().
A.x1>x2>x3 B.x1>x3>x2
C.x2>x3>x1 D.x3>x2>x1
分析：本题应遴选出“驶入与驶出车辆相等”这一关键条件，分别设A、B、C三处未知车辆数为m、n、k，则x1=20+n=50+m,
x2=30+n=35+k,
x3=55+m=30+k,可得m=k-25，代入得x1=25+k,
x2=35+k,
x3=30+k,其中m、n、k∈N*，故选C.
评注：解答这种题型时考生的思维障碍往往在于对建立在实际生活之上的问题载体的理解.而这种来源于现实生活的背景新颖的创新题往往在叙述时比较冗长，要求考生有较好的阅读理解能力与辨别、抓住核心信息并进行推理变形的能力，由此达到化繁杂为简易的目的.
2.类比模式
类比推理是人的抽象逻辑思维的一种主要形式.从形式逻辑的角度来看，类比推理就是根据两个(或两类)对象在某些属性上相同或相似，而且已知其中的一个(或一类)对象还具有其他
特定属性，从而推出另一个(或另一类)对象也具有该特定属性为结论的推理.运用这种推理来解决问题的模式即为类比模式.它的逻辑形式可以表示为：对象A具有属性a、b、c、d；对象B具有属性a、b、c，所以对象B也具有属性d.
例2 (05年上海高考题)用n个不同的实数a1,a2,…，an，可得到n!个不同的排列，以每个排列为一行写成一个n!行的数阵，对第i行ai1,ai2…，ain，记bi=-ai1+2ai2-3ai3+…+(-1)nnain,i=1,2,3…，n!.例如用1，2，3可得到如下数阵(如图2所示)：
由于数阵中每一列各数之和都是12，所以b1+b2+…+b6=-12+2×12-3×12=-24,那
么在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1+b2+…+b120= .
分析：由1，2，3三个数组成的数阵的计算，我们可以知道数阵每一列之和是相等的，设这个和数为S.因为每一个数在数阵中某一列出现的次数是相等的，所以每一个数在一列出现的次数为n!n=(n-1)!，故S=(n-1)!(a1+a2+…+an),而
且b1+b2+…+bn!=-S-2S-3S+…+(-1)n·n·S.
由1，2，3，4，5形成的数阵中，b1+b2+…+b120=-360+2×360-3×360+4×360-5×360=-1080.
评注：类比模式有数形之间的类比、平面与空间之间的类比、具体与抽象之间的类比、特殊与一般之间的类比等等，而解决问题A，由某种相似性联想到已解决的问题B，而问题B的解决方法对解决问题A有启发，这就是解题思想方法的类比迁移.
3.扩展模式
问题的难易不在于题中陈述信息的多少，即阅读量的大小，而在于内涵的深浅和思路的曲直.有些题目陈述指向目标的特征信息“凝聚”在个别词句中，有的是意在不言中，极为隐蔽的，这就需要我们结合具体问题细细推敲、逐句发掘有用信息，从多角度思考分析，力求做到上下兼顾，前后呼应，逐级引申，多向扩展，反复论证，直到问题的解决.
例3 (06年上海高考题)三个同学对问题“关于x的不等式x2+25+|x3-5x2|≥ax在［1，12］上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路.
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”.
乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”.
丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”.
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是 .
分析：采用乙的思路.∵x∈［1，12］，∴原题等价于x+25x+|x2-5x|≥a在［1，12］上恒成立，下面求函数y=x+25x+|x2-5x|的最小值.
∵x+25x≥10(当且仅当x=5∈［1，12］时，取最小值10，而此时|x2-
5x|=0)，
∴当x=5时，函数y=x+25x+|x2-5x|的最小值为10.从而原题所求a的取值范围是(-∞，10］.
评注：本题在传统题型的基础上糅合了三种可能的解题思路.既考查了明辨
是非的能力，也考查了分析问题时思路的灵活性和深刻性.笔者认为为什么不采用另外两条思路的原因在于：就甲说的而言，能否在取同一值时取得最值值得讨论；就丙说的而言，要准确无误作出函数y=x2+25+|x3-5x2|的图像比较困难；只有乙说的是常规思路，但如果观察不出x+25x与|x2-5x|在同一处取得最小值这一隐含的细节，求解过程也会很复杂.
