数学中的一般化与特殊化例谈
一般化与特殊化是人类认识事物的两个重要侧面，也是解题的两种基本策略，它们相辅相成，是辩证的统一.在多数场合，特殊问题简单、直观，容易认识，容易把握.但是，也有一些场合，特殊问题的个别特性可能会掩盖事物的本质属性，给解题带来困难，而直接求解相应的一般性问题，反而来得简便、明快、奇巧.
一、平起平坐 互为因果
通常情况下，特殊不能代替一般；但有时，特殊命题确实能与一般命题等价.
利用特殊与一般等价解决问题，有两种基本形式：其一是特殊借助于一般使问题获得解决；其二是一般借助于特殊使问题获得解决.
例1 下列两个命题是否等价?为什么?
命题1 设a璱>0(i=1,2,…，n)，则a1+a2+…+a璶n≥na1a2…a璶，当且仅当a1=a2=…=a璶时，等号成立.
命题2 设a璱>0(i=1,2,…，n)，且a1a2…a璶=1，则a1+a2+…+a璶≥n，当且仅当a1=a2=…=a璶时，等号成立.
分析：(1)命题2是命题1的特殊情况，由命题1当然能推出命题2.
(2)考察下列n个正数：a1na1a2…a璶,a2na1a2…a璶,…，a璶na1a2…a璶,由于它们的积为1，故a1na1a2…a璶+a2na1a2…a璶+…+a璶na1a2…a璶≥n，即a1+a2+…a璶n≥na1a2…a璶.
∴由命题2能推出命题1.
由(1)(2)可知，命题1与命题2等价.这样，我们就发现了一件非常有趣的事情：有时特殊命题与一般命题等价.
这项发现并非只有理论上的价值.事实上，既然有时“特殊命题与一般命题等价”，我们想要证明一般命题1，只要证明特殊命题2就可以了.显然，证明命题2要比证明命题1来得容易(命题2可用数学归纳法证明).
例2 设a,b,c,d,e都是正整数，且满足a+b+c+d+e=abcde,求e的最大值.
分析：由条件等式的对称性，可知e的最大值也是a,b,c，d的最大值，对a、b、c、d、e进行排序，得到一个相应的特殊问题，从而便于放缩，使问题得解.
解：由条件等式的对称性，不妨设a≤b≤c≤d≤e.由题设，有a+b+c+d+eabcde=1=1bcde+1acde+1abde+1abce+1abcd≤1de+1de+1de+1e+1d=3+d+ede.即de≤3+d+e,
(d-1)(e-1)≤4.
下面分两种情形讨论：
(1)若d=1，则由排序假设有a=b=c=d=1，从而4+e=e，这是不可能的.
(2)若d>1,则e-1≤4，即e≤5.而当e=5时，容易找到满足条件的一组解a=b=c=1,d=2,e=5，即e=5是可能的.即e的最大值为5.
二、高屋建瓴 势如破竹
当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题时，要设法把特殊问题一般化，找出一个能够揭示事物本质属性的一般性问题，以便利用解决一般情形的方法、技巧或结果，顺利解出原题，这就是一般化策略.这种策略是通过找出特殊问题的一般原型，把特殊问题从原有范围扩展到较大范围来进行考察，从而使得我们能在更一般、更广阔的领域中使用更灵活的方法去寻求化归的途径.
用一般化策略解决数学问题的思维过程为：
一般化策略能否奏效，关键在于一般化命题是否比需解的特殊命题易于求解.
例3 证明：11+12+13+…+11000>1000.
分析：将上述命题一般化，即证明11+12+13+…+1n>n(n>1,n∈N).这是有关自然数的问题，可考虑用数学归纳法证明.
证明：(1)当n=2时，1+12=2×2+12>2，命题成立.
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N)时，命题成立，即11+12+13+…+1k>k.于是有11+12+13+…+1k+1k+1>k+1k+1=k+1×k(k+1)+1k+1>k+1.即当n=k+1时命题也成立.
