摭谈隐含在一些公式证明中的重要数学思想
吴新建
平时我们都十分重视对书本上的一些公式及一些变形公式的教学，要求学生能够理解并熟练地运用这些公式.但我想仅满足于这样的要求还远远不够，还未能最大限度地挖掘出这些公式的潜在功能.事实上，在这些公式的证明中蕴涵着丰富的数学思想与方法，在教学时，仅强调公式结论本身，而对蕴涵在公式证明中的数学思想弃之不顾，可以说是捡了一个西瓜却丢了另一个更大的西瓜，这无异于暴殄天物.
本文就此谈一谈某些公式证明中所蕴涵的数学思想与方法在解题中的应用，以期能引起各位同行的共鸣，不当之处，敬请批评与指正.
1.构造的思想
公式C﹎-1璶+C琺璶=C琺﹏+1是我们所熟知的组合数的一个性质，该公式在解题中有着非常广泛的应用，此处篇幅所限，不再赘述.书本上对于该公式的证明采用了构造的方法，具体地说，是构造了一个取球的模型，从含有大小相同的n个白球与1个黑球的口袋内取出m个球，其方法数有C琺﹏+1种，而这些取法又可分为两类：一类是含黑球，有C﹎-1璶种，另一类是不含黑球，有C琺璶种，由分类计数原理可得C﹎-1璶+C琺璶=C琺﹏+1.
该公式的证明中体现了一种构造的思想，从某种意义上说，该思想的价值更大于这个公式本身.用该公式能解决的问题，用该思想也必然能够解决，而反之则未必.
例1 C0璶C琾璵+C1璶C﹑-1璵+…+C﹑-1璶C1璵+C琾璶C0璵=C琾﹎+n(m,n,p∈N,且p≤m,p≤n).
分析：要用公式C﹎-1璶+C琺璶=C琺﹏+1来证明这个等式，几乎是无从下手.而利用类似于证明该公式的构造思想来解决这个问题则是易如反掌.
证明：构造如下模型：从含有大小相同的n个白球与m个黑球的口袋中取出p个球，有C琾﹎+n种取法.我们可以对取出的球中所含白球个数进行分类，一共可分为0，1，2，…p，这p+1类，每一类所对应的取法数分别为C0璶C琾璵,C1璶C﹑-1璵,…,C﹑-1璶C1璵,C琾璶C0璵.由分类计数原理可得C0璶C琾璵+C1璶C﹑-1璵+…+C﹑-1璶C1璵+C琾璶C0璵=C琾﹎+n.
2.分割的思想
在立体几何的球这一节中，球的体积公式V=43πR3与面积公式S=4πR2是其中最重要的两个公式，这两个公式的证明都运用了分割以及求极限的思想，该思想在其他方面也有着广泛的应用.
例2 已知扇形的半径为r，弧长为l.
求证：S┥刃为=12rl(不得借助于圆的面积公式来证明).
分析：在不得借助于圆的面积公式的前提下，要利用常规方法证明该公式显然是十分困难的，然而借助于分割并求极限的思想却可使此问题迎刃而解.
证明：(1)如图1所示将弧〢B分成n段，设它们的弧长分别是l1,l2,…,l璶，显然，弧长l=l1+l2+…+l璶.连接OA1，OA2，…，OA﹏-1，整个扇形就被分割成n个小扇形，当小扇形的弧非常短时，可以近似地将小扇形看作为等腰三角形，它们的高近似于扇形的半径r.
(2)求近似和：设n个小扇形的面积分别为S1，S2，…，S璶，则S┥刃为=S1+S2+…+S璶.由于小扇形近似于三角形，我们可以用相应三角形的面积，作为小扇形面积的近似值.设第i个三角形的底面边长为l璱′，高为h璱，于是它的面积是S璱′=12?l璱′h璱,i=1,2,…，n.这样就有S璱≈12l璱′?h璱以及S┥刃为≈12(l1′?h1+l2′?h2+…+l璶′?h璶)①
(3)化为准确和：易知，将小扇形分割得越小，①式的精确程度就越高.如果分割无限加细，每一个小扇形都趋向于无穷小，那么h璱(i=1,2,…，n)就趋向于r，l璱′就向趋向于l璱.于是我们由①式得出S┥刃为的准确值.S┥刃为=12?(l1?r+l2?r+…+l璶?r)=12r(l1+l2+…+l璶)=12rl.
