刍议数学运算素养的培养
汪秀琴 蔡敬发
从历次考试情况看，学生由于运算错误或运算障碍导致丢分的情况经常可见，而且层次越低的学校表现越为突出，许多教师虽然知道学生的运算能力差，却不够重视，没有采取针对性的措施，而是把希望寄托在学生的自我提升上，从而导致学生对数学运算的轻视和运算能力的不断下降，从这个层面上说，学生数学运算能力差，是一个老生常谈的话题，更是一个“历史遗留问题”.
1 调查分析，找出数学运算的“问题点”
笔者曾对本市、区各类学校高中生的数学运算素养现状及其成因进行调查分析，概括起来主要有以下3个方面的问题：（1）数学运算能力低下，由运算错误或运算障碍导致丢分较多的学生占一半以上，在数学运算能力较低的学生中，基础知识不扎实和学习习惯不好是导致其数学运算能力低下的主要原因;（2）学生的基础知识和基本技能的掌握十分令人担忧，且学生的学习方法、学习习惯和解题习惯还有待大大改进;（3）教师的课堂教学普遍“重方法，轻运算”，运算教学中“抢拍、替代、一带而过”现象随处可见，
由此可见，学生的数学运算能力和运算素养低下是普遍存在的事实，教师的教学行为和学生的学习行为是影响数学运算素养培养的首要因素，而教师的教学行为又直接影响学生的学习行为，因此，数学运算素养培养的着眼点在于教师教学行为的改变，为此在教学中，数学教师要树立以发展学生数学运算素养为导向的教学意识，将数学运算素养的培育落实在数学教学的各个环节[1].以下笔者从教学设计、课堂教学和作业设计三个环节阐述数学运算素养的培养.
2 精心设计，探寻数学运算的“培育点”
教学设计既是课堂教学的“开路先锋”，更是课堂教学的“总设计师”，它不仅仅是写好教案，更重要的是从更高的层面理解数学、理解学生、理解教学，以便更好地结合具体教学内容探寻数学运算素养的孕育点，以及其融入教学内容和教学过程的具体方式和载体，并根据学生的特点进行充分预设，从而切实提高数学运算素养培养的可行性.
2.1 从教学目标处探寻数学运算“融合点”
要改变和逆转目前运算教学中这种被动尴尬的局面，首先数学教师应重视数学运算素养的培养，要将数学运算素养要求融入课堂教学目标，探寻它与具体教学内容的关联点和融合点，基于课程主线，整体考虑数学运算素养的培养，例如：概念课中的“函数、平面向量、复数”可以培养学生的数学抽象、数学运算和逻辑推理等素养，而“三角、解几、立几”部分则可以培养学生的直观想象、数学运算和逻辑推理等素养;定理课中的“三角基本公式定理、数列、概率统计”等可以培养学生的数学运算、数学抽象、数据分析、逻辑推理和数学建模等素养，总之，教学设计首先应解决“教什么”的问题.
2.2 从载体方式上探寻数学运算“孕育点”
教学设计不仅应解决“教什么”的问题，还要解决“怎么教”的问题，章建跃教授认为：数学核心素养的形成是以数学知识为载体，以数学活动为路径而逐步实现的[2].因此，以什么为载体、构建什么样的数学活动是落实运算素养的关键，为此在设计教学时，首先应在学生的需要和思维价值处设计教学，充分考虑新知识怎么呈现，问题怎么设置，例题如何配备;其次教学方式应以探究为手段、以活动为路径、以体验为抓手，把教学活动的重心放在促进学生学习和四基的落实上，以“探究”催生知识能力、以“过程”沉淀经验方法，以“探究、过程”促学生思维品质的提升和学习行为的改变，从而真正促进其数学运算素养的发展.
