两位教师的反比例函数教学
张 胜
最近听了学校里两节反比例函数教学的公开课，感受颇深.众所周知，函数概念的“学”离不开教师的“教”，那么教师的课堂教学对学生函数概念的学习有什么样的影响?带着这样的问题，本文对这二节公开课(一位新手教师和一位经验教师)的函数课堂教学进行了分析，以寻找课堂教学对学生函数学习的影响因素.
1.教材的学习目标
我们学校采用的是山东教育出版社出版的义务教育课程标准试验教科书，教材中规定的反比例函数的学习任务，一是要求学生从现实情境和已有知识经验出发，讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数概念的理解；二是要求学生经历抽象反比例函数的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；三是要求学生能够作出反比例函数的图像，逐步提高从函数图像中获取信息的能力.本堂课的类型属于新授课.
2.教师的课堂教学
(1)整体结构与时间分布
从课堂教学的整体结构来看，新手教师和经验教师都经历了“引入反比例函数的概念——反比例函数练习——反比例数图像——小结”.
但有两个明显差异，一是新手教师在“反比例函数练习”中分两步走，引导学生区分一次函数和反比例函数后，立即进行习题训练，新手教师似乎更相信只有通过“练习”，学生才能学习和掌握反比例函数的概念；而经验教师则分了三步走，多了“让学生列举生活中反比例函数的例子”这个过程，经验教师可能更相信反比例函数的理解是首要条件，练习只是检查学生是否掌握概念的手段.差异之二表现在两位教师对反比例函数图像的讲解有所不同，经验教师教学时注重回顾先前的作图知识，并能根据图像的内容选择恰当的教学方法，讲授的难度也更深.
从课堂教学的时间分配上可以看出，新手教师和经验教师都有超过一半以上的时间放在函数概念的练习上，经验教师将练习重点放在“让学生列举生活中反比例函数的例子”上， 并且经验教师在“引入反比例函数概念”环节投入的时间比新手教师多4.1个百分点.
(2)反比例函数概念的建立
新手教师从实际问题情境入手，引导学生列出函数关系式，并指出这些式子的共同点，最后总结反比例函数的概念.在新手教师的教学过程中，教师总结概念的过程，采取的是发现共同点的归纳总结，其教学过程是：
①提出一系列问题；
②要求列出函数关系式；
③追问自变量取值范围及单位是否统一；
④提出问题：这些式子有什么共同点；
⑤从解析式的形式上概括反比例函数概念；
⑥总结反比例函数两变量的取值范围.
在建立反比例函数概念时，新手教师提出的教学任务强调的是学生的“求同”探索，试图让学生发现反比例函数定义形式上的共同点，该任务有以下三个特征：
①创设了问题情境，有助于学生对反比例函数的理解；
②要求“发现函数关系式的共同点”，暗示学生可以从解析式入手总结归纳概念；
③学生需要某种程度的认知努力，才能更好的理解反比例函数.
经验教师也是从具体的情境着手，但由于使用了课件，所以教师向学生展示了更多的问题实例，列出的函数关系式有一次函数和反比例函数两种类型，并借此总结了正比例函数与反比例函数的区别.在反比例函数概念的学习中，教师对学生的认知提出了较高要求，学生对此给出的答案也是多样的，具有“求同辨异”的特点.其教学过程是：
①课件展示问题情境；
②要求学生列出函数关系式；
③追问另一个学生正确的表达式；
④强调单位统一和自变量的取值范围；
⑤课件展示问题答案；
⑥提出问题：用自己的语言叙述什么样的式子是反比例函数；
⑦追问学生正比例函数与反比例函数的不同点；
⑧在函数解析式和自变量取值范围的比较中总结两者的区别.
可见，该教师教学过程的一个重要特点是，提及了正比例函数，将新知识反比例函数的学习与旧知识联系起来.该任务的特征是：
①为了发展对反比例函数概念的更深层次理解，学生的注意力集中在正比例函数与反比例函数的比较；
②创设了问题情境，在正比例和反比例函数两种表现形式之间建立起有助于意义理解的联系；
③学生在比较中产生认知冲突，需要一定认知努力才能更好发展对反比例函数的理解.
3.教师影响学生学习任务实施的因素分析
在新手教师的课堂中，教师始终从思路上引导学生，保持与学生积极互动的问答，加深学生对反比例函数概念的理解，所以学生在学习时，基本保持了较高的认知水平.教师使学生的学习任务得以保持高认知水平的因素有3个，使其下降的有2个.