可以看出，该公式的证明与球的表面积的证明有着异曲同工之妙.
3.裂项求和的思想
所谓裂项法，主要是在数列求和问题中，将其中的一项裂为两项之差，在数列这一章，对于求数列a璶=1n(n+1)的前n项和S璶，绝大多数同学都已经掌握了裂项求和的方法，即将a璶裂项为1n(n+1)=1n-1n+1之后再求和，并且又将其推广到a璶=1n(n+i)=1i?(1n-1n+i)的情况.而我认为还可以进一步挖掘它的解题功能，最大限度地将其发扬光大.
例3 已知数列{a璶}，其通项公式为a璶=1n(n+1)(n+2)，求其前n项之和S璶.
解：∵a璶=1n(n+1)(n+2)
=12?［(n+2)-n］n(n+1)(n+2)
=121n(n+1)-1(n+1)(n+2),
∴S璶=a1+a2+…+a璶
=1211?2-12?3+…+1n(n+1)-1(n+1)(n+2)
=1212-1(n+1)(n+2)
=n(n+3)4(n+1)(n+2).
例4 已知数列{b璶}，其通项公式为b璶=n(n+1)，求其前n项之和T璶.
解：因为3=(n+2)-(n-1)，则b璶=
n(n+1)=13n(n+1)［(n+2)-(n-1)］=13［n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)］，于是T璶=b1+b2+…+b璶=13(1?2?3-0?1?2)+13(2?3?4-1?2?3)+…+13［n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)］=13n(n+1)(n+2).
注：利用裂项求和的思想，可以解决与之相关的一类问题.
4.向量的思想
点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式：d=|Ax0+By0+C|A2+B2是解析几何中重要的公式之一，教材中对于该公式的证明多采用面积法，其实该公式还可以用向量法来证明.
如图2所示，|PQ|是向量㏑P(R是直线l上任意一点)在l的法向量n呱系耐队.设∠RPQ=θ，则|PQ|=|㏑P遼?玞osθ，由向量数量积的定义可知：d=|㏑P遼?玞osθ=|㏑P?n遼|n遼，设法向量n=(A,B),R(x1,y1)，则㏑P=(x0-x1,y0-y1)，且Ax1+By1+C=0，从而可得：
d=|㏑P?n遼|n遼=|A(x0-x1)+B(y0-y1)|A2+B2=|Ax0+By0+C|A2+B2.
向量作为一种常用工具，在数列、三角函
数、解析几何、立体几何中均有着广泛地运用.
例5 如图3所示，抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.求证：直线AC经过原点O.
证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),
Fp2,0，则C-p2,y2，∴〧A=x1-p2,y1,〧B=x2-p2,y2且㎡A=(x1,y1),㎡C=-p2,y2.∵〧A哂氇〧B吖蚕撸∴x1-p2y2-x2-p2y1=0①.把x1=y212p,x2=y222p代入①式可得y1y2=-p2.
又∵x1y2+p2y1=y212p?y2+p2?y1=y1y22p?y1+p2y1=-p2?y1+p2?y1=0.∴㎡A哂氇㎡B呤枪蚕呦蛄浚即A，O，C三点共线，也就是说直线AC经过原点O.
“回顾以往的数学教学，往往只注重‘知识点，可以说是千方百计地把知识点深化、强化，把一些不该发展的东西过于强化，却不注意对数学思想和本质的揭示，不注意促进学生的发展，可谓是‘目中无人.”
由此可见在教学中，不仅要强调公式结论本身，而且应该重视蕴涵在公式证明中的数学思想，这是符合《普通高中数学课程标准》的精神的.这样的教学可以使学生解决问题的能力得到本质的提高，进而能增强他们的应用意识与创新精神，使其受益终身.
参考文献
［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验).北京：人民教育出版社，2003，4.