例如在定理教学中，在定理获得阶段，应根据定理特点和学生实际选择恰当的定理获得方式，或“同化”或“形成”，使学生在定理获得阶段准确理解运算对象、深层次掌握运算法则、多角度探究运算方向，比如：
在新公式的推导上，因为此处是学生的困难点，因此笔者认为宜通过设置问题串、借助启发性提示语，暗示方法、启迪思维，使学生逐渐明确运算方向——建立平面直角坐标系，恰当设立点坐标，沟通新学知识“任意角三角函数定义”与旧知“平面向量”的联系，打通推理证明的“通道”一借助数量积推导新公式.
这样设计的目的，是为了设置一个与学生的已有认知结构相矛盾的问题，营造“知识缺口”，以形成学生“欲知未知”的愤悱状态，激发学生的求知欲，产生积极的学习心向，并且这也是教学实践中学生的典型错误，它能加深公式的印象，有助于运算法则的掌握;在公式的推导过程中，通过启发引导，使学生逐渐明晰运算方向，合理选择运算方法，，把握知识间的本质联系，实现新知识的意义构建.
3 互动课堂，创造数学运算的“生长点”
课堂是实验室，教师是“操盘手”，教师的课堂教学行為是数学运算素养能否落地生根的首要因素，为此，教师应在课前充分预设的基础上，努力创造学生的精彩生成，笔者认为，运算素养的培养关键在于“做中学”、“做中悟”[3].这就要求教师在课堂教学中，首先应善于根据具体教学要求和学生实际创设合适的情境，使学生经历其中，把握知识本质，感悟思想方法，积累基本经验[1];其次要合理设计问题串，突出问题的启发性、层次性和导向性，通过问题层层导向，使学生不断地处于“欲知未知、欲言未能”的愤悱状态，通过启发性提示语，暗示方法，启迪思维，不断将学生的思维引向深处，从而帮助学生不断实现“从无到有、从不知到知”，最终使学生在学习新知识的过程中，养成良好习惯，提升运算能力;再次要体现课堂教学的过程性和探究性，特别应加强“如何思考”、“如何发现”的启发和引导，从提升学生思维品质处设计教学，将思维的提升作为运算素养培养的基石扎实开展，并尽量沿着学生的思维轨道展开教学，“想学生所想、急学生所急”，避免“抢拍、替代和一带而过”现象的发生，让数学知识来的更自然些，让能力素养来的更顺畅些.
此外，应从提升学生数学思维品质处展开教学，因此在课堂教学中，教师首先应该提供平台让学生学会全方位选择运算方法，培养其数学思维的严谨性;其次应该引导学生深层次掌握运算法则，培养其数学思维的深刻性;再次应该启发学生多角度探究运算方向，培养其思维的广阔性[3];最后应该适当设障促使学生多方位求得运算结果，培养其思维的灵活性，例如：
教学片段 两角和与差的余弦公式教学片段[4]（公式应用环节）
本环节设计意图 由于三角函数公式繁多，学生易混易忘，公式应用总有诸多不畅，其主要原因是学生不会抓住问题的主要矛盾，导致题意不清、方向不明、程序繁杂、运算出错，解决以上问题的关键是让学生亲历其中，教学生学会充分挖掘题目信息，抓住问题中信息之間的主要矛盾（即“主视点”）和本质联系，从多元视角出发，分析差距，寻找联系，促成有效转化，通过逻辑证明加以贯通，串点成线，探寻简捷合理的运算路径[5]，优化运算程序，准确运算结果，将运算素养扎实地落实在课堂.
主要过程引导学生观察己知角和待求角的关系，促成转化如下：
感悟提升 配凑角时不要“破坏”已知角，而是把已知角看作一个“整体”，促成待求角的有效转化，其核心是“化未知为已知”.
（2）以“函数名”为主视点，选择运算方法
引导学生着重观察分析已知式和待求式三角函数名的差异，寻找其联系，促成有效转化，其手段通常是弦切互化，并且常与三角基本公式、角的转化相结合解决问题.