4.转换模式
数学现象丰富多彩，千变万化，许多截然不同的问题有时可用相同的形式表述，同一问题也可以用不同的形式体现.当你面临陌生的数学问题概念模糊或自己不易把握时，可尝试用自己熟悉的方式去描述，多次尝试，不断调整方向和层次，直到问题清晰明白为止.通过转换，可将一个陌生的问题变成一个熟悉的问题，一个未知量转换为较易认识的另一个变量，一个实际问题转化为一个典型的数学模型.
例4 (06年湖北高考题(理))将杨辉三角中的每一个组合数Crn都换成1(n+1)Crn，就得到一个如下图3所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，1(n+1)Crn+1(n+1)Cxn=1nCrn-1,其中x= .令an=13+112+130+160+…+1nC2n-1+1(n+1)C2n，则
分析：由上图联想熟悉的杨辉三角问题，通过对比可发现在莱布尼茨三角形中，每个数都等于它脚下两数字之和，则x=r+1.而1(n+1)C2n=2(n+1)·n·(n-1)=1n-1-2n+1n+1,∴an=13C22+14C23+15C24+…+1(n+1)C2n=(1-22+13)+(12-23+14)+(13-24+15)+…+(1n-1-2n+1n+1)=1-12-1n+1n+1.故limx→∞an=12.
评注：解答这种题型时考生的思维障碍往往在于类比推理和转换能力不强，导致解题过程中无从着手或发生错误.另外，我们还可以看出它主要考查考生的知识迁移能
力、化简变形能力和观察问题分析问题的能力.并且往往要求从表中、图中或条件中看出其
中的规律，通过转换后再进行求解.
5.综合模式
对于那些信息容量大，题面错综复杂的“谜语”题，则要求学生综合运用科学方法(提取有效信息、联系已学知识、构建思维模型等)，对题目信息进行深加工，去粗取精，去伪存真
，创造性地揭开谜底.
例5 (06年北京高考题(理))在数列{an}中，若a1,a2是正整数，且an=|an-1-an-2|,n=3,4,5,…，则称{an}为“绝对差数列”.
(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)；
(2)若“绝对差数列”{an}中，a20=3,a21=0,数列{bn}满足bn=an+an+1+an+2,n=1,2,3…，分别判断当n→∞时，an与bn的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；
(3)证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
分析：(1)a1=3,a2=1,a3=2,a4=1,a5=1,a6=0,a7=1,a8=1,a9=0,a10=1.(答案不惟一)
(2)结合(1)分析数列{an}的周期性规律可知，当n→∞时，an的极限不存在.当n≥20时，bn=an+an+1+an+2=6,所以lim→∞bn=6.
(3)根据定义，数列{an}必在有限项后出现零项.证明如下：
假设{an}中没有零项，由于an=|an-1-an-2|，所以对于任意的n，都有an≥1，从而当an-1>an-2时，an=an-1-an-2≤an-1-1(n≥3)；当an-1令cn=a2n-1(a2n-1>a2n),
a2n(a2n-1由于c1是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项cn<0，这与cn>0(n=1,2,3，…)矛盾.从而{an}必有零项.若第一次出现的零项为第n项，记an-1=A(A≠0)，则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A，即an+3k=0,
an+3k+1=A,
an+3k+2=A,k=0,1,2,3…，所以绝对差数列{an}中有无穷多个为零的项.
评注：解答这一题型时，考生的思维障碍往往在于阅读能力的欠缺以及转译成数学语言的过程中发生差错.但这种题型往往新颖别致，别具匠心，重点考查了学生的数
学阅读理解能力与综合运用数学知识解决问题的能力，具有较强的考查效果.
信息迁移题具有极强的生命力，它能很好地考查学生的综合实力，并具有较大的区分度，因而常考常新.解答时要求学生必须具备扎实的基本功，具有良好的心理素质和科学的数学思想方法，才能掌握信息迁移题的内涵与精髓，并能在解题中有所创新.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
