“三个理解”指导下的“圆周角”教学探讨

    王文泉

    

    

    

    [摘? 要] “三个理解”可以为初中数学“圆周角”提供教学指导，即遵循学生认知规律，定理概念自然生成，实施探究式教学，以知识应用为目的，提升学生的综合素养. 文章结合“圆周角”的核心内容进行教学探讨，提出相应的建议.

    [关键词] 圆周角;概念;定理;探究;应用

    “理解数学、理解学生、理解教学”是当下数学教学所倡导的理念. 教学中需要用数学的观念来研究教材内容，尊重学生的认知结构，采用合理的探究手段，设置教学环节，培养学生的综合能力. 本文以湘教版九年级下册的“圆周角”为例，开展教学探讨.

    概念“源”生成，新知自然过渡

    “圆周角”章节的核心内容是圆周角的概念和圆周角定理，定理揭示了“位置关系”与“数量关系”之间的统一. 对于该部分的教学，需要以基本概念为基础，立足概念“脉源”，以对应问题为引擎，助推新知过渡. 教学时，需要分析概念知识的源头，从整体、系统的观念审视教材，设计教学引入，让新知自然生成.

    从“圆周角”的概念来看，是在圆与点、线段、弧的关系上的深入研究，属于圆心角之外的另一类角. 教学中需要引导学生从“形”上关注其特征，从“数”上认识两条弦的开口大小，理解圆周角具有“形”与“量”的含义，建立“数”“形”之间的关联. 综合概念的前后关联和学生的认知能力，教学中建议以圆心角为切入点，结合相应的教具来开展活动，以完成概念的挖掘、定义，具体如下.

    使用图1所示的教具展示圆心角，让学生思考其中的∠AOB是什么角，进行旧知的回顾. 接着引导学生关注教具中顶点C的位置，通过移动点C来改变∠ACB的形态，让学生思考该角是否还是圆心角，并对比变化前后的图形. 通过观察、对比的方式，学生很容易便获得圆周角的特征——顶点在圆周上，且角两边均与圆相交，从而完成圆周角概念的归纳.

    为强化学生对概念的理解，教学中还可以利用教具演示出图2所示的角，让学生分析角的特征，结合圆周角的概念对其加以判断，并说明理由. 引导时，同样立足角定义中“顶点”和“边”的特征，让学生仔细观察，独立概括，深入理解.

    教学中，教师应合理使用教具，动态呈现圆心角到圆周角的变化过程，体验与圆相关的角的形成，认识两者的异同. 直观的图形有助于学生认识角，而概括定义时可以发挥学生的智慧，提升学生的归纳总结能力.

    循序推进新知，体验探究活动

    根据建构理论可知，只有学生自主参与探究实践活动，建构新知，才是科学合理、符合认知规律的. 因此开展圆周角定义教学需要设计教学活动，引导学生参与探究活动，从而自主获取新知. 结合核心教学内容开展探究证明活动可以按照如下思路进行：启发思维——动手实践——领悟归纳，即首先启发学生关注圆心角和圆周角的位置关系，然后通过动手实践进行猜想验证，最后领悟内涵，归纳定理.

    三个环节需要完成定理的猜想与证明，考虑到圆周角定理中包含圆周角与圆心角的位置关系和数量关系两大核心内容，因此设计教学时需要分别设计探究活动：启发思维——围绕定理的位置关系，动手实践——围绕定理的数量关系，领悟归纳——重视定理的论证.

    在“启发思维”阶段可以设计两大活动：一是分析一条弧所对圆心角和圆周角的个数;二是探索圆心与圆周角的位置关系.

    活动一：让学生利用手中的道具和皮筋，结合圆周上的固定点B和C来构建圆心角和圆周角，然后小组内观察所构圆心角和圆周角是否相同，思考对于同一弧所对的圆心角和圆周角各有多少个，如图3、图4和图5.

    活动二：在活动一的基础上让大家展示所构建的图形（如图6、图7、图8），分析图中圆心与圆周角的位置关系.

    教学中可以引入“相对”位置，包括圆心位于∠BAC的内部、一边上和外部，确保位置关系无疏漏. 利用直观的图像开展分类探讨，强调“同一弧”“相对”等关键词.

    “动手实践”阶段的重点是完成定理的数量关系论证，需要渗透几何的逻辑推理，建立定理的严密性. 教学活动建议取圆心角与圆周角的一种特殊情形，通过测量来做出猜想，然后进行推理、验证.