［2］普通高中课程标准实验教科书.数学2.江苏教育出版社，2004，8.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
平时我们都十分重视对书本上的一些公式及一些变形公式的教学，要求学生能够理解并熟练地运用这些公式.但我想仅满足于这样的要求还远远不够，还未能最大限度地挖掘出这些公式的潜在功能.事实上，在这些公式的证明中蕴涵着丰富的数学思想与方法，在教学时，仅强调公式结论本身，而对蕴涵在公式证明中的数学思想弃之不顾，可以说是捡了一个西瓜却丢了另一个更大的西瓜，这无异于暴殄天物.
本文就此谈一谈某些公式证明中所蕴涵的数学思想与方法在解题中的应用，以期能引起各位同行的共鸣，不当之处，敬请批评与指正.
1.构造的思想
公式C﹎-1璶+C琺璶=C琺﹏+1是我们所熟知的组合数的一个性质，该公式在解题中有着非常广泛的应用，此处篇幅所限，不再赘述.书本上对于该公式的证明采用了构造的方法，具体地说，是构造了一个取球的模型，从含有大小相同的n个白球与1个黑球的口袋内取出m个球，其方法数有C琺﹏+1种，而这些取法又可分为两类：一类是含黑球，有C﹎-1璶种，另一类是不含黑球，有C琺璶种，由分类计数原理可得C﹎-1璶+C琺璶=C琺﹏+1.
该公式的证明中体现了一种构造的思想，从某种意义上说，该思想的价值更大于这个公式本身.用该公式能解决的问题，用该思想也必然能够解决，而反之则未必.
例1 C0璶C琾璵+C1璶C﹑-1璵+…+C﹑-1璶C1璵+C琾璶C0璵=C琾﹎+n(m,n,p∈N,且p≤m,p≤n).
分析：要用公式C﹎-1璶+C琺璶=C琺﹏+1来证明这个等式，几乎是无从下手.而利用类似于证明该公式的构造思想来解决这个问题则是易如反掌.
证明：构造如下模型：从含有大小相同的n个白球与m个黑球的口袋中取出p个球，有C琾﹎+n种取法.我们可以对取出的球中所含白球个数进行分类，一共可分为0，1，2，…p，这p+1类，每一类所对应的取法数分别为C0璶C琾璵,C1璶C﹑-1璵,…,C﹑-1璶C1璵,C琾璶C0璵.由分类计数原理可得C0璶C琾璵+C1璶C﹑-1璵+…+C﹑-1璶C1璵+C琾璶C0璵=C琾﹎+n.
2.分割的思想
在立体几何的球这一节中，球的体积公式V=43πR3与面积公式S=4πR2是其中最重要的两个公式，这两个公式的证明都运用了分割以及求极限的思想，该思想在其他方面也有着广泛的应用.
例2 已知扇形的半径为r，弧长为l.
求证：S┥刃为=12rl(不得借助于圆的面积公式来证明).
分析：在不得借助于圆的面积公式的前提下，要利用常规方法证明该公式显然是十分困难的，然而借助于分割并求极限的思想却可使此问题迎刃而解.
证明：(1)如图1所示将弧〢B分成n段，设它们的弧长分别是l1,l2,…,l璶，显然，弧长l=l1+l2+…+l璶.连接OA1，OA2，…，OA﹏-1，整个扇形就被分割成n个小扇形，当小扇形的弧非常短时，可以近似地将小扇形看作为等腰三角形，它们的高近似于扇形的半径r.
(2)求近似和：设n个小扇形的面积分别为S1，S2，…，S璶，则S┥刃为=S1+S2+…+S璶.由于小扇形近似于三角形，我们可以用相应三角形的面积，作为小扇形面积的近似值.设第i个三角形的底面边长为l璱′，高为h璱，于是它的面积是S璱′=12?l璱′h璱,i=1,2,…，n.这样就有S璱≈12l璱′?h璱以及S┥刃为≈12(l1′?h1+l2′?h2+…+l璶′?h璶)①
(3)化为准确和：易知，将小扇形分割得越小，①式的精确程度就越高.如果分割无限加细，每一个小扇形都趋向于无穷小，那么h璱(i=1,2,…，n)就趋向于r，l璱′就向趋向于l璱.于是我们由①式得出S┥刃为的准确值.S┥刃为=12?(l1?r+l2?r+…+l璶?r)=12r(l1+l2+…+l璶)=12rl.
