高三复习课上的一次“小题大做”

郑飞龙
自恢复高考制度以来,已近三十个春秋,很多做法似乎已经成为固定经验,“大容量、高密度、快节奏”几乎成了高三数学复习课的主旋律.笔者作为一名高三数学老师,也毫不例外地承袭这一做法,“做不完的练习、讲不完的题目”,为了所谓的教学进度,常常是“挥汗如雨、一讲到头”,留给学生思考的时间几乎没有.几年下来,教学成绩还算不错,这使得笔者更加相信这种做法的合理性.但是今年初的一节复习课,却使笔者陷入了深思.
一、教学片段
在高三一节复习课上,笔者计划分析一张模拟试卷,由于需要分析的题目较多,笔者有意加快了讲解的速度.试卷中有这样一道题目:
数列{an}中,a1=12,an+an+1=32n+1,n∈N*,则limn→∞(a1+a2+…+an)=().
A.1 B.12 C.32 D.3
师:同学们,要解决这个题目,首先应该想到求出数列{an}的通项公式.那么,我们该如何来求它的通项公式呢?
此时,笔者环顾了一下教室,发现有几个同学开始思考,用笔在纸上画着,但是有些学生好象并没有思考笔者的问题,似乎对笔者的问题不为以然,笔者不禁心生疑惑,难道这种做法不妥?还是学生另有想法?笔者陷入了矛盾之中,如果让他们各抒己见,今天的任务铁定完成不了,但是如果按自己的思路讲下去,似乎并没有多少人关注,收效肯定有限.经过权衡,笔者决定倾听他们的意见之后再作决定.
师:我注意到有些同学似乎另有想法,有没有更为简洁的方法?
生甲:我们不用求通项公式,把an+an+1看作一个新数列{bn},则2(a1+a2+…+an)=a1+b1+b2+…+bn-1+an,而{bn}是一个公比小于1
的等比数列,a1是常数,它们的极限都可求出,而an的极限…….
(甲遇到了新问题,an的极限他没办法解决了,学生们在窃窃私语:那不是又要求数列{an}的通项公式吗?笔者为生甲的观察能力感到高兴,这确实是一种好的方法.)
师:an的极限该如何求呢?是不是必须要求an的通项公式?
生乙:老师,an的极限是0.
师:为什么?
生乙:因为limn→∞(an+an+1)=0,而limn→∞an=limn→∞an+1,所以limn→∞an=0.
师:生甲和生乙两名同学都能从整体出发,充分利用了题目条件的特征,他们提供的方法非常好,回避了求通项公式这个难点,这种放眼全局、从整体到局部的观念值得大家借鉴.
(讲到这里,笔者对刚才的解法还是满意的,甚至觉得这种方法比笔者刚才要提供的解法好,考虑到进度的关系,笔者打算把求通项公式的问题留给学生课余时间解决,接下去讲解另外一个问题.)
师:如果要先求出数列{an}的通项公式,然后再求极限,比刚才的做法要繁复一点,是不是呢?由于时间的关系,我们把这个问题留给大家课余时间探讨,下面我们看下一道题……
(就在这时,我的话被平时发言并不大踊跃的生丙打断了.)
生丙:通过求通项公式解决本题很简单啊!
(众生的目光一齐投向生丙,对于本来就不太发言的生丙,如果不倾听他的意见,必将挫伤他的积极性.)
师:丙同学,请你介绍一下你的方法好吗?
生丙:根据这个递推关系,我们很容易求出数列的前几项并猜测出数列的通项公式an=12n,虽然此猜想还需要证明,但作为选择题,我们不需小题大做,这样就可以很快地选出答案!
师:丙同学的方法很好,从特殊到一般,沿着归纳、猜想、证明这一思路,得到了问题的解,这也是科学研究中应用最广泛的思维方式,另外,丙同学积极发表自己见解的精神也值得大家学习!
(生丙的发言使课堂气氛变得活跃起来,大多数同学跃跃欲试,想得到更好的方法,笔者意识到,如果能对这一问题做更进一步的探讨,才能使问题解决得更加趋于完美.)
师:丙同学刚才提到了“小题大做”,诚然,解决一道小题目,在做法上没有必要小题大做,但是在学习的过程中,适当的“小题大做”却是必要的,今天我们就来个“小题大做”(众生笑)现在请大家思考,根据递推关系求通项除了归纳法,还有什么方法?
众生:把递推关系转化为等比数列、等差数列或者可以利用累加、累乘等常见方法求通项的情形……
师:类似于an+an+1=32n+1这个递推关系求通项的问题,我们以前碰到过吗?
生丁:我们曾经做过一道题目,是根据an+1-3an=2n+1这个递推关系求通项.
师:解法如何?
生:两边同除以2n+1,然后构造新数列转化为等比数列求解.