由(1)、(2)可知一般化命题成立.现取n=1000，即证得原不等式.
由此可见，有时一般化命题比特殊命题易解，主要是因为一般化命题中包含了一批特殊命题，并且把这些特殊命题有机地结合起来，这比孤立地看一个特殊命题较易看清规律以及它们之间的属性的差异.
一般化策略是解决问题的有效方法，也是科学探索的常用方法.实施一般化策略通常有以下三个步骤：
(1)要从不同的侧面分析题目的特征，找出能使题目一般化的有关因素；
(2)从不同的因素入手，通过抽象、概括或猜想，常常可以得到多种一般性问题，要力求从中找出最接近于特殊问题本质，又为自己所熟悉、易于解答的一般性问题；
(3)在返回原问题的过程中，要注意一般性问题与特殊问题之间的差别，针对这种差别，采取不同的方法或技巧，以便顺利地过渡到原题的解答上.
三、击中一点 牵动全局
从特殊到一般是人类认识客观事物的一种规律.对于一个一般性的问题，先研究它的某些特殊情形，从而获得解决问题的途径，使问题得以“突破”，这种解决问题的策略称为特殊化策略.共性孕育在个性之中.人们总是首先认识了许多不同事物的特殊本质，然后才有可能更进一步地作概括，认识诸种事物的共同本质.特殊化策略，正是特殊与一般的辩证关系在解题中的灵活运用，它生动地体现了认识过程中以退为进的思想方法.
“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用.”(希尔伯特语).对个别特殊情况的讨论，常能凸现问题的关键，揭示问题的本质.
用特殊化策略解决问题的思维过程，可用框图表示如下：
有一些数学问题，求解特殊化问题的关键性步骤，就是求解一般化问题的关键性步骤.因此，我们要注意从相应的特殊化问题求解中寻求有益启示，发现一般化问题的解题关键.
例4 试证明一个周长为2l的封闭曲线一定可以被一个直径为l的圆盖住.
分析：直接着手证明一时看不到头绪，我们不妨先从特殊的情形入手.比如，分析周长为2l的平行四边形的情形.设ABCD是周长为
2l的平行四边形(如图1)，由于OD=12BD≤12?(BC+CD)=l2.同理：OC≤l2.
显然，这个平行四边形能被以O点为圆心，直径为l的圆盖住.
对于周长为2l的任意形状的封闭曲线(如图2)，设A，C两点恰好把这封闭曲线平分为长为l的两段，O是线段AC的中点，P是该曲线上任意一点，连接PO，PA，PC，则有PO≤12(AP+CP)≤l2(曲线AP的长+曲线CP的长)=12曲线AC的长=12l.
所以P在一个以O为圆心，直径为l的圆内或圆上.
因为P是该曲线上的任一点，所以该封闭曲线一定可以被一个直径为l的圆盖住.
将一般问题特殊化，通常并不难，只须针对所研究的对象添加某些限制或适当加强某些条件即可.但是，一个一般问题经过不同的特殊化处理可以得到若干个不同的特殊问题，需要指出的是：将一般问题特殊化，求解能否奏效的关键是能否找到一个在解题中起主导作用的特殊问题.比较理想的特殊问题，既要求它本身容易解决，又能由它的解法发现一般问题的解法.
四、协同运用 出奇制胜
对于有些数学问题，特殊化与一般化这两种解题策略必须协同运用，才能顺利解决.
例5 能否将n个正方形剪拼成一个大的正方形?
分析：这里要解决的是个数为n的一般性问题，结论尚属未知.
先考察一个最简单的特殊情形——将两个边长相等的正方形S1与S2剪拼成一个正方形S12，可按图3所示的方法剪拼而成.
这种特殊情况是将一般情况经两次特殊化(正方形个数特殊化、边长特殊化)而得到的.在这种特殊情况下剪拼方法一目了然.为了将其推向一般，我们也可分两步走.
第一步，考虑两个大小不同的正方形的情况.