可以看出，该公式的证明与球的表面积的证明有着异曲同工之妙.
3.裂项求和的思想
所谓裂项法，主要是在数列求和问题中，将其中的一项裂为两项之差，在数列这一章，对于求数列a璶=1n(n+1)的前n项和S璶，绝大多数同学都已经掌握了裂项求和的方法，即将a璶裂项为1n(n+1)=1n-1n+1之后再求和，并且又将其推广到a璶=1n(n+i)=1i?(1n-1n+i)的情况.而我认为还可以进一步挖掘它的解题功能，最大限度地将其发扬光大.
例3 已知数列{a璶}，其通项公式为a璶=1n(n+1)(n+2)，求其前n项之和S璶.
解：∵a璶=1n(n+1)(n+2)
=12?［(n+2)-n］n(n+1)(n+2)
=121n(n+1)-1(n+1)(n+2),
∴S璶=a1+a2+…+a璶
=1211?2-12?3+…+1n(n+1)-1(n+1)(n+2)
=1212-1(n+1)(n+2)
=n(n+3)4(n+1)(n+2).
例4 已知数列{b璶}，其通项公式为b璶=n(n+1)，求其前n项之和T璶.
解：因为3=(n+2)-(n-1)，则b璶=
n(n+1)=13n(n+1)［(n+2)-(n-1)］=13［n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)］，于是T璶=b1+b2+…+b璶=13(1?2?3-0?1?2)+13(2?3?4-1?2?3)+…+13［n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)］=13n(n+1)(n+2).
注：利用裂项求和的思想，可以解决与之相关的一类问题.
4.向量的思想
点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式：d=|Ax0+By0+C|A2+B2是解析几何中重要的公式之一，教材中对于该公式的证明多采用面积法，其实该公式还可以用向量法来证明.
如图2所示，|PQ|是向量㏑P(R是直线l上任意一点)在l的法向量n呱系耐队.设∠RPQ=θ，则|PQ|=|㏑P遼?玞osθ，由向量数量积的定义可知：d=|㏑P遼?玞osθ=|㏑P?n遼|n遼，设法向量n=(A,B),R(x1,y1)，则㏑P=(x0-x1,y0-y1)，且Ax1+By1+C=0，从而可得：
d=|㏑P?n遼|n遼=|A(x0-x1)+B(y0-y1)|A2+B2=|Ax0+By0+C|A2+B2.
向量作为一种常用工具，在数列、三角函
数、解析几何、立体几何中均有着广泛地运用.
例5 如图3所示，抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.求证：直线AC经过原点O.
证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),
Fp2,0，则C-p2,y2，∴〧A=x1-p2,y1,〧B=x2-p2,y2且㎡A=(x1,y1),㎡C=-p2,y2.∵〧A哂氇〧B吖蚕撸∴x1-p2y2-x2-p2y1=0①.把x1=y212p,x2=y222p代入①式可得y1y2=-p2.
又∵x1y2+p2y1=y212p?y2+p2?y1=y1y22p?y1+p2y1=-p2?y1+p2?y1=0.∴㎡A哂氇㎡B呤枪蚕呦蛄浚即A，O，C三点共线，也就是说直线AC经过原点O.
“回顾以往的数学教学，往往只注重‘知识点，可以说是千方百计地把知识点深化、强化，把一些不该发展的东西过于强化，却不注意对数学思想和本质的揭示，不注意促进学生的发展，可谓是‘目中无人.”
由此可见在教学中，不仅要强调公式结论本身，而且应该重视蕴涵在公式证明中的数学思想，这是符合《普通高中数学课程标准》的精神的.这样的教学可以使学生解决问题的能力得到本质的提高，进而能增强他们的应用意识与创新精神，使其受益终身.
参考文献
［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验).北京：人民教育出版社，2003，4.
［2］普通高中课程标准实验教科书.数学2.江苏教育出版社，2004，8.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