师:很好,丁同学能够联想、类比曾经解决过的题目,那你们再看看这个题目中的递推关系,能够解决了吗?
众生:(恍然大悟地):噢!两边同乘以2n+1.
师:同学们,我们把递推关系变形为2n+1·an+1-1=-2(2na
n-1),则数列{2nan-1}就是等比数列了,是吗?
众生:对!
师:那么请大家求出这个等比数列的通项!
(学生们迅速展开了运算)
生戊:(惊讶地):老师,不好了,首项21a1-1=0!
(同学们都发现了这个问题,开始讨论)
师:首项是零,那自然不是等比数列了,怎么办呢?刚才的方法是不是要放弃了?
生庚:那所有项不就全为0了吗?所以an=0.
师:很好!
师:刚才我们利用多种思路探讨了这个题目,大家采用了从整体到局部、从特殊到一般、联想类比等重要的思维方式,这些思维方法是我们解决问题的重要方法.通过这个题目,我们对利用递推关系求通项的一般方法有了更系统的认识,探讨过程中出现的问题也是我们要注意的.
这时候,半节课已经过去,原来的课堂计划肯定是完不成了,但是笔者对刚才的“小题大做”感到非常满意.
二、课后反思
课后,笔者对本节课进行了反思,如果按照原计划进行,学生所得到的东西是否更多?答案几乎是肯定的,如果不是“小题大做”,这节课就是一节非常普通的试卷讲评课,学生的收益肯定要少得多!由此看来,我们平常的教学真的有问题吗?笔者不禁陷入了思索.
1.为什么一定要追求“高、大、全”?
就课程背景下,数学教学要合理使用教材和资料,高三复习也不例外,不能因为对象是高三学生,就在选题上注重“高、大、全”,追求“新、奇、难”,对那些既是基础又富有内涵的题目不屑一顾,从而忽视了对学生进行基础知识和基础技能的强化.本节课之所以成功,就是缘于能够“小题大做”,充分发挥小题目的内涵,以小见大.
2.为什么总是要剥夺学生思考、发言的机会?
“课堂教学中要注重发挥学生的主体作用”,
是每位老师耳熟能详的一句话,但是要真正在教学过程中落实却并非易事.尤其是高三复习课,我们总是抱怨时间不够用,课堂上为了所谓的进度,很少听取学生的见解,“讲台上,老师挥汗如雨;课桌旁,学生昏昏欲睡”,本节课上,我们可以设想,如果笔者不去倾听学生的见解,将会是怎样的景象?
“人的思想有多远,他就能走多远”.学生的思维能力和创新能力是不可以简单地估量的,只要我们给他们充分的思维时间和空间,他们的探索活动和探索成果将会远远地超出我们的想象.
3.为什么总是事与愿违?
对学生的研究,特别是对学生学情的调查,我们可能会得出这样的事实,他正好与我们常态的判断相反:
我们不是抓松了,而是太紧了,大量的作业充斥着休息的时间和思考的时间;
我们不是讲虚了,而是太实了,不是从学科整体的高度分析问题,从知识网络交汇出思考解法,而是让学生在具体的题型训练和具体的解题术中不能自拔;
我们不是练得太少了,而是太多了,复习当然是重复,但重复过多就会有抑制情绪,过多的
训练会产生逆反心理.[1]
为什么事与愿违?就是没有牢固地树立“以人为本”的意识.高考复习必须以学生为本,重视学生的心理现象,其中包括焦虑、厌倦情绪、恐惧心理.一个人面临着前途攸关的决策时,是非常脆弱的,我们必须相当慎重,小心呵护.
数学课作为高考的主干课程,学生的重视程度毋庸置疑,但是很多高三学生却发出了“数学啊!想说爱你不容易”的感慨,为什么会这样呢?笔者以为,这正是每一位数学老师需要思索的.
参考文献
[1]裴光亚.高考数学复习的话题与认识.中学数学教学参考.2006,3.
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
相关文章!
  • 改进演示实验,提高演示实验教

    曹雪梅众所周知,化学是以实验为基础的学科.实验是化学的灵魂,也是提高学生学习兴趣的主要因素.教学实践证明,化学实验教学可以让学生

  • 素质教育在中职教育中的重要性

    杨天摘要:进入21世纪之后,素质教育已经成为全社会非常关注的一个重要话题。而在职业教育中,许多学生和家长错误的认为职业教育的本质就

  • 质谱法测定水中溶解氙的含量及

    李军杰+刘汉彬 张佳+韩娟+金贵善+张建锋<br />
    <br />
    <br />
    <br />
    摘要 利用设计的一套水样中提取并分离Xe的装置,与稀有气体质谱