第二步，考虑n个任意正方形的情况.
为将上述剪拼法推向两个大小不同的正方形，我们来对它作一定量的分析.要剪拼出新正方形S12，只需计算出其边长以及确定裁剪的路线.由图3，S12的一边x与S1的一边a和S12的一边a恰好组成一个直角三角形，x为斜边，a,a为两直角边.据此我们猜想：对两个边长分别为a,b的正方形S1，S2来说，比照上述做法，以a,b为两直角边作直角三角形，再以其斜边为边长和裁剪路线，也能剪拼出一个新的正方形S12来.
实际验证说明上述猜想是正确的(如图4).
如果给定三个正方形S1，S2，S3，那么我们可用上述方法先将S1，S2剪拼成一个正方形S12，再将S12与S3剪拼成一个正方形S123.
由归纳法我们得出关于一般性问题的猜想：任意n个正方形都可以剪拼成一个正方形.
由类比法我们还可得出关于证法的猜想：设给定n个正方形S1，S2，…，S璶，先将S1与S2按上述方法剪拼成一个正方形S12；再将S12与S3剪拼成一个正方形S123；…，最后将S12…(n-1)与S璶剪拼成一个正方形S12…n.
我们发现，上述做法有递推关系，故我们不必一个一个地去验证，可使用数学归纳法，做一次验证就可以了.
证明：(数学归纳法)
当n=2时，按图4所示的方法，可将任意
两个给定的正方形剪拼成一个正方形.
假设k(k≥2)个正方形能剪拼成一个正方形，那么，对给定的k+1个正方形，我们可先将前k个剪拼成一个正方表S12…k，再将S12…k与S﹌+1剪拼成一个正方形S12…k(k+1).
∴能将n个正方形剪拼成一个大的正方形.
上述过程可用框图简示如下：
这也是一般化与特殊化协同解决数学问题的一般模式.
参考文献
［1］何华兴主编.数学思想方法［M］.上海：百家出版社，2001.
［2］顾泠沅主编.数学思想方法［M］.北京：中央广播电视大学出版社，2004.
［3］殷堰工.数学解题策略精编［M］.上海：上海科技教育出版社，1994.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
一、平起平坐 互为因果
通常情况下，特殊不能代替一般；但有时，特殊命题确实能与一般命题等价.
利用特殊与一般等价解决问题，有两种基本形式：其一是特殊借助于一般使问题获得解决；其二是一般借助于特殊使问题获得解决.
例1 下列两个命题是否等价?为什么?
命题1 设a璱>0(i=1,2,…，n)，则a1+a2+…+a璶n≥na1a2…a璶，当且仅当a1=a2=…=a璶时，等号成立.
命题2 设a璱>0(i=1,2,…，n)，且a1a2…a璶=1，则a1+a2+…+a璶≥n，当且仅当a1=a2=…=a璶时，等号成立.
分析：(1)命题2是命题1的特殊情况，由命题1当然能推出命题2.
(2)考察下列n个正数：a1na1a2…a璶,a2na1a2…a璶,…，a璶na1a2…a璶,由于它们的积为1，故a1na1a2…a璶+a2na1a2…a璶+…+a璶na1a2…a璶≥n，即a1+a2+…a璶n≥na1a2…a璶.
∴由命题2能推出命题1.
由(1)(2)可知，命题1与命题2等价.这样，我们就发现了一件非常有趣的事情：有时特殊命题与一般命题等价.
这项发现并非只有理论上的价值.事实上，既然有时“特殊命题与一般命题等价”，我们想要证明一般命题1，只要证明特殊命题2就可以了.显然，证明命题2要比证明命题1来得容易(命题2可用数学归纳法证明).
例2 设a,b,c,d,e都是正整数，且满足a+b+c+d+e=abcde,求e的最大值.
分析：由条件等式的对称性，可知e的最大值也是a,b,c，d的最大值，对a、b、c、d、e进行排序，得到一个相应的特殊问题，从而便于放缩，使问题得解.