主要过程引导学生分析已知式和待求式的结构特征差异——缺少cosαcosβ，sinαsinβ，寻找联系，使学生逐渐明晰运算方向，必须创造条件，想办法让已知式“生出”cosαcosβ，sinαsinβ，启发学生恰当选择运算方法——将已知两等式两边分别平方，相加并结合平方关系进而贴近待求式，再逆用余弦函数差角公式求得结果，从而达到优化运算程序、准确运算结果的目的.
4 优化作业，落实数学运算的“训练点”
作业是课堂教学的延伸和补充，然而在现实作业布置中，不匹配作业和低效作业现象比比皆是，严重影响课堂教学的效果和学生素养水平的达成，因此，作业设计，首先考虑及时性和针对性，深层次掌握运算法则;其次应考虑典型性和多样性，全方位选择运算方法;再次应考虑梯度性和层次性，多角度探究运算方向;最后应考虑建构性和系统性[6]，整体考虑运算素养的培养，使课后作业真正成为落实运算素养的后勤保障.
总之，只要教师努力改进自己的教学行为，将数学运算素养的落实变成自己的自觉行动，以优化的教学行为带动学生学习行为的优化，课前充分预设、课中创造生成、课后优化作业，就能让运算素养落地生根.
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[S].北京：人民教育出版社，2018
[2]章建跃.三角函数教材落实核心素养的思考[J].中小学数学（高中版），2016 （12）： 25
[3]陈玉娟.例谈高中数学核心素养的培养——从课堂教学中数学运算的维度[J].数学通报，2016 （8）： 34-36，54
[4]汪秀琴.例题逻辑推理核心素养的培养[J].福建中学数学，2017 （6）：20
[5]陈玉娟.从探寻运算思路的角度例谈数学运算核心素养的培养[J].数学通讯，2016 （24）： 32-34
[6]汪秀琴.累，一定是我们做错了什么——基于作业设计的高三数学教学有效性探究[J].福建中学数学，2016 （6）： 20
从历次考试情况看，学生由于运算错误或运算障碍导致丢分的情况经常可见，而且层次越低的学校表现越为突出，许多教师虽然知道学生的运算能力差，却不够重视，没有采取针对性的措施，而是把希望寄托在学生的自我提升上，从而导致学生对数学运算的轻视和运算能力的不断下降，从这个层面上说，学生数学运算能力差，是一个老生常谈的话题，更是一个“历史遗留问题”.
1 调查分析，找出数学运算的“问题点”
笔者曾对本市、区各类学校高中生的数学运算素养现状及其成因进行调查分析，概括起来主要有以下3个方面的问题：（1）数学运算能力低下，由运算错误或运算障碍导致丢分较多的学生占一半以上，在数学运算能力较低的学生中，基础知识不扎实和学习习惯不好是导致其数学运算能力低下的主要原因;（2）学生的基础知识和基本技能的掌握十分令人担忧，且学生的学习方法、学习习惯和解题习惯还有待大大改进;（3）教师的课堂教学普遍“重方法，轻运算”，运算教学中“抢拍、替代、一带而过”现象随处可见，
由此可见，学生的数学运算能力和运算素养低下是普遍存在的事实，教师的教学行为和学生的学习行为是影响数学运算素养培养的首要因素，而教师的教学行为又直接影响学生的学习行为，因此，数学运算素养培养的着眼点在于教师教学行为的改变，为此在教学中，数学教师要树立以发展学生数学运算素养为导向的教学意识，将数学运算素养的培育落实在数学教学的各个环节[1].以下笔者从教学设计、课堂教学和作业设计三个环节阐述数学运算素养的培养.
2 精心设计，探寻数学运算的“培育点”
教学设计既是课堂教学的“开路先锋”，更是课堂教学的“总设计师”，它不仅仅是写好教案，更重要的是从更高的层面理解数学、理解学生、理解教学，以便更好地结合具体教学内容探寻数学运算素养的孕育点，以及其融入教学内容和教学过程的具体方式和载体，并根据学生的特点进行充分预设，从而切实提高数学运算素养培养的可行性.
