关于一次函数综合题的探析与思考

    葛波

    

    

    [摘 ?要] 以一次函数为背景的综合题是中考的重点问题，该类问题往往与几何内容综合考查，问题特点较为鲜明，一般图像较为复杂，侧重考查特殊图形的几何性质和属性文章以一道一次函数与几何综合题为例，开展突破探究、解后思考，并提出相应的教学建议.

    [关键词] 一次函数;综合题;面积;等腰三角形

    一次函数是初中数学函数部分的重点知识，也是中考的热点内容，需要学生掌握一次函数的基础知识，并能把握函数的关联内容，提升解决综合问题的能力，下面以一道一次函数综合题为例，开展问题剖析，思路突破.

    解后思考，变式探讨

    上述是一次函数与几何相结合的综合题，主要考查了两者的两个结合点：一是函数背景下几何面积模型的构建，二是实现特殊三角形特殊性质的坐标方程化. 命题形式较为独特，合理构建辅助线来辅助思考是解题的关键，下面对其进行深入探讨.

    1. 关于典型问题的解法剖析

    考题的第（2）问求满足面积比值关系的点是否存在，问题的核心为构建一般三角形的面积模型. 上述采用了常见的面积割补法，即将一般三角形分为几个较为特殊的三角形，通过求小三角形的面积来完成求解，所不同的是上述在进行割补时充分结合了坐标轴以及已知点坐标，对其进行整体化归，这也是该类问题常见的简化方式. 对于该问题还可以采用补形法，即依托原三角形来构建矩形，然后通过减去矩形中的小三角形来求解. 而第（3）问求解三角形为等腰三角形时的直线解析式，上述把握特殊三角形的腰长相等特性，将其转化为坐标系中点的距离关系，同时设定点的坐标参数，结合勾股定理来构建关于线段长的代数方程.

    2. 关于典型问题的变式探讨

    开展问题拓展探讨有助于提升学生对问题的理解，下面基于考题的后两问进行变式.

    第（3）问变式：试分析y轴上是否存在一点H，使得△DEH為直角三角形，若存在，请求出点G的坐标;若不存在，请说明理由.

    突破提示 该变式基于特殊三角形，讨论存在情形，其中没有设定直角，分析可知需要分∠E和∠H两种情形. 求解时可以设定点G的坐标参数，然后基于勾股定理来构建代数方程，通过解方程的形式来求出点G的具体坐标.

    复习指导，教学建议

    上述是关于一次函数与几何综合题的突破探讨，对考题的问题特点、设问形式、突破思路和变式问题进行了探究，对于后续的学习具有一定的指导价值，下面基于复习备考提出几点教学建议.

    1. 重视基础巩固，破题过程应立足教材

    一次函数是初中数学的重点内容，也是函数研究的基础知识，开展函数综合题探究应以相应的定理定义、公式规律为基础，逐步串联知识方法来构建解题思路. 以上述一次函数题为例，其中涉及了函数相交、函数解析式求解、求几何面积和勾股定理等基础知识，这些知识方法是问题突破的关键. 因此在复习备考阶段，教师依然需要引导学生回归教材基础，关注函数与几何部分的基础内容，挖掘知识本质，巩固基础，为后续的能力提升做准备.

    2. 重视思考反思，问题探究应挖掘考题

    解后反思是考题探究的重要环节，也是指导学生掌握类型问题的求解方法，提升解题能力的重要方式. 上述考题完成思路突破后，对问题的特点和解法做了进一步剖析，并开展深层的考题变式，该过程中可使学生深刻认识考题的命制思路，了解中考该部分内容的考查重点，掌握类型问题的题型特点、问题本质、变式方向等，这对于后续的复习备考是十分重要的. 因此在考题探究过程中，教师应基于问题背景、考查重点和解题方法开展解题思考，指导学生掌握类型问题的解题思路，形成系统的解题策略.