    活动三：小组之间协同测量每一种方案图形中圆心角和圆周角的大小，分析两者的大小关系，讨论并做出猜想.

    考虑到测量时存在一定的误差，可以建议学生进行多次测量，而验证时可以先以“圆心位于圆周角一边上”为例开展探究，然后指导学生联系该种情形对其他两种情形进行验证，通过“化抽象为具体，化一般为特殊”的方式实现定理的论证，具体转化图如图9所示.

    以图9①为例，根据情形一的结论可知∠BAD= ∠BOD. 同理可得∠CAD= ∠COD，所以∠BAD+∠CAD= ∠BOD+ ∠COD，整理后可得∠BAC= ∠BOC.

    “领悟归纳”阶段实则是对所推导的角度关系的概括. 归纳中需要重视两方面的内容：一是基于位置关系进行验证，采用分类讨论的方法，归纳时需要对其整合;二是完成语言之间的互化，包括定理的数学语言与文字语言之间的相互转化.

    教学中可以引导学生思考如下两个问题：

    （1）同弧或等弧所对的圆周角之间有着怎样的数量关系？

    （2）同弧所對的圆周角与圆心角之间有着怎样的数量关系？

    学生完成上述问题探究后可以自然而然地初步概括定理，之后教学中只需要在此基础上进行补充，重点强调其中的“同圆或等圆”“同弧或等弧”“所对”“一半”等关键词，帮助学生提升思维的严谨性.

    上述实践活动由观察、度量到实验操作，由图形变换到推理论证，环节设计以活动为主，以问题为引导，采用循序渐进的方式开展定理探究. 教学引导中环环相扣，突出重点，实现了以学生为主的探究式教学. 同时，整个教学中渗透了分类讨论和化归转化等思想方法，这对于提升学生的数学思维来说有着极大的帮助.

    灵活变式拓展，增强定理应用

    完成圆周角定理的推理探究，则本章节的基本目标初步达成. 但定理学习的最终目的是“学以致用”，因此，在教学中有必要设计相应的应用问题，利用问题链来帮助学生强化定理，提升定理的应用能力. 问题设计需要从两方面进行：一是以几何为基础的变式问题，拓展学生的思维;二是结合生活的实际问题，提升定理的应用性.

    对于第一种情形的变式探究，可以结合相关的几何问题来设问. 例如，三角形和四边形：如图10所示，⊙O是以AB为直径的圆，点C和点D在圆上. 已知AC=6，AB=10，CD是∠ACB的平分线，连接AD和BD，試判断△ABD的形状，并求出其面积.

    教学引导：教学中首先基于圆周角定理提炼直角三角形，然后结合勾股定理求出线段BC的长，让学生思考其中AD和BD的求解方法. 分析点D在半圆弧上的位置，然后结合圆周角定理判断线段AD与DB的大小关系，为后续确定△ABD为等腰直角三角形做铺垫.

    而探究圆周角定理在实际问题中的应用时需要融合建模思想——从实际问题中抽象数学模型，利用数学模型来解决问题. 以射门问题为例：如图11，在足球训练场上，教练在球门前划定一个圆圈，对于C，D，E三点，你认为哪个位置射中的概率更高？请说明理由.

    教学引导：引导学生根据图像来构建模型，分析C，D，E三点的相对位置，可知分别位于圆上、圆外和圆内. 由于点E位于圆内，所以可以将其放置于圆内的特殊位置——圆心O处，同时在靠近点D处圆上取一点F，绘制如图12所示的图形.

    首先引导学生明晰“角度越大，射中概率越大”，然后结合圆周角定理进行如下角度的大小分析.

    （1）∠ACB<∠AEB——同圆或等圆上，同弧或等弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半;

    （2）∠ACB=∠AFB——同圆或等圆上，同弧或等弧所对的圆周角相等;

    （3）∠AFB>∠ADB——基于三角形内角直接比较.

    根据上述关系，学生很容易得出结论. 同时，由定理探讨结论的过程，有助于强化学生的逻辑思维，能提升学生应用所学知识解决实际问题的能力.

    写在最后

    基于“三个理解”开展的教学设计，兼顾了教材核心内容与学生的认知能力，融合了定理知识和数学思想，充分揭示了数学本质，凸显了数学素养，探究活动更为合理，更能挖掘知识背后的潜在价值. 总之，以“三个理解”为指导思想开展“圆周角”内容教学，可以充分调动学生参与知识探究，能激发学生的数学思维，全方位地提升学生的能力.