2.1 从教学目标处探寻数学运算“融合点”
要改变和逆转目前运算教学中这种被动尴尬的局面，首先数学教师应重视数学运算素养的培养，要将数学运算素养要求融入课堂教学目标，探寻它与具体教学内容的关联点和融合点，基于课程主线，整体考虑数学运算素养的培养，例如：概念课中的“函数、平面向量、复数”可以培养学生的数学抽象、数学运算和逻辑推理等素养，而“三角、解几、立几”部分则可以培养学生的直观想象、数学运算和逻辑推理等素养;定理课中的“三角基本公式定理、数列、概率统计”等可以培养学生的数学运算、数学抽象、数据分析、逻辑推理和数学建模等素养，总之，教学设计首先应解决“教什么”的问题.
2.2 从载体方式上探寻数学运算“孕育点”
教学设计不仅应解决“教什么”的问题，还要解决“怎么教”的问题，章建跃教授认为：数学核心素养的形成是以数学知识为载体，以数学活动为路径而逐步实现的[2].因此，以什么为载体、构建什么样的数学活动是落实运算素养的关键，为此在设计教学时，首先应在学生的需要和思维价值处设计教学，充分考虑新知识怎么呈现，问题怎么设置，例题如何配备;其次教学方式应以探究为手段、以活动为路径、以体验为抓手，把教学活动的重心放在促进学生学习和四基的落实上，以“探究”催生知识能力、以“过程”沉淀经验方法，以“探究、过程”促学生思维品质的提升和学习行为的改变，从而真正促进其数学运算素养的发展.
例如在定理教学中，在定理获得阶段，应根据定理特点和学生实际选择恰当的定理获得方式，或“同化”或“形成”，使学生在定理获得阶段准确理解运算对象、深层次掌握运算法则、多角度探究运算方向，比如：
在新公式的推导上，因为此处是学生的困难点，因此笔者认为宜通过设置问题串、借助启发性提示语，暗示方法、启迪思维，使学生逐渐明确运算方向——建立平面直角坐标系，恰当设立点坐标，沟通新学知识“任意角三角函数定义”与旧知“平面向量”的联系，打通推理证明的“通道”一借助数量积推导新公式.
这样设计的目的，是为了设置一个与学生的已有认知结构相矛盾的问题，营造“知识缺口”，以形成学生“欲知未知”的愤悱状态，激发学生的求知欲，产生积极的学习心向，并且这也是教学实践中学生的典型错误，它能加深公式的印象，有助于运算法则的掌握;在公式的推导过程中，通过启发引导，使学生逐渐明晰运算方向，合理选择运算方法，，把握知识间的本质联系，实现新知识的意义构建.
3 互动课堂，创造数学运算的“生长点”
课堂是实验室，教师是“操盘手”，教师的课堂教学行為是数学运算素养能否落地生根的首要因素，为此，教师应在课前充分预设的基础上，努力创造学生的精彩生成，笔者认为，运算素养的培养关键在于“做中学”、“做中悟”[3].这就要求教师在课堂教学中，首先应善于根据具体教学要求和学生实际创设合适的情境，使学生经历其中，把握知识本质，感悟思想方法，积累基本经验[1];其次要合理设计问题串，突出问题的启发性、层次性和导向性，通过问题层层导向，使学生不断地处于“欲知未知、欲言未能”的愤悱状态，通过启发性提示语，暗示方法，启迪思维，不断将学生的思维引向深处，从而帮助学生不断实现“从无到有、从不知到知”，最终使学生在学习新知识的过程中，养成良好习惯，提升运算能力;再次要体现课堂教学的过程性和探究性，特别应加强“如何思考”、“如何发现”的启发和引导，从提升学生思维品质处设计教学，将思维的提升作为运算素养培养的基石扎实开展，并尽量沿着学生的思维轨道展开教学，“想学生所想、急学生所急”，避免“抢拍、替代和一带而过”现象的发生，让数学知识来的更自然些，让能力素养来的更顺畅些.
