圆锥曲线的中点弦方程和中点弦长公式
关 忠
设A(x1,y1),B(x2,y2)两点在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，M(x0,y0)是AB的中点，则有x1+x2=2x0 ①
y1+y2=2y0 ②
x21a2+y21b2=1 ③
x22a2+y22b2=1 ④由③-④得
x21-x22a2+y21-y22b2=0，即(x1-x2)(x1+x2)a2+(y1-y2)(y1+y2)b2=0,①，②代入得x0(x1-x2)a2+y0(y1-y2)b2=0⑤
即x0a2+y0b2?y1-y2x1-x2=0(x1≠x2) ⑥
⑥就是过AB的中点弦方程.
再由①、②代入⑤消去x2,y2得x0(x1-x0)a2+y0(y1-y0)b2=0,即弦AB的端点A、B和中点M都满足直线方程x0(x-x0)a2+y0(y-y0)b2=0.
同样的方法可得双曲线和抛物线弦AB的端点A、B和中点M都满足的直线方程.
一般地，设M(x0,y0)是圆锥曲线的弦AB的中点，则椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的中点弦方程为x0(x-x0)a2+y0(y-y0)b2=0,化为点斜式就是y-y0=-b2x0a2y0(x-x0)(y0≠0)；
双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的中点弦方程为x0(x-x0)a2-y0(y-y0)b2=0,化为点斜式就是y-y0=b2x0a2y0(x-x0)(y0≠0)；
抛物线y2=2px(p>0)的中点弦方程为﹜0(y-y0)=p(x-x0)，化为点斜式就是
y-y0=py0(x-x0)(y0≠0).
上面中点弦方程记住后可直接使用，也可按下面方式直接得到：把圆锥曲线方程中常数项换为0,x2,y2分别换为2x0(x-x0),2y0(y-y0);x,y分别换为x-x0,y-y0.
圆锥曲线中点弦方程在解中心对称，轴对称以及中点问题中有奇效.下面用圆锥曲线中点弦方程推导用弦的中点坐标表示的弦长公式(本文仅给出椭圆中点弦长公式的推导，双曲线和抛物线读者可仿此相应给出).
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
设A(x1,y1),B(x2,y2)两点在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，M(x0,y0)是AB的中点，则有x1+x2=2x0 ①
y1+y2=2y0 ②
x21a2+y21b2=1 ③
x22a2+y22b2=1 ④由③-④得
x21-x22a2+y21-y22b2=0，即(x1-x2)(x1+x2)a2+(y1-y2)(y1+y2)b2=0,①，②代入得x0(x1-x2)a2+y0(y1-y2)b2=0⑤
即x0a2+y0b2?y1-y2x1-x2=0(x1≠x2) ⑥
⑥就是过AB的中点弦方程.
再由①、②代入⑤消去x2,y2得x0(x1-x0)a2+y0(y1-y0)b2=0,即弦AB的端点A、B和中点M都满足直线方程x0(x-x0)a2+y0(y-y0)b2=0.
同样的方法可得双曲线和抛物线弦AB的端点A、B和中点M都满足的直线方程.
一般地，设M(x0,y0)是圆锥曲线的弦AB的中点，则椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的中点弦方程为x0(x-x0)a2+y0(y-y0)b2=0,化为点斜式就是y-y0=-b2x0a2y0(x-x0)(y0≠0)；
双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的中点弦方程为x0(x-x0)a2-y0(y-y0)b2=0,化为点斜式就是y-y0=b2x0a2y0(x-x0)(y0≠0)；
抛物线y2=2px(p>0)的中点弦方程为﹜0(y-y0)=p(x-x0)，化为点斜式就是
y-y0=py0(x-x0)(y0≠0).
上面中点弦方程记住后可直接使用，也可按下面方式直接得到：把圆锥曲线方程中常数项换为0,x2,y2分别换为2x0(x-x0),2y0(y-y0);x,y分别换为x-x0,y-y0.
圆锥曲线中点弦方程在解中心对称，轴对称以及中点问题中有奇效.下面用圆锥曲线中点弦方程推导用弦的中点坐标表示的弦长公式(本文仅给出椭圆中点弦长公式的推导，双曲线和抛物线读者可仿此相应给出).
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
