形成过程 自然生长 提升素养

    顾丹丹

    [摘? 要] 概念教学的关键是通过问题情境，让学生归纳、抽象出此概念的本质属性，并在此过程中让学生感受概念的自然生长过程，感悟建立和研究这个概念的必要性和必然性.

    [关键词] 二次函数;概念教学;过程;生长

    数学概念是思维的基本形式，是数学逻辑的起点，同时数学概念也是学生认知的基础，更是数学教学的核心. 但是我们发现，在实际教学中，大部分教师由于各种原因并没有把概念教学放在它应有的位置上，通常是“两个例子、一个概念、六项注意”，然后做各种练习加以巩固. 这样的概念教学，不仅会造成学生认知上的障碍，而且丢失了数学概念的教学功能，忽视了概念教学的育人价值，更不利于培养学生的数学核心素养 [1]. 那么，怎么才能体现概念教学的教学价值和育人价值，让概念教学自然生长，让核心素养切实得到落实呢？这还需要从数学概念的本质上去认识和理解.

    函数概念教学是“属性下的概念教学”，属性是某一对象固有，不以人的意志为转移的，那么就只能在人们认识的世界中去发现. 发现主要是揭示未知事物的存在及属性，所以属性下的概念教学的关键是通过问题情境，让学生归纳、抽象出概念的本质属性，并在此过程中，让学生感受概念的自然生长过程，感悟建立和研究这个概念的必要性和必然性，这就是数学核心素养的主要目标. 下面以“二次函数”为例，阐述如何基于核心素养让概念教学自然地生长.

    教材内容解析

    二次函数是继一次函数、反比例函数之后的又一种重要的函数，本课时延续之前研究一次函数和反比例函数的基本思路，仍然从学生熟悉的简单实际问题出发，建立二次函数的概念，感受二次函数与实际生活的密切联系.

    在这之前，学生已经学习了一元二次方程、一次函数和反比例函数等知识，他们在感受到生活中存在多样化的数学模型后，已经能初步建立方程模型、一次函数模型和反比例函数模型进行实际问题的分析与解决. 教材对二次函数的处理基本上沿袭了前面函数类型问题的探究模式. 这样的知识结构决定了它的教育价值：（1）传承一次函数和反比例函数的研究方式;（2）固化研究方式，用一以贯之的经验认识二次函数的相关内容;（3）在经历实际问题的分析和变量探究的过程中，感悟实际问题的数学化模型是多样的;（4）学会迁移、拓展学习函数知识的数学活动经验，能够建立同“一次函数”“反比例函数”一致的学习方向和方法，自主架构函数学习的知识体系.

    同时，在探究二次函数的概念的过程中，还要渗透类比和转化的数学思想，培养学生的归纳、抽象能力. 正因如此，二次函数概念的教学要通过不断地抽象模型来归纳和体会二次函数概念的本质，关注函数概念的自然生长，深度挖掘其潜在的育人价值，落实核心素养.

    课例设计

    1. 创设情境，引入概念

    问题1：函数是初中数学的重要内容，也是描述两个变量关系的重要模型，那你还记得什么是函数吗？

    问题2：下面的几个变化过程（略）中的两个变量之间有什么关系？你能分别用一个式子来表示吗？

    设计意图? 建立二次函数的概念时，教师要先给例子. 本节课仍然从学生熟悉的简单问题出发，建立二次函数的概念，特别是教材中的水滴激起波纹和圈养小兔的问题，体现了生活与数学的联系. 这些例子是学生经历过的、熟悉的，是能直面二次函数概念属性的问题. 笔者所给的例子也包含学生已经掌握的一次函数和反比例函数知识，一方面是回顾旧知，另一方面是为归纳二次函数的概念做铺垫.

    2. 归纳抽象，深化概念

    问题1：除了第一个式子已经判断了是函数，那么剩下的式子表示的是函数吗？这些函数里面有没有你认识的？

    问题2：观察剩下的三个函数，它们有什么共同特征？能不能像一次函数和反比例函数那样用一个式子来概括这个特征？

    设计意图? 让学生归纳剩下的三个函数的共同特征，是为了剖析二次函数概念的要素和本质，让二次函数概念的本质属性从实例中分离出来，变成大家公认的“形式化”的条件. 此时，二次函数的本质在学生面前暴露无遗，教师顺势让学生给这样的函数下定义和起名字，也不是什么难事.

    3. 感知实例，辨析概念

    对二次函数的概念进行再辨析，进一步认清二次函数概念的本质. 这个过程能让学生比较熟练地认识和辨析二次函数同其他函数关系式的区别，能知道一般形式下y=ax2+bx+c中对a的要求，并且辨析出所表示的关系式是否为二次函数的一般形式.