从表2中可以看出，在“理解反比例函数”过程中，学生往往用“除法”、“分式”这样一些词去概括反比例函数，这是因为教师将学生列出的函数关系式有预备性的加以代数化，试图搭建一种“联系”，并且在概念引入的时候，教师通过提问、解释和反馈引导学生积极探究.在整个学习过程中，教师保持了学生的高认知水平，主要表现在以下几个方面：
①任务建立在学生已有的函数关系式知识基础上；
②给予学生适当探索发现的时间；
③教师提问以提供学生反思自己思维的方法；
④教师对学生的回答予以反馈以维持对解释的强调.
在经验教师的课堂教学行为中，有7处保
持了“理解反比例函数概念”学习任务的认知水平，使其下降的因素有一个，如表3所示.在整个学习过程中教师也保持了学生的高认知要求水平，主要表现在以下几个方面：
①任务建立在学生已有的正比例函数知识基础上；
②给予学生适当的比较探索的时间；
③教师提问、评论或反馈学生的回答以维持对概念理解的强调；
④教师频繁在正比例函数和反比例函数之间建立联系.
4.课堂教学对学生函数学习的影响
(1)教学具有大致相同的整体教学结构，并且学生学习的过程大体保持了高认知水平，说明课堂教学有利于学生认知水平的发展与建构.
(2)从课堂教学的整体结构上看，新手教师定位在“概念练习”，经验教师定位在“概念理解”.
(3)在引入反比例函数概念时，新手教师采用总结归纳的方法，发现概念的共性，具有“求同性”的特点；而经验教师提出比较正比例与反比例函数的任务，学生思维活跃，答案多样，具有“求同辨异”的特点.这种在辨析中掌握概念的教学方法，更有利于学生区别不同类型的函数.
(4)新手教师使学生认知水平下降的主要因素是“把问题的意义与理解转向强调答案的正确性和完整性”、“教师对学生高认知水平的结果没有理会”；经验教师使学生认知水平下降的因素主要是“教师包办学生的思维和推理，并告诉他们如何解答”，这些因素在一定程度上影响了学生学习函数的兴趣，缺乏对学生学习效果的反馈评价.
最近听了学校里两节反比例函数教学的公开课，感受颇深.众所周知，函数概念的“学”离不开教师的“教”，那么教师的课堂教学对学生函数概念的学习有什么样的影响?带着这样的问题，本文对这二节公开课(一位新手教师和一位经验教师)的函数课堂教学进行了分析，以寻找课堂教学对学生函数学习的影响因素.
1.教材的学习目标
我们学校采用的是山东教育出版社出版的义务教育课程标准试验教科书，教材中规定的反比例函数的学习任务，一是要求学生从现实情境和已有知识经验出发，讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数概念的理解；二是要求学生经历抽象反比例函数的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；三是要求学生能够作出反比例函数的图像，逐步提高从函数图像中获取信息的能力.本堂课的类型属于新授课.
2.教师的课堂教学
(1)整体结构与时间分布
从课堂教学的整体结构来看，新手教师和经验教师都经历了“引入反比例函数的概念——反比例函数练习——反比例数图像——小结”.
但有两个明显差异，一是新手教师在“反比例函数练习”中分两步走，引导学生区分一次函数和反比例函数后，立即进行习题训练，新手教师似乎更相信只有通过“练习”，学生才能学习和掌握反比例函数的概念；而经验教师则分了三步走，多了“让学生列举生活中反比例函数的例子”这个过程，经验教师可能更相信反比例函数的理解是首要条件，练习只是检查学生是否掌握概念的手段.差异之二表现在两位教师对反比例函数图像的讲解有所不同，经验教师教学时注重回顾先前的作图知识，并能根据图像的内容选择恰当的教学方法，讲授的难度也更深.
从课堂教学的时间分配上可以看出，新手教师和经验教师都有超过一半以上的时间放在函数概念的练习上，经验教师将练习重点放在“让学生列举生活中反比例函数的例子”上， 并且经验教师在“引入反比例函数概念”环节投入的时间比新手教师多4.1个百分点.