此外，应从提升学生数学思维品质处展开教学，因此在课堂教学中，教师首先应该提供平台让学生学会全方位选择运算方法，培养其数学思维的严谨性;其次应该引导学生深层次掌握运算法则，培养其数学思维的深刻性;再次应该启发学生多角度探究运算方向，培养其思维的广阔性[3];最后应该适当设障促使学生多方位求得运算结果，培养其思维的灵活性，例如：
教学片段 两角和与差的余弦公式教学片段[4]（公式应用环节）
本环节设计意图 由于三角函数公式繁多，学生易混易忘，公式应用总有诸多不畅，其主要原因是学生不会抓住问题的主要矛盾，导致题意不清、方向不明、程序繁杂、运算出错，解决以上问题的关键是让学生亲历其中，教学生学会充分挖掘题目信息，抓住问题中信息之間的主要矛盾（即“主视点”）和本质联系，从多元视角出发，分析差距，寻找联系，促成有效转化，通过逻辑证明加以贯通，串点成线，探寻简捷合理的运算路径[5]，优化运算程序，准确运算结果，将运算素养扎实地落实在课堂.
主要过程引导学生观察己知角和待求角的关系，促成转化如下：
感悟提升 配凑角时不要“破坏”已知角，而是把已知角看作一个“整体”，促成待求角的有效转化，其核心是“化未知为已知”.
（2）以“函数名”为主视点，选择运算方法
引导学生着重观察分析已知式和待求式三角函数名的差异，寻找其联系，促成有效转化，其手段通常是弦切互化，并且常与三角基本公式、角的转化相结合解决问题.
主要过程引导学生分析已知式和待求式的结构特征差异——缺少cosαcosβ，sinαsinβ，寻找联系，使学生逐渐明晰运算方向，必须创造条件，想办法让已知式“生出”cosαcosβ，sinαsinβ，启发学生恰当选择运算方法——将已知两等式两边分别平方，相加并结合平方关系进而贴近待求式，再逆用余弦函数差角公式求得结果，从而达到优化运算程序、准确运算结果的目的.
4 优化作业，落实数学运算的“训练点”
作业是课堂教学的延伸和补充，然而在现实作业布置中，不匹配作业和低效作业现象比比皆是，严重影响课堂教学的效果和学生素养水平的达成，因此，作业设计，首先考虑及时性和针对性，深层次掌握运算法则;其次应考虑典型性和多样性，全方位选择运算方法;再次应考虑梯度性和层次性，多角度探究运算方向;最后应考虑建构性和系统性[6]，整体考虑运算素养的培养，使课后作业真正成为落实运算素养的后勤保障.
总之，只要教师努力改进自己的教学行为，将数学运算素养的落实变成自己的自觉行动，以优化的教学行为带动学生学习行为的优化，课前充分预设、课中创造生成、课后优化作业，就能让运算素养落地生根.
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[S].北京：人民教育出版社，2018
[2]章建跃.三角函数教材落实核心素养的思考[J].中小学数学（高中版），2016 （12）： 25
[3]陈玉娟.例谈高中数学核心素养的培养——从课堂教学中数学运算的维度[J].数学通报，2016 （8）： 34-36，54
[4]汪秀琴.例题逻辑推理核心素养的培养[J].福建中学数学，2017 （6）：20
[5]陈玉娟.从探寻运算思路的角度例谈数学运算核心素养的培养[J].数学通讯，2016 （24）： 32-34
[6]汪秀琴.累，一定是我们做错了什么——基于作业设计的高三数学教学有效性探究[J].福建中学数学，2016 （6）： 20