    4. 灵活运用，巩固概念

    【活动1：“变身”问题】

    问题1：除了要会判断二次函数，我们还要能够从具体的情境中抽象出二次函数模型. 比如这个销售问题（略），你还记得这个一元二次方程是怎么列出来的吗？

    问题2：那你能把这个一元二次方程“变身”为二次函数吗？你是怎样想到这样来“变身”的？

    设计意图? 这个问题是一元二次方程学习中比较典型的“销售类型”问题，设置这个问题主要是为了考查学生建立一元二次方程数量关系分析问题的能力，了解学生能否完成从实际问题到方程模型这一数学化认识的过程. 接着，通过“变身”说法引导学生将原方程中的定量设为变量，由定到变考查学生对函数概念的认识和对方程与函数关系的理解.

    【活动2：开放问题】

    问题：从上述“变身”的问题中我们发现，一元二次方程和二次函数之间可以互相转化. 那么，关于一元二次方程还有很多具体的实例，你能顺着这个思路去回忆，并举出一个关于x和y的二次函数问题，说明x，y的意义并写出函数关系式吗（小组合作，一人写出一个例子）？

    设计意图? 开放的设计提醒学生拓展思路，结合本题举例或者在学习过的一元二次方程实际问题上进行“变身举例”. 而写出相应的函数关系式则是考查学生能否初步从自己所举的例子中正确建立函數模型.

    【活动3：回归生活】

    问题：通过大家的举例，说明实际生活中这样的例子有很多. 刚才，我们是从实际的问题中抽象出二次函数模型，现在反过来，如果我给你一个二次函数模型，你能给它赋予一定的实际意义吗？请大家试试看！

    设计意图? 提供一个二次函数，让学生给它赋予实际意义，这个设计对学生的要求更高. 这一设计要求学生充分发挥想象，亲身经历将函数模型回归成实际问题的过程，体会数学源于生活又高于生活. 同时引导学生用数学的眼光去观察和思考生活，培养学生用数学的意识.

    5. 类比迁移，展望概念

    问题1：通过今天的学习，你对二次函数有什么体会呢？

    问题2：知道了二次函数的概念以后，接下来我们还可以从哪些方面去认识二次函数？

    设计意图? 展望是考查学生能否根据前面所积累的数学活动经验进行迁移和猜想. 这样的迁移猜想，是自主探究新知的一种学习策略与方法.

    反思

    1. 取材生活实例，切入概念教学

    生活中大量的实际原型是切入概念教学很好的载体与素材，其中最基本的形式就是从生活实例或原型中归纳、抽象出数学概念，因此数学概念教学要大量联系生活实例. 本课选取学生在生活中非常熟悉且简单的几个实例切入，建立二次函数的概念，感受二次函数与实际生活的密切联系，这种引入方式既易于学生理解，又切合数学抽象特征.

    2. 引导归纳抽象，着力概念教学

    数学抽象可以看成是两次抽象的递进：第一次抽象是直观描述，属于浅层抽象;第二次抽象体现为用数学语言或者数学符号予以表征，这是深层抽象[2]. 概念教学要实现从浅层抽象到深层抽象的转化和飞跃，着力点在于归纳抽象. 本节课，学生首先用自己的语言归纳出几个不认识的函数的共同点，教师则进一步引导学生用规范的数学语言对共同点加以概括，最终提炼出二次函数的概念，真正实现两次抽象的递进.

    3. 基于类比迁移，生长概念教学

    学生理解和掌握数学概念后，还要能利用积累的数学活动经验类比迁移、探究新的概念，达到融会贯通的效果，让概念教学自然地生长和流淌. 本节课，学生在探究二次函数的概念时，类比已经学过的一次函数、反比例函数探究模式：“观察生活实例—归纳共同属性—总结一般性规律—凝练函数概念—探究函数的图像和性质—函数的应用”，函数的概念教学自然水到渠成.

    4. 回归生活应用，落实概念教学

    数学源于生活，又应用于生活. 同样，概念教学最终也要回归生活. 本节课在归纳抽象、感知辨析二次函数的概念之后，用二次函数概念来解释生活实例：一是从实际问题中抽象出二次函数模型;二是赋予一个二次函数模型的实际意义，使学生从经历到感悟，让概念教学落地生根，提升学生的核心素养.

    現在我们回过头来看看上述过程，其意图是通过数学活动，让学生运用观察、比较、抽象、类比、归纳的思维来发现概念的属性，因此属性下概念教学的关键是通过问题情境，运用归纳思维，让学生发现概念的属性，从而建立概念.

    参考文献：

    [1]王红兵，卜以楼. 生长过程——概念教学的本质标志[J]. 中学数学教学参考（中旬），2017（7）.

    [2]黄东. 重视概念生成过程? 培育数学抽象思维[J]. 中学数学教学参考（中旬），2019（7）.