(2)反比例函数概念的建立
新手教师从实际问题情境入手，引导学生列出函数关系式，并指出这些式子的共同点，最后总结反比例函数的概念.在新手教师的教学过程中，教师总结概念的过程，采取的是发现共同点的归纳总结，其教学过程是：
①提出一系列问题；
②要求列出函数关系式；
③追问自变量取值范围及单位是否统一；
④提出问题：这些式子有什么共同点；
⑤从解析式的形式上概括反比例函数概念；
⑥总结反比例函数两变量的取值范围.
在建立反比例函数概念时，新手教师提出的教学任务强调的是学生的“求同”探索，试图让学生发现反比例函数定义形式上的共同点，该任务有以下三个特征：
①创设了问题情境，有助于学生对反比例函数的理解；
②要求“发现函数关系式的共同点”，暗示学生可以从解析式入手总结归纳概念；
③学生需要某种程度的认知努力，才能更好的理解反比例函数.
经验教师也是从具体的情境着手，但由于使用了课件，所以教师向学生展示了更多的问题实例，列出的函数关系式有一次函数和反比例函数两种类型，并借此总结了正比例函数与反比例函数的区别.在反比例函数概念的学习中，教师对学生的认知提出了较高要求，学生对此给出的答案也是多样的，具有“求同辨异”的特点.其教学过程是：
①课件展示问题情境；
②要求学生列出函数关系式；
③追问另一个学生正确的表达式；
④强调单位统一和自变量的取值范围；
⑤课件展示问题答案；
⑥提出问题：用自己的语言叙述什么样的式子是反比例函数；
⑦追问学生正比例函数与反比例函数的不同点；
⑧在函数解析式和自变量取值范围的比较中总结两者的区别.
可见，该教师教学过程的一个重要特点是，提及了正比例函数，将新知识反比例函数的学习与旧知识联系起来.该任务的特征是：
①为了发展对反比例函数概念的更深层次理解，学生的注意力集中在正比例函数与反比例函数的比较；
②创设了问题情境，在正比例和反比例函数两种表现形式之间建立起有助于意义理解的联系；
③学生在比较中产生认知冲突，需要一定认知努力才能更好发展对反比例函数的理解.
3.教师影响学生学习任务实施的因素分析
在新手教师的课堂中，教师始终从思路上引导学生，保持与学生积极互动的问答，加深学生对反比例函数概念的理解，所以学生在学习时，基本保持了较高的认知水平.教师使学生的学习任务得以保持高认知水平的因素有3个，使其下降的有2个.
从表2中可以看出，在“理解反比例函数”过程中，学生往往用“除法”、“分式”这样一些词去概括反比例函数，这是因为教师将学生列出的函数关系式有预备性的加以代数化，试图搭建一种“联系”，并且在概念引入的时候，教师通过提问、解释和反馈引导学生积极探究.在整个学习过程中，教师保持了学生的高认知水平，主要表现在以下几个方面：
①任务建立在学生已有的函数关系式知识基础上；
②给予学生适当探索发现的时间；
③教师提问以提供学生反思自己思维的方法；
④教师对学生的回答予以反馈以维持对解释的强调.
在经验教师的课堂教学行为中，有7处保
持了“理解反比例函数概念”学习任务的认知水平，使其下降的因素有一个，如表3所示.在整个学习过程中教师也保持了学生的高认知要求水平，主要表现在以下几个方面：
①任务建立在学生已有的正比例函数知识基础上；
②给予学生适当的比较探索的时间；
③教师提问、评论或反馈学生的回答以维持对概念理解的强调；
④教师频繁在正比例函数和反比例函数之间建立联系.
4.课堂教学对学生函数学习的影响
(1)教学具有大致相同的整体教学结构，并且学生学习的过程大体保持了高认知水平，说明课堂教学有利于学生认知水平的发展与建构.
(2)从课堂教学的整体结构上看，新手教师定位在“概念练习”，经验教师定位在“概念理解”.
(3)在引入反比例函数概念时，新手教师采用总结归纳的方法，发现概念的共性，具有“求同性”的特点；而经验教师提出比较正比例与反比例函数的任务，学生思维活跃，答案多样，具有“求同辨异”的特点.这种在辨析中掌握概念的教学方法，更有利于学生区别不同类型的函数.
(4)新手教师使学生认知水平下降的主要因素是“把问题的意义与理解转向强调答案的正确性和完整性”、“教师对学生高认知水平的结果没有理会”；经验教师使学生认知水平下降的因素主要是“教师包办学生的思维和推理，并告诉他们如何解答”，这些因素在一定程度上影响了学生学习函数的兴趣，缺乏对学生学习效果的反馈评价.