解：由条件等式的对称性，不妨设a≤b≤c≤d≤e.由题设，有a+b+c+d+eabcde=1=1bcde+1acde+1abde+1abce+1abcd≤1de+1de+1de+1e+1d=3+d+ede.即de≤3+d+e,
(d-1)(e-1)≤4.
下面分两种情形讨论：
(1)若d=1，则由排序假设有a=b=c=d=1，从而4+e=e，这是不可能的.
(2)若d>1,则e-1≤4，即e≤5.而当e=5时，容易找到满足条件的一组解a=b=c=1,d=2,e=5，即e=5是可能的.即e的最大值为5.
二、高屋建瓴 势如破竹
当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题时，要设法把特殊问题一般化，找出一个能够揭示事物本质属性的一般性问题，以便利用解决一般情形的方法、技巧或结果，顺利解出原题，这就是一般化策略.这种策略是通过找出特殊问题的一般原型，把特殊问题从原有范围扩展到较大范围来进行考察，从而使得我们能在更一般、更广阔的领域中使用更灵活的方法去寻求化归的途径.
用一般化策略解决数学问题的思维过程为：
一般化策略能否奏效，关键在于一般化命题是否比需解的特殊命题易于求解.
例3 证明：11+12+13+…+11000>1000.
分析：将上述命题一般化，即证明11+12+13+…+1n>n(n>1,n∈N).这是有关自然数的问题，可考虑用数学归纳法证明.
证明：(1)当n=2时，1+12=2×2+12>2，命题成立.
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N)时，命题成立，即11+12+13+…+1k>k.于是有11+12+13+…+1k+1k+1>k+1k+1=k+1×k(k+1)+1k+1>k+1.即当n=k+1时命题也成立.
由(1)、(2)可知一般化命题成立.现取n=1000，即证得原不等式.
由此可见，有时一般化命题比特殊命题易解，主要是因为一般化命题中包含了一批特殊命题，并且把这些特殊命题有机地结合起来，这比孤立地看一个特殊命题较易看清规律以及它们之间的属性的差异.
一般化策略是解决问题的有效方法，也是科学探索的常用方法.实施一般化策略通常有以下三个步骤：
(1)要从不同的侧面分析题目的特征，找出能使题目一般化的有关因素；
(2)从不同的因素入手，通过抽象、概括或猜想，常常可以得到多种一般性问题，要力求从中找出最接近于特殊问题本质，又为自己所熟悉、易于解答的一般性问题；
(3)在返回原问题的过程中，要注意一般性问题与特殊问题之间的差别，针对这种差别，采取不同的方法或技巧，以便顺利地过渡到原题的解答上.
三、击中一点 牵动全局
从特殊到一般是人类认识客观事物的一种规律.对于一个一般性的问题，先研究它的某些特殊情形，从而获得解决问题的途径，使问题得以“突破”，这种解决问题的策略称为特殊化策略.共性孕育在个性之中.人们总是首先认识了许多不同事物的特殊本质，然后才有可能更进一步地作概括，认识诸种事物的共同本质.特殊化策略，正是特殊与一般的辩证关系在解题中的灵活运用，它生动地体现了认识过程中以退为进的思想方法.
“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用.”(希尔伯特语).对个别特殊情况的讨论，常能凸现问题的关键，揭示问题的本质.
用特殊化策略解决问题的思维过程，可用框图表示如下：
有一些数学问题，求解特殊化问题的关键性步骤，就是求解一般化问题的关键性步骤.因此，我们要注意从相应的特殊化问题求解中寻求有益启示，发现一般化问题的解题关键.
例4 试证明一个周长为2l的封闭曲线一定可以被一个直径为l的圆盖住.
分析：直接着手证明一时看不到头绪，我们不妨先从特殊的情形入手.比如，分析周长为2l的平行四边形的情形.设ABCD是周长为
2l的平行四边形(如图1)，由于OD=12BD≤12?(BC+CD)=l2.同理：OC≤l2.
显然，这个平行四边形能被以O点为圆心，直径为l的圆盖住.
对于周长为2l的任意形状的封闭曲线(如图2)，设A，C两点恰好把这封闭曲线平分为长为l的两段，O是线段AC的中点，P是该曲线上任意一点，连接PO，PA，PC，则有PO≤12(AP+CP)≤l2(曲线AP的长+曲线CP的长)=12曲线AC的长=12l.
所以P在一个以O为圆心，直径为l的圆内或圆上.
因为P是该曲线上的任一点，所以该封闭曲线一定可以被一个直径为l的圆盖住.
将一般问题特殊化，通常并不难，只须针对所研究的对象添加某些限制或适当加强某些条件即可.但是，一个一般问题经过不同的特殊化处理可以得到若干个不同的特殊问题，需要指出的是：将一般问题特殊化，求解能否奏效的关键是能否找到一个在解题中起主导作用的特殊问题.比较理想的特殊问题，既要求它本身容易解决，又能由它的解法发现一般问题的解法.
四、协同运用 出奇制胜
对于有些数学问题，特殊化与一般化这两种解题策略必须协同运用，才能顺利解决.
例5 能否将n个正方形剪拼成一个大的正方形?
分析：这里要解决的是个数为n的一般性问题，结论尚属未知.
先考察一个最简单的特殊情形——将两个边长相等的正方形S1与S2剪拼成一个正方形S12，可按图3所示的方法剪拼而成.
这种特殊情况是将一般情况经两次特殊化(正方形个数特殊化、边长特殊化)而得到的.在这种特殊情况下剪拼方法一目了然.为了将其推向一般，我们也可分两步走.
第一步，考虑两个大小不同的正方形的情况.
第二步，考虑n个任意正方形的情况.
为将上述剪拼法推向两个大小不同的正方形，我们来对它作一定量的分析.要剪拼出新正方形S12，只需计算出其边长以及确定裁剪的路线.由图3，S12的一边x与S1的一边a和S12的一边a恰好组成一个直角三角形，x为斜边，a,a为两直角边.据此我们猜想：对两个边长分别为a,b的正方形S1，S2来说，比照上述做法，以a,b为两直角边作直角三角形，再以其斜边为边长和裁剪路线，也能剪拼出一个新的正方形S12来.
实际验证说明上述猜想是正确的(如图4).
如果给定三个正方形S1，S2，S3，那么我们可用上述方法先将S1，S2剪拼成一个正方形S12，再将S12与S3剪拼成一个正方形S123.
由归纳法我们得出关于一般性问题的猜想：任意n个正方形都可以剪拼成一个正方形.
由类比法我们还可得出关于证法的猜想：设给定n个正方形S1，S2，…，S璶，先将S1与S2按上述方法剪拼成一个正方形S12；再将S12与S3剪拼成一个正方形S123；…，最后将S12…(n-1)与S璶剪拼成一个正方形S12…n.
我们发现，上述做法有递推关系，故我们不必一个一个地去验证，可使用数学归纳法，做一次验证就可以了.
证明：(数学归纳法)
当n=2时，按图4所示的方法，可将任意
两个给定的正方形剪拼成一个正方形.
假设k(k≥2)个正方形能剪拼成一个正方形，那么，对给定的k+1个正方形，我们可先将前k个剪拼成一个正方表S12…k，再将S12…k与S﹌+1剪拼成一个正方形S12…k(k+1).
∴能将n个正方形剪拼成一个大的正方形.
上述过程可用框图简示如下：
这也是一般化与特殊化协同解决数学问题的一般模式.
参考文献
［1］何华兴主编.数学思想方法［M］.上海：百家出版社，2001.
［2］顾泠沅主编.数学思想方法［M］.北京：中央广播电视大学出版社，2004.
［3］殷堰工.数学解题策略精编［M］.上海：上海科技教育出版社，1